2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 8.1《向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算》教案（滬教版）

1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 8.1向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算教案（滬教版）一教學(xué)內(nèi)容分析按現(xiàn)行上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，本章內(nèi)容是在初中學(xué)習(xí)了向量的基本概念、向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積等基礎(chǔ)之上的后繼學(xué)習(xí).但與初中有所不同的是，初中教材對(duì)向量的學(xué)習(xí)是以“形”為主，主要從“形”的角度展開(kāi)，而本章內(nèi)容則主要是以“數(shù)”為主，從“數(shù)”的角度進(jìn)行論述.當(dāng)然，由于向量本身所具有的數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，本章教材在以“數(shù)”為主旨處理教學(xué)內(nèi)容的同時(shí)并沒(méi)有弱化向量的“形”的方面的特征，而是二者相得益彰，互為依賴(lài)、互為補(bǔ)充.以“數(shù)”為主旨研究向量，其核心手段是向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示.向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際上是向量的代

2、數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積等就完全可以用它們的坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算來(lái)進(jìn)行，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái).這樣，就使得很多問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)量的運(yùn)算進(jìn)行解決.向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，一方面為用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題提供了通道，另一方面也為向量概念推廣到高維空間指明了途徑，同時(shí)，它也是高中數(shù)學(xué)中描述與處理如立幾、解幾、三角等諸多問(wèn)題的一個(gè)有力的工具，在高考中也占有一個(gè)重要的地位.作為本章的第一課時(shí)，本節(jié)課的主要內(nèi)容是向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算.它是本章重要的基礎(chǔ)性與前提性?xún)?nèi)容，它引入了將向量問(wèn)題代數(shù)化的基本手段與方法

3、向量的坐標(biāo)表示.本節(jié)內(nèi)容課本上的基本處理方法是在引入一些相關(guān)的基礎(chǔ)性的概念之后，通過(guò)任意向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，在向量的正交分解的基礎(chǔ)上抽象概括出向量的坐標(biāo)表示形式，并依據(jù)向量的正交分解的本質(zhì)得到向量坐標(biāo)形式下的運(yùn)算法則.本節(jié)課要著力解決三個(gè)問(wèn)題：一是要解決引入向量的坐標(biāo)形式的必要性的問(wèn)題，以引起學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，二是要解決如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐標(biāo)形式或者說(shuō)是如何讓學(xué)生理解向量坐標(biāo)的本質(zhì)的問(wèn)題，三是要解決引入向量坐標(biāo)形式以后如何以坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算的問(wèn)題.作為本節(jié)課（本章的第一個(gè)課時(shí)）來(lái)說(shuō)，第二個(gè)問(wèn)題是重中重之中，因?yàn)槿绻麑W(xué)生不能理解向量的坐標(biāo)是怎么來(lái)的

4、，它的本質(zhì)是什么，就會(huì)對(duì)后繼學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的困難.因此，我們?cè)谡n上要對(duì)這一點(diǎn)特別的重視.二教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1.了解基本單位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；會(huì)用坐標(biāo)表示向量；會(huì)用兩向量的坐標(biāo)形式的和、差及實(shí)數(shù)與向量的積等運(yùn)算解決相關(guān)問(wèn)題.2. 經(jīng)歷如何將位置向量及任意向量表示為基本單位向量的線性組合這一正交分解的過(guò)程，以及經(jīng)歷如何通過(guò)向量的正交分解的本質(zhì)概括抽象出向量的坐標(biāo)表示的過(guò)程，初步形成抽象思維的能力；理解平面向量與一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解向量的坐標(biāo)表示方法及其運(yùn)算法則；體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.感知數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)、變化、相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，加深對(duì)辯證唯物主義觀點(diǎn)的體驗(yàn)；發(fā)

5、展從數(shù)學(xué)的角度分析和解決問(wèn)題的能力，以及通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，形成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、慎密的思維習(xí)慣.三教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)是如何寫(xiě)向量的坐標(biāo)以及向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)向量的正交分解的過(guò)程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐標(biāo)表示的過(guò)程的理解.四教學(xué)流程設(shè)計(jì)小結(jié)與作業(yè)坐標(biāo)表示的運(yùn)算運(yùn)用與深化知起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示情境問(wèn)題向量的正交分解向量的坐標(biāo)表示位置向量的正交分解任意向量的正交分解位置向量的坐標(biāo)表示任意向量的坐標(biāo)表示返回到情境問(wèn)題五教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一.情境引入上海市莘莊中學(xué)的健美操隊(duì)四名隊(duì)員A、B、C、D在一個(gè)長(zhǎng)10米，寬

6、8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進(jìn)行健美操表演.（1）若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊(duì)形.隊(duì)員A位于點(diǎn)F處，隊(duì)員B在邊FG上距F點(diǎn)3米處，隊(duì)員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？說(shuō)明 此時(shí)隊(duì)員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個(gè)圖形比較特殊，學(xué)生很快就會(huì)得到答案，這時(shí)教師引入第二個(gè)問(wèn)題.（2）若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊(duì)形.隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？說(shuō)明 不要求學(xué)生寫(xiě)出結(jié)果，只引導(dǎo)學(xué)生思考.這

7、個(gè)圖形更為一般一些，學(xué)生解決的可能不是很順，這時(shí)，教師就可以說(shuō)，這一節(jié)我們就來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容：向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，學(xué)習(xí)了這個(gè)內(nèi)容之后，同學(xué)們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時(shí)間就可以解決這個(gè)問(wèn)題了，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究的欲望.二學(xué)習(xí)新課1. 向量的正交分解 我們稱(chēng)在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個(gè)單位向量叫做基本單位向量，分別記為，如圖，稱(chēng)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量為位置向量，如下圖左，即為一個(gè)位置向量.思考1：對(duì)于任一位置向量，我們能用基本單位向量來(lái)表示它嗎？如上圖右，設(shè)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來(lái)表示嗎？（依向量加法

8、的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來(lái)表示嗎？（依向量與實(shí)數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得：由上面這個(gè)式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量都能表示成兩個(gè)相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱(chēng)為向量的正交分解.2.向量的坐標(biāo)表示 思考2：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個(gè)向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個(gè)向量都存在一個(gè)與它相等的位置向量.由于這一點(diǎn)，我們研究向量的性質(zhì)就可以通過(guò)研究其相應(yīng)的位置向量來(lái)實(shí)現(xiàn).由于任意一個(gè)位置向量都可以

9、正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個(gè)向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即：= 上式中基本單位向量前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量的終點(diǎn)A的坐標(biāo).由于基本單位向量是固定不可變的，為了簡(jiǎn)便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來(lái)，得到有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）.可知有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）與向量的位置向量是一一對(duì)應(yīng)的.因而可用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示向量，并稱(chēng)（x,y）為向量的坐標(biāo)，記作：=（x,y）說(shuō)明（x,y）不僅是向量的坐標(biāo)，而且也是與相等的位置向量的終點(diǎn)A的坐標(biāo)！當(dāng)將向量的起點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)A的坐標(biāo)是唯一的，所以向量的坐標(biāo)也是唯一的.這樣，我們就將點(diǎn)與向量、向量與坐標(biāo)

10、統(tǒng)一起來(lái)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.顯然，依上面的表示法，我們有：.例1.（課本例題）如圖，寫(xiě)出向量的坐標(biāo).解：由圖知與向量相等的位置向量為，可知與向量相等的位置向量為，可知說(shuō)明 對(duì)于位置向量，它的終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)；對(duì)于起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們是通過(guò)先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標(biāo)得到它們的坐標(biāo).那么，有沒(méi)有不通過(guò)位置向量，直接就寫(xiě)出任意向量的坐標(biāo)的方法呢？答案是肯定的，而且很簡(jiǎn)便，但我們需幾分鐘后再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.讓我們先學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算：3.向量的坐標(biāo)表示的運(yùn)算 我們學(xué)過(guò)向量的運(yùn)算，知道向量有加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的乘法等運(yùn)算，那么，在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示以后，我們?cè)趺?/p>

11、用向量的坐標(biāo)形式來(lái)表示這些運(yùn)算呢？設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由于 所以 于是有： 說(shuō)明上面第一個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：兩個(gè)向量的和(差)的橫坐標(biāo)等于它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的和(差)，兩個(gè)向量的和(差)的縱坐標(biāo)也等于它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的和(差)，可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱(chēng)為：兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；同樣，第二個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標(biāo)等于數(shù)與向量的橫坐標(biāo)的積，數(shù)與向量的積的縱坐標(biāo)等于數(shù)與向量的縱坐標(biāo)的積，也可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱(chēng)為：數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于數(shù)與向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的積.4.應(yīng)用與深化下面我們來(lái)研究剛才提出的不通過(guò)位置向量，如何直接寫(xiě)出任意向量的坐標(biāo)的問(wèn)題：例2.如下圖左，設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意

12、兩點(diǎn)，如何用P、Q的坐標(biāo)來(lái)表示向量？解：如上圖右，向量 從而有 說(shuō)明上面這個(gè)式子告訴我們：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量的橫坐標(biāo)等于它終點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它起點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差，縱坐標(biāo)也等于它終點(diǎn)的縱坐標(biāo)與它起點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，可簡(jiǎn)稱(chēng)為“任意向量坐標(biāo)=終點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo)”.例3.（課本例題）如圖，平面上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、.（1）寫(xiě)出向量的坐標(biāo)；（2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo).解：（1） （2）在上圖中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，于是有 又 故 由此可得 解得 因此點(diǎn)D的坐標(biāo)為.練習(xí)：（1）請(qǐng)大家用兩分鐘的時(shí)間解答本節(jié)課一開(kāi)始我們所提出的在某時(shí)刻，健美操隊(duì)

13、員C的位置問(wèn)題.即：在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊(duì)形.如下圖左，隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？ 解：以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系.則依題意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),設(shè)C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：又故于是 x=8, y=7,即C（8，7）.答：隊(duì)員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處.（2）在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持平行四邊形隊(duì)形.已知隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處

14、，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(nèi)（包括邊界）某一位置.你能確定此時(shí)隊(duì)員D可能的位置區(qū)域嗎？ 解：以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系.依題意有A(2,1),B(6,3),設(shè)D(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得： 又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由題意于是可得隊(duì)員D可能的位置區(qū)域如圖所示陰影部分（除去點(diǎn)B）：例4.已知向量與，求的坐標(biāo). 解：因?yàn)椋?所以 三鞏固練習(xí)1. 如圖，寫(xiě)出向量的坐標(biāo).2.已知，若其終點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),則其起點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；若其起點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),則其終點(diǎn)的坐標(biāo)是

15、 .3.已知向量與，求及的坐標(biāo).解：1.由題意：2.設(shè)起點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y)，則(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-1)；設(shè)終點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y)，則(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3).3. =3 =3 另法：=四課堂小結(jié)：本節(jié)課我們講了哪些內(nèi)容？（請(qǐng)學(xué)生作答）1.向量的正交分解（是如何對(duì)向量進(jìn)行正交分解的？）2.向量的坐標(biāo)表示（是用什么表示向量的坐標(biāo)的？）3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算（運(yùn)算法則是什么？）五作業(yè)布置1.已知?jiǎng)t與的坐標(biāo)分別為( )(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3

16、),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,-1),的坐標(biāo)為(4,6),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為( )(A)(-2,-7) (B)(2,7)(C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知若則x= ,y= .4.已知，且的坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在第四象限，則x的取值范圍是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求證：.6.已知并且求x,y的值.7.已知，且求的值.六教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明及反思在本節(jié)課的設(shè)計(jì)上，我是先用一個(gè)實(shí)際的情境問(wèn)題引入，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)也在最后通過(guò)應(yīng)用向量坐標(biāo)這個(gè)工具對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的簡(jiǎn)便解決以及對(duì)于這一問(wèn)題的進(jìn)

17、一步深化，使學(xué)生體會(huì)到引入向量坐標(biāo)形式這個(gè)工具的必要性，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，是有價(jià)值的；另外，在新授課內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，主要采用了以知識(shí)內(nèi)容本身的邏輯關(guān)系而形成的繼承關(guān)系為順序的直線型的設(shè)計(jì)，主要有四個(gè)板塊：一是向量的正交分解，二是向量的坐標(biāo)表示，三是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，四是應(yīng)用與深化.其中向量的正交分解是從介紹基本單位向量與位置向量的概念入手，然后通過(guò)先處理位置向量的正交分解，再處理任意向量的正交分解；向量的坐標(biāo)表示也是先處理位置向量的坐標(biāo)表示然后再處理可化為位置向量的向量的坐標(biāo)表示，最后在研究了坐標(biāo)形式的運(yùn)算之后才以例題的形式處理任意向量的坐標(biāo)表示，這樣設(shè)計(jì)的思路與課本上先交代任意向量都可以作一個(gè)與之相等的位置向量，然后只要研究位置向量就能得到原來(lái)向量的性質(zhì)的思路略有不同，這樣設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)主要是希望能夠給學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造一個(gè)按知識(shí)自身的邏輯順序而層層遞進(jìn)的、螺旋上升的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生能夠步步為營(yíng)的在充分弄清前一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)入下一個(gè)問(wèn)題，從而達(dá)到有效分散學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)的目的.在應(yīng)用與深化這一板塊上，我主要設(shè)計(jì)了五個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是例1，置于向量的坐標(biāo)表示這一板塊之中，其目的是為了在初次接觸坐標(biāo)表示時(shí)，加深對(duì)位置向量與可化為位置向量的坐標(biāo)的理解，以及舒緩一下學(xué)生在較長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)純理論學(xué)習(xí)中所聚集的緊張或疲勞情緒，為下面的學(xué)習(xí)作點(diǎn)準(zhǔn)備；