機械工程控制基礎(chǔ)3-時間響應(yīng)

1、機械工程控制基礎(chǔ)機械工程控制基礎(chǔ)2013.102013.10主講人：高愛華主講人：高愛華 機械類專業(yè)必修課機械類專業(yè)必修課機械與動力工程學(xué)院機械與動力工程學(xué)院1 1、課程準(zhǔn)備、課程準(zhǔn)備7 7、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正2 2、緒、緒 論論4 4、系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析、系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析3 3、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5 5、系統(tǒng)的頻率特性分析、系統(tǒng)的頻率特性分析6 6、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一講第一講 時間響應(yīng)及其組成時間響應(yīng)及其組成典型信號和一階系統(tǒng)典型信號和一階系統(tǒng) 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性，時間響應(yīng)分析

2、是重要的方法之一。 時域分析問題是指在時間域內(nèi)對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析，時間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身特性，而且與外加的輸入信號有較大的關(guān)系。 時域分析的目的 ：在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)的快速性與響應(yīng)的準(zhǔn)確性等系統(tǒng)的動態(tài)性能。一、時間響應(yīng)及其組成一、時間響應(yīng)及其組成微分方程：微分方程：系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系不明確情況下，所列寫的需要尋系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系不明確情況下，所列寫的需要尋找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。時間響應(yīng)：時間響應(yīng)：特定輸入下微分方程的解，即需要尋找的未知函數(shù)。特定輸入下微分方程的解，即需要尋找

3、的未知函數(shù)。實例分析實例分析 1無阻尼單自由度系統(tǒng)無阻尼單自由度系統(tǒng)tFtkydttydmcos)()(22系統(tǒng)微分方程：系統(tǒng)微分方程：系統(tǒng)在外界（輸入或擾動）的作用下，從一定的初始狀態(tài)系統(tǒng)在外界（輸入或擾動）的作用下，從一定的初始狀態(tài)出發(fā)，所經(jīng)歷的由其固有特性所決定的動態(tài)歷程。亦即系出發(fā)，所經(jīng)歷的由其固有特性所決定的動態(tài)歷程。亦即系統(tǒng)微分方程在一定初始條件下的解。統(tǒng)微分方程在一定初始條件下的解。微分方程解的組成：微分方程解的組成： tytyty21特解特解齊次微分方程通解齊次微分方程通解其中，y1(t)為對應(yīng)于齊次微分方程的通解，y2(t)為特解。由理論力學(xué)與微分方程解的理論可知：和特解的和

4、。微分方程的解則為通解的值。對應(yīng)特解是的值；時對應(yīng)通解是)()()()()(0)()(tytftkytymtytkytym 特解與輸入有關(guān)特解與輸入有關(guān)通解與輸入無關(guān)通解與輸入無關(guān))sincos()(2)()(2)(200)()()(212121221xCxCetyjaxCCetyeCeCtyqprrtqytyptyaxrxxrxr，則通解為：個共軛虛根若方程有解為：個相等的實數(shù)根，則通若方程有通解為：個不相等的實數(shù)根，則若方程有化為的通解：求 ( )( )0,nkmy tky tjmkm有虛根通解為1nn1nny(t)Asiny(t)Asin tBcostBcos t t為系統(tǒng)的無阻尼固有頻

5、率。為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。微分方程解的表現(xiàn)形式：微分方程解的表現(xiàn)形式：n,11kFY,t,Ycos(t)y 22代入微分方程得設(shè)微分方程的特解為nkFYtFtYkm2211coscos即有將 y2(t) 代入式(3.1.1)可得：于是，式 的完全解可寫成如下形式： tkFtBtAtynncos11cossin2為求常數(shù)A和B，將上式對 t 求導(dǎo)可得： tkFtBtAtynnnnsin1sincos2 000ytyytyt，時，設(shè)聯(lián)立以上二式可解得：20011kFyByAn特解，特解，與輸入與輸入有關(guān)有關(guān)通解，與輸入無關(guān)通解，與輸入無關(guān)22( )( )cosd y tmky tFtdttkFt

6、11kFty(0)t(0)ytkFt11kFy(0)t(0)ytyn2nnnn2nncos11coscossincos11cossin)(22求得方程的解：求得方程的解：tkFt11kFty(0)t(0)ytyn2nnncos11coscossin)(2由微分方程初由微分方程初始條件引起的始條件引起的響應(yīng)響應(yīng)由作用力引由作用力引起的響應(yīng)起的響應(yīng)自自由由響響應(yīng)應(yīng)強迫強迫響應(yīng)響應(yīng)還不是還不是完全意完全意義上的義上的自由響自由響應(yīng)，其應(yīng)，其振幅還振幅還是受是受F的的影響影響自由響應(yīng)的振自由響應(yīng)的振動頻率與自身動頻率與自身特性有關(guān)特性有關(guān)強迫響應(yīng)的振強迫響應(yīng)的振動頻率與外加動頻率與外加作用力的振動作用

7、力的振動頻率相關(guān)頻率相關(guān)由作用力引起由作用力引起的自由振動的自由振動自由響應(yīng)（頻率為自由響應(yīng)（頻率為n）強迫響應(yīng)（頻率為強迫響應(yīng)（頻率為）零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：無輸入時系統(tǒng)初態(tài)引起得自由響應(yīng)。無輸入時系統(tǒng)初態(tài)引起得自由響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：在零初始條件下，由輸入引起的響應(yīng)。在零初始條件下，由輸入引起的響應(yīng)。牢記！控制工程的研究內(nèi)容主要是零狀態(tài)響應(yīng)！控制工程的研究內(nèi)容主要是零狀態(tài)響應(yīng)！2 2、系統(tǒng)時間響應(yīng)的一般組成、系統(tǒng)時間響應(yīng)的一般組成對系統(tǒng)微分方程對系統(tǒng)微分方程x(t)各階導(dǎo)數(shù)取各階導(dǎo)數(shù)取 0，則：，則：方程解的一般形式：方程解的一般形式： tytyty21若方

8、程中齊次方程特征根若方程中齊次方程特征根si ( i=1,2,n )互異，則：互異，則： tBtyeAtytsniii211 tsniitsniiiieAeAty12111y1(t)又可表示為：又可表示為：系統(tǒng)初態(tài)引起系統(tǒng)初態(tài)引起的自由響應(yīng)的自由響應(yīng)輸入輸入x (t)引起引起的自由響應(yīng)的自由響應(yīng) tBeAeAtynitsinitsiii1211)(自 由 響 應(yīng)強 迫 響 應(yīng)零 狀 態(tài) 響 應(yīng)零 輸 入 響 應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的一般表達(dá)為：系統(tǒng)響應(yīng)的一般表達(dá)為：n與與si同系統(tǒng)的初態(tài)和輸入無關(guān)，而取決于系同系統(tǒng)的初態(tài)和輸入無關(guān)，而取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的固有特性。統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的固有特性。注意：在定義

9、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時已規(guī)定零初始條件，故由初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)為零，從而對Y(s)=G(s)X(s)進(jìn)行拉氏反變換得到的y(t)就是零狀態(tài)響應(yīng)。在定義傳遞函數(shù)時，其前提條件之一便是：系統(tǒng)初始狀態(tài)為在定義傳遞函數(shù)時，其前提條件之一便是：系統(tǒng)初始狀態(tài)為0)()()(sXsXsGio)()()(sXsGsXio拉氏反變換)()()()(11sXsGLsXLtxioo)()(itxLsXi看看利用傳遞函數(shù)求解響應(yīng)的過程？看看利用傳遞函數(shù)求解響應(yīng)的過程？此處所求此處所求 是在系統(tǒng)零狀態(tài)下的解，即前面講的零狀態(tài)解是在系統(tǒng)零狀態(tài)下的解，即前面講的零狀態(tài)解)(txo注意：本書所講時間響應(yīng)內(nèi)容沒有特別標(biāo)明之外，均為

10、零狀態(tài)響應(yīng)注意：本書所講時間響應(yīng)內(nèi)容沒有特別標(biāo)明之外，均為零狀態(tài)響應(yīng)輸入存在導(dǎo)數(shù)項的響應(yīng)求?。狠斎氪嬖趯?dǎo)數(shù)項的響應(yīng)求?。簩ο到y(tǒng)動力學(xué)微分方程的一般形式求導(dǎo)：對系統(tǒng)動力學(xué)微分方程的一般形式求導(dǎo)： x(t) 為輸入則輸出為為輸入則輸出為y(t) ，所以以所以以x(t)的的n n階階導(dǎo)數(shù)為輸入則以導(dǎo)數(shù)為輸入則以y(t)的的n n階導(dǎo)數(shù)為輸出。階導(dǎo)數(shù)為輸出。存在導(dǎo)數(shù)的輸入的響應(yīng)是各階導(dǎo)數(shù)輸出的疊加。存在導(dǎo)數(shù)的輸入的響應(yīng)是各階導(dǎo)數(shù)輸出的疊加。 tismjItistiseeeRe nitisinitisieAeAty1211)(tisimtistisetsIeeRe*)cos(2 ReImstyReIms

11、tyReImstyReImstyReImst 在此還要強調(diào)：在此還要強調(diào)：Re sRe s i i是大于還是小于零，決定系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定；是大于還是小于零，決定系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定； Re sRe s i i絕對值大小，決定系統(tǒng)的快速性；絕對值大小，決定系統(tǒng)的快速性；特征根實部特征根實部ImsiImsi的大小決定自由響應(yīng)的振蕩頻率的大小決定自由響應(yīng)的振蕩頻率, ,影響系統(tǒng)響影響系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。應(yīng)的準(zhǔn)確性。ReImsReIms瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問題：瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問題： 1）若方程特征根具有負(fù)實部，即）若方程特征根具有負(fù)實部，即Resi 0，則，則t時，自由響應(yīng)趨于零。 2）si是方程的極

12、點，即是方程的極點，即Resi 0表示所有極點在方程表示所有極點在方程左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定其自由響應(yīng)為瞬態(tài)響應(yīng)左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定其自由響應(yīng)為瞬態(tài)響應(yīng)。 3）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指強迫響應(yīng)。）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指強迫響應(yīng)?？偨Y(jié)：總結(jié)：振動性質(zhì)振動性質(zhì)振動來源振動來源自由響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性質(zhì)穩(wěn)定性質(zhì)瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時間域進(jìn)行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的

13、典型輸入信號。二、典型輸入信號二、典型輸入信號信號分類：信號分類：確定性信號：確定性信號：能夠用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。能夠用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。非確定性信號：非確定性信號：不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。特點：特點：可分為周期、非周期信號與準(zhǔn)周期信號?？煞譃橹芷?、非周期信號與準(zhǔn)周期信號。特點：特點：幅值、相位變化不可預(yù)知，只服從統(tǒng)計規(guī)律。幅值、相位變化不可預(yù)知，只服從統(tǒng)計規(guī)律。 在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，為了能夠方便地評價其性在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，為了能夠方便地評價其性能的優(yōu)劣，需要規(guī)定一些典型輸入信號。從而通過能的優(yōu)劣，需要規(guī)定一些典型輸入信號。從而通過比較系統(tǒng)

14、對典型輸入信號的時間響應(yīng)來判定系統(tǒng)的比較系統(tǒng)對典型輸入信號的時間響應(yīng)來判定系統(tǒng)的動態(tài)性能。動態(tài)性能。系統(tǒng)性能評價原理：系統(tǒng)性能評價原理： sXsXsGsXsXioio2211A頻域：頻域：)()()()(1221txtxtxtxoioiA時域：時域：系統(tǒng)試驗方法：系統(tǒng)試驗方法：A系統(tǒng)正常工作輸入信號系統(tǒng)正常工作輸入信號特點：特點：不影響系統(tǒng)正常工作，但不能保證全面了解不影響系統(tǒng)正常工作，但不能保證全面了解系統(tǒng)動態(tài)特性。系統(tǒng)動態(tài)特性。A經(jīng)驗典型信號經(jīng)驗典型信號特點：特點：能綜合測試系統(tǒng)的動態(tài)特性。能綜合測試系統(tǒng)的動態(tài)特性。典型輸入信號：典型輸入信號：A單位脈沖信號單位脈沖信號A單位階躍信號單位階

15、躍信號A單位斜坡信號單位斜坡信號A單位拋物線信號單位拋物線信號A正弦函數(shù)正弦函數(shù)A隨機函數(shù)隨機函數(shù)典型輸入信號的選擇原則典型輸入信號的選擇原則 能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況；如：若實際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號；若實際系統(tǒng)的輸入隨時間逐漸變化，則可選速度信號。 注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。三、一階系統(tǒng)三、一階系統(tǒng)定定 義：義：可用一階微分方程描述的系統(tǒng)?？捎靡浑A微分方程描述的系統(tǒng)。微分方程：微分方程： txtxdttdxTioo11)()()(TSsXsXsGio傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：特征參數(shù)：特征參數(shù)：一階時系統(tǒng)間

16、常數(shù)一階時系統(tǒng)間常數(shù)T 。T表達(dá)了一階系統(tǒng)本身與外界作用無關(guān)的固有特性。表達(dá)了一階系統(tǒng)本身與外界作用無關(guān)的固有特性。1）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)定定 義：義：以單位脈沖函數(shù)以單位脈沖函數(shù)(t)為輸入的一階系統(tǒng)輸出。為輸入的一階系統(tǒng)輸出。響應(yīng)求解：響應(yīng)求解： sXsGsXsWio 1tLsXid sGsW 0111)(11teTTSLsGLtwTt特點：特點：輸入瞬態(tài)；響應(yīng)有瞬態(tài)無穩(wěn)態(tài)，且按指數(shù)規(guī)律衰減。輸入瞬態(tài)；響應(yīng)有瞬態(tài)無穩(wěn)態(tài)，且按指數(shù)規(guī)律衰減。主要原因是引起此響應(yīng)主要原因是引起此響應(yīng)的輸入是瞬態(tài)作用的輸入是瞬態(tài)作用-1/T2-0.368 1/T2-0.135 1/T2

17、-0.018 1/T201/T0.368 1/T0.135 1/T0.018 1/T00T2T4Tw(t)w (t)t斜率 TteTtw1特性分析：特性分析：過渡過程：響應(yīng)衰減到初值過渡過程：響應(yīng)衰減到初值2之前的過程。之前的過程。調(diào)整時間：過渡過程歷經(jīng)的時間調(diào)整時間：過渡過程歷經(jīng)的時間ts=4T。T越大，越大，t ts s越長，系統(tǒng)慣性越大；越長，系統(tǒng)慣性越大； 一階系統(tǒng)可稱為一階慣性系統(tǒng)。一階系統(tǒng)可稱為一階慣性系統(tǒng)。2）一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)）一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)定定 義：義：以單位階躍函數(shù)以單位階躍函數(shù)u(t)為輸入的一階系統(tǒng)輸出。為輸入的一階系統(tǒng)輸出。響應(yīng)求解：響應(yīng)求解：特點：特點：

18、是瞬態(tài)項；是瞬態(tài)項； sTssXstuLtutxoi1111故 011tesXLtxTtoouTte1是穩(wěn)態(tài)項是穩(wěn)態(tài)項B ( t ).特性分析：特性分析：1/T0.368 1/T0.135 1/T0.018 1/T000.6320.8650.98210T2T4Txou(t)xou(t)t斜率10.632ATtx ou(t) Ttouetx/1響應(yīng)說明：響應(yīng)說明：A單調(diào)上升的指數(shù)曲線；單調(diào)上升的指數(shù)曲線；A重要特征點：重要特征點：A點點t=T, x ou(t)=0.632；0點點斜率為斜率為1/1/T T。包含了一階系統(tǒng)固包含了一階系統(tǒng)固有特性的有關(guān)信息有特性的有關(guān)信息如何用如何用實驗法實驗法求

19、一階系統(tǒng)的求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(s) ？對系統(tǒng)輸入一對系統(tǒng)輸入一單位階躍信號單位階躍信號測出響應(yīng)曲線測出響應(yīng)曲線穩(wěn)定值穩(wěn)定值0.632倍的穩(wěn)定值或倍的穩(wěn)定值或t=0時的斜率時的斜率即能求得傳遞函數(shù)即能求得傳遞函數(shù)如穩(wěn)態(tài)值B(t)為k, 0.632B(t)對應(yīng)的時間t為a, 則傳遞函數(shù)為：1)(asksG單位脈沖響應(yīng)和單位階躍函數(shù)的關(guān)系？單位脈沖響應(yīng)和單位階躍函數(shù)的關(guān)系？結(jié)論：結(jié)論：如果輸入函數(shù)等于某一函數(shù)的微分，那么該輸入函數(shù)的時間響應(yīng)也是這個如果輸入函數(shù)等于某一函數(shù)的微分，那么該輸入函數(shù)的時間響應(yīng)也是這個函數(shù)響應(yīng)的微分函數(shù)響應(yīng)的微分.如果輸入函數(shù)等于某一函數(shù)的積分，那么該輸入函數(shù)的

20、時間響應(yīng)也是這個如果輸入函數(shù)等于某一函數(shù)的積分，那么該輸入函數(shù)的時間響應(yīng)也是這個函數(shù)響應(yīng)的積分，如果為不定積分，還需要確定積分常數(shù)。函數(shù)響應(yīng)的積分，如果為不定積分，還需要確定積分常數(shù)。Ttouetxtttu1)(0001)(TteTtwttt/1)(000)(d單位脈沖單位脈沖單位階躍單位階躍w w( (t t) )( (t t) )x x而而( (t t) )0 0( (t t) )u u0 0時時，當(dāng)當(dāng)t t由由上上面面公公式式可可以以看看出出，o ou u響應(yīng)分析：響應(yīng)分析： 一階系統(tǒng)的響應(yīng)速度一階系統(tǒng)的響應(yīng)速度隨時間的增大而減小。隨時間的增大而減小。當(dāng)當(dāng)t t=4=4T T時，其響應(yīng)已

21、達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時，其響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%98%以上。故以上。故t ts s=4=4T T中的中的T T 確實反映了一階系統(tǒng)的特性。確實反映了一階系統(tǒng)的特性。應(yīng)用價值：應(yīng)用價值： 對比一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)對比一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)可知，二者存在導(dǎo)數(shù)關(guān)系，即單位脈沖函數(shù)是單位階可知，二者存在導(dǎo)數(shù)關(guān)系，即單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)躍函數(shù)( (在在t t=0=0處處) )的導(dǎo)數(shù)，單位脈沖響應(yīng)也是單位階躍的導(dǎo)數(shù)，單位脈沖響應(yīng)也是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。這一關(guān)系可以推廣，即若輸入是某函數(shù)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。這一關(guān)系可以推廣，即若輸入是某函數(shù)的積分，則響應(yīng)也為某函數(shù)的響應(yīng)的積分。但若為不

22、的積分，則響應(yīng)也為某函數(shù)的響應(yīng)的積分。但若為不定積分，則需確定積分常數(shù)。定積分，則需確定積分常數(shù)?？梢酝ㄟ^輸入階躍函可以通過輸入階躍函數(shù)用實驗方法求一階數(shù)用實驗方法求一階系統(tǒng)的特征參數(shù)系統(tǒng)的特征參數(shù)T T實例分析實例分析1例：已知例：已知 tteetw5 . 02 . 0510，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：因為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)拉氏反變解：因為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)拉氏反變換，故換，故 1 . 07 . 04 . 0155 . 052 . 01051025 . 02 . 0ssssseeLtwLsGttsts4 ;tT 時，s53tT 時，。設(shè)設(shè)相對容許誤差

23、相對容許誤差 穩(wěn)態(tài)值. ts0t(sec)穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值xo(t)Ttouetx/1)( 由由1 .)1 (1/ TsteTstsouetx/1)( ln1 ./TtesTst有有A掌握系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其一般組成；掌握系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其一般組成；四、本講小結(jié)四、本講小結(jié)A掌握典型試驗輸入信號模型、變換及圖像；掌握典型試驗輸入信號模型、變換及圖像；A掌握一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)特性及分析；掌握一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)特性及分析；A掌握一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性及分析。掌握一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性及分析。練習(xí)題練習(xí)題教材：教材： 3.3, 3.73.9第二講第二講 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)說說 明：明：一般控

24、制系統(tǒng)。一般控制系統(tǒng)。微分方程：微分方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：特征參數(shù)：特征參數(shù)：無阻尼固有頻率無阻尼固有頻率n ，阻尼比，阻尼比 。n 稱為無阻尼固有頻率稱為無阻尼固有頻率,稱為阻尼比稱為阻尼比,它們是二階系它們是二階系統(tǒng)本身固有的與外界無關(guān)的的特征參數(shù)統(tǒng)本身固有的與外界無關(guān)的的特征參數(shù) 。一、二階系統(tǒng)分析一、二階系統(tǒng)分析)()()(2)(222txtxdttdxdttxdinonono2222)()()(nnniosssXsXsG令傳遞函數(shù)特征多項式為令傳遞函數(shù)特征多項式為0，得：，得：0222nnss解特征方程，可得特征根：解特征方程，可得特征根：122, 1nns 二階系統(tǒng)的特征根因二

25、階系統(tǒng)的特征根因 的不同而不同?？煞值牟煌煌??？煞炙姆N情況進(jìn)行說明。四種情況進(jìn)行說明。二階系統(tǒng)方程特征根的討論：二階系統(tǒng)方程特征根的討論：a) 0 1 j0s1s2122, 1nns 系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)過阻尼特征根為兩個特征根為兩個不相等的負(fù)實根，系統(tǒng)傳遞函不相等的負(fù)實根，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點是一對位于復(fù)平面數(shù)的極點是一對位于復(fù)平面ss的負(fù)實軸上。的負(fù)實軸上。根據(jù)以上分析根據(jù)以上分析,得二階系統(tǒng)極點分布圖如下：得二階系統(tǒng)極點分布圖如下：二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)定定 義：義：以單位脈沖函數(shù)以單位脈沖函數(shù)(t)為輸入的二階系統(tǒng)輸出。為輸入的二階系統(tǒng)輸出。響應(yīng)求解：響應(yīng)求解

26、： sXsGsXsWio 1tLsXid sGsW特點：特點：輸入瞬態(tài)；響應(yīng)由阻尼比輸入瞬態(tài)；響應(yīng)由阻尼比來劃分。來劃分。222212221)1()(2)(nnnnnnsLssLtwa) 0 1 過阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng))0(12)1(1)1(112)()1()1(22121222teesLsLtwttnnnnnn0.40.2-1012t(sec)nw(t)當(dāng)當(dāng)取不同值時，欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)曲線是取不同值時，欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)曲線是減幅正弦振蕩曲線，且減幅正弦振蕩曲線，且 越小越小 ，衰減越慢，衰減越慢，振蕩頻率振蕩頻率dd 越大。幅值衰減的快慢取決于越大。幅值衰減的快慢取決于 *n (1/ (1/

27、*n 為時間衰減常數(shù)）為時間衰減常數(shù)）。 twt1 . 03 . 05 . 00定定 義：義：以單位階躍函數(shù)以單位階躍函數(shù)u(t)為輸入的一階系統(tǒng)輸出。為輸入的一階系統(tǒng)輸出。響應(yīng)求解：響應(yīng)求解： ?stuLtutxi1三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng))(21121)()(222dndnnnnnojsjssssssssGsX根據(jù)響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換式，有：根據(jù)響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換式，有：a) 0 1 過阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)c) = 1 臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)) 0()1 (1)()(1tetsXLtxtnoon因因, 故故xo(t)單調(diào)上升：單調(diào)上升：nntstsnttoosst

28、seseeesXLtxnn)1()1()0(121)1(121)1(1211)()(2221212)1(22)1(2212122式中，L-110.5012t(sec)nxo(t)01012t(sec) n) t (xout當(dāng)當(dāng)1.51.5，兩個衰減的指數(shù)項中，兩個衰減的指數(shù)項中，e es s1 1t t 的衰減要比的衰減要比e es s2 2t t 快快得多，因此過渡過程的變化以得多，因此過渡過程的變化以e es s2 2t t 項起主要作用。項起主要作用。01 . 03 . 06 . 07 . 00 . 1 nw(t)ntn txo(t)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分析：二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分析：A

29、 1時，過渡過程為單調(diào)上升時，過渡過程為單調(diào)上升, 且在且在= 1時過時過渡過程最短。渡過程最短。A= 0.40.8時，振蕩適度、過渡過程較短且比時，振蕩適度、過渡過程較短且比= 1 時更短。時更短?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計所需的控制系統(tǒng)設(shè)計所需的理想?yún)?shù)理想?yún)?shù)A決定過渡過程特性的是響應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)部分；合適決定過渡過程特性的是響應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)部分；合適的參數(shù)的參數(shù)n和和決定了合適的過渡過程。決定了合適的過渡過程。四、二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)四、二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)1) 相關(guān)約定：相關(guān)約定：A階躍輸入產(chǎn)生容易，基于其響應(yīng)系統(tǒng)可求得對任何階躍輸入產(chǎn)生容易，基于其響應(yīng)系統(tǒng)可求得對任何輸入的響應(yīng)。輸入的響應(yīng)。A實

30、際輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入是實際中實際輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入是實際中最不利的輸入情況。最不利的輸入情況。 系統(tǒng)性能指標(biāo)根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)來系統(tǒng)性能指標(biāo)根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)來界定，原因如下：界定，原因如下：2) 欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)性能指標(biāo)：欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)性能指標(biāo)：A上升時間上升時間tr；A峰值時間峰值時間tp；A最大超調(diào)量最大超調(diào)量Mp；A調(diào)整時間調(diào)整時間ts；A振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N；n21od21e( )1sin(tg)1tx tt a) 上升時間上升時間tr 響應(yīng)曲線第一次達(dá)到響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義為上升時間。為上升時

31、間。 由圖可知，當(dāng)由圖可知，當(dāng)tt r時，時，xo(t r)1，由單位階躍響，由單位階躍響應(yīng)的表達(dá)式得：應(yīng)的表達(dá)式得：rdrdttternsin1cos112t0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 0sin1cos2rdrdtt即：即：可得：可得：21tanrdt令：令：21arctan,3,2,rdtdrrdtt即 上升時間是輸出第一次達(dá)上升時間是輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間，故?。旱椒€(wěn)態(tài)值的時間，故?。篵) 峰值時間峰值時間 tp響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需要的時間定義為值所需要的時間定義為峰值時間。峰值時間。 pdtdpt0)(pttodttdx令：令：

32、,2, 0pdt0sinpdt則：則：依定義，?。阂蓝x，?。簞t：則：t0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 c) 最大超調(diào)量最大超調(diào)量 Mpt0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 %100)()()(oopopxxtxM定義如下：定義如下：1)(,odpxt依據(jù)定義：依據(jù)定義：%100sin1cos2/dneMp代入時間響應(yīng)，得：代入時間響應(yīng)，得：%10021/eMp即：即： 超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)。當(dāng)超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)。當(dāng)=0.40.8 =0.40.8 時，相應(yīng)時，相應(yīng)的超調(diào)量的超調(diào)量M Mp p=25% 1.5% =25% 1.5% 。t0 xout rt

33、 pt sM p1 0.9 0.1 d) 調(diào)整時間調(diào)整時間 ts過渡過程中，輸過渡過程中，輸出滿足下列不等出滿足下列不等式所需的時間定式所需的時間定義為調(diào)整時間，義為調(diào)整時間，如下頁所示：如下頁所示： )()()()(sooottxxtx)()()()()()(sooooottxxtxxx即：即：1)(txo所以：所以：欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ：)0(1arctansin11)(22ttetxdton)(1arctansin122sdtttetn代入上式得代入上式得 ：21tne211ln1nst若取若取0.02，得，得 ：nst211ln47.004ns

34、t或或若取若取0.05，得，得 ：nst211ln37 . 003nst或或二階系統(tǒng)的特征參數(shù)二階系統(tǒng)的特征參數(shù)n和和 決定系統(tǒng)的調(diào)整時間，和最大超決定系統(tǒng)的調(diào)整時間，和最大超調(diào)量；反過來，根據(jù)調(diào)量；反過來，根據(jù) t s 和和Mp要求，也能確定要求，也能確定n和和 。e) 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N 定義：定義：過渡過程中，輸出過渡過程中，輸出x xo o(t)(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半。穿越其穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半?；谇纷枘犴憫?yīng)函數(shù)基于欠阻尼響應(yīng)函數(shù) ：)0(1arctansin11)(22ttetxdtond/2系統(tǒng)的振蕩周期為：系統(tǒng)的振蕩周期為：dstN/2)02.0(122N當(dāng)當(dāng)000.70

35、.7時，代入時，代入t ts s 近似表達(dá)式，有：近似表達(dá)式，有：)05.0(15 .12N二階系統(tǒng)性能討論：二階系統(tǒng)性能討論：A增大增大n n，可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少上，可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少上升時間升時間t tr r、峰值時間、峰值時間t tp p和調(diào)整時間和調(diào)整時間t ts s； A增大增大，可以減弱系統(tǒng)的振蕩，降低超調(diào)量，可以減弱系統(tǒng)的振蕩，降低超調(diào)量MMp p，減少振蕩次數(shù)減少振蕩次數(shù)NN，但增大上升時間，但增大上升時間t tr r和峰值時間和峰值時間t tp p；A系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能之間往往存在矛盾。必系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能之間往往存在矛盾。必須合理選擇

36、系統(tǒng)參數(shù)，使之滿足性能要求。須合理選擇系統(tǒng)參數(shù)，使之滿足性能要求。五、二階系統(tǒng)計算實例五、二階系統(tǒng)計算實例實例分析實例分析1)(sXo)(sXi)2(2nnss二階系統(tǒng)方框圖如右圖二階系統(tǒng)方框圖如右圖所示，其中，所示，其中， =0.6， n =5s-1。求其性能指標(biāo)。求其性能指標(biāo)t p、Mp和t s 。（1）求t p ：1241snd由：由：stdp785. 0(2) 求M p%5 . 9%10021/eMp(3) 求t sstns13(取 0 .05)實例分析實例分析2 如圖機械系統(tǒng)，在質(zhì)量塊如圖機械系統(tǒng)，在質(zhì)量塊m上施加上施加xi(t)=8.9N階躍力后，階躍力后，m的時間響應(yīng)如右圖所示，

37、求的時間響應(yīng)如右圖所示，求m, c, k.mckxo(t)xi(t)01234t/s0.030.0029xo(t)/m系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 ：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ：kcsmssXsXsGio21)()()(1) 求求k由由LaplaceLaplace變換的終值定理，則變換的終值定理，則)(lim)(lim)(0sXstxxosotoskcsmsssXkcsmsssis9 . 81lim)(1lim2020mNxko/29703.09.89.8因此，有因此，有 ：(2) 求求m由響應(yīng)曲線可知：由響應(yīng)曲線可知：t p=2s%6 .903.0029.0pM12296.16 .012

38、1stpnkgkmn3 .7796.129722(3) 求求cmsNmcn/8 .1813 .7796. 16 . 022105. 050ss105. 050sss1 sXi sXo sXi sXo+-+實例分析實例分析3圖為隨動系統(tǒng)方框圖。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時，圖為隨動系統(tǒng)方框圖。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時，M Mp p 5% 5%，試，試 ：(1)(1)校核各參數(shù)是否滿足；校核各參數(shù)是否滿足；(2) (2) 在原在原系統(tǒng)增加一微分反饋系統(tǒng)增加一微分反饋, , 求其時間常數(shù)。求其時間常數(shù)。 222262.3162.31316. 0262.315005. 050sssssGB（1）將傳遞函數(shù)

39、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式）將傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 ：%35%100316. 021/eMp由于由于 ：故不能滿足要求。故不能滿足要求。(2)增加微分反饋后，傳遞函數(shù)為增加微分反饋后，傳遞函數(shù)為 ： 22226 .315012062.3150)501 (05. 050sssssGB為了滿足為了滿足M Mp p 5% 5%，計算得，計算得 =0.69 =0.69。n250120可得：可得：s0236. 0由由此例表明，加入微分環(huán)節(jié)后，相當(dāng)于增大了阻此例表明，加入微分環(huán)節(jié)后，相當(dāng)于增大了阻尼，但并不改變系統(tǒng)的固有頻率。尼，但并不改變系統(tǒng)的固有頻率。%5%35pMA掌握系統(tǒng)分類與阻尼比的關(guān)系掌握系統(tǒng)分類與阻尼比的

40、關(guān)系六、本講小結(jié)六、本講小結(jié)A了解二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)了解二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)A掌握二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)及其與特征參數(shù)之間的關(guān)系掌握二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)及其與特征參數(shù)之間的關(guān)系A(chǔ)掌握二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)及系統(tǒng)參數(shù)的求解方法掌握二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)及系統(tǒng)參數(shù)的求解方法作業(yè)：作業(yè)：教材：教材： 3.11, 3.12, 3.15, 3.16第三講第三講 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng)系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算定義定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。一、高階系統(tǒng)及其討論一、高階系統(tǒng)及其討論高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下： 011011asas

41、asabsbsbsbsGnnmm高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為： 21110sinnkkdkknjtpjoteDeAAtxnkkj式中，第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為指數(shù)曲線（一階系式中，第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為指數(shù)曲線（一階系統(tǒng)），第三項為振蕩曲線（二階系統(tǒng)）。因此一個高階系統(tǒng)），第三項為振蕩曲線（二階系統(tǒng)）。因此一個高階系統(tǒng)可以看成多個一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)響應(yīng)的迭加。而這些統(tǒng)可以看成多個一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)響應(yīng)的迭加。而這些環(huán)節(jié)的響應(yīng)，決定于它們的極點環(huán)節(jié)的響應(yīng)，決定于它們的極點pj、 n k、 k及系數(shù)。及系數(shù)。(1) 當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)極點全部在當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)極點全部在s平面的左半平面時平面

42、的左半平面時, 及特征根具及特征根具有負(fù)實部有負(fù)實部, 第二、三項均為衰減的，故系統(tǒng)穩(wěn)定。各分量衰第二、三項均為衰減的，故系統(tǒng)穩(wěn)定。各分量衰減的快慢，取決與極點離虛軸的距離。如下圖所示。減的快慢，取決與極點離虛軸的距離。如下圖所示。 s1s2s3s4s5xo(t)t0s1(s2)z1s3s4(s5)(2) 衰減項中各項的幅值衰減項中各項的幅值A(chǔ)j和和Dk, 既與極點有關(guān)既與極點有關(guān), 也與零點有也與零點有關(guān)。極點位置離原點越遠(yuǎn)，則其對應(yīng)項的幅值就越小，對系關(guān)。極點位置離原點越遠(yuǎn)，則其對應(yīng)項的幅值就越小，對系統(tǒng)過渡過程的影響也越小。另外，當(dāng)極點和零點很靠近時，統(tǒng)過渡過程的影響也越小。另外，當(dāng)極點

43、和零點很靠近時，對應(yīng)項的幅值也很小。其對過渡過程的影響將很小。系數(shù)大對應(yīng)項的幅值也很小。其對過渡過程的影響將很小。系數(shù)大而且衰減慢的分量，將在過渡過程中起主導(dǎo)作用。而且衰減慢的分量，將在過渡過程中起主導(dǎo)作用。(3) 若高階系統(tǒng)中離虛軸最近的極點若高階系統(tǒng)中離虛軸最近的極點, 其實部小于其它極點其實部小于其它極點實部的實部的1/5, 并且附近不存在零點并且附近不存在零點,可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由這一極點決定由這一極點決定,稱為主導(dǎo)極點。利用主導(dǎo)極點的概念，可稱為主導(dǎo)極點。利用主導(dǎo)極點的概念，可以將主導(dǎo)極點為共軛復(fù)數(shù)極點的高階系統(tǒng)，降階近似為二階以將主導(dǎo)極點為共軛復(fù)數(shù)極點的高

44、階系統(tǒng)，降階近似為二階系統(tǒng)來處理。系統(tǒng)來處理。二、系統(tǒng)誤差分析與計算二、系統(tǒng)誤差分析與計算誤差定義誤差定義：期望的數(shù)值與實際輸出的差。：期望的數(shù)值與實際輸出的差。誤差組成與分析：誤差組成與分析： 在過渡過程中，在過渡過程中，瞬態(tài)誤差是誤差的主要部瞬態(tài)誤差是誤差的主要部分，但它隨時間逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸成分，但它隨時間逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸成為誤差的主要部分。為誤差的主要部分。誤差產(chǎn)生的原因：誤差產(chǎn)生的原因：內(nèi)因：內(nèi)因：系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。外因：外因：系統(tǒng)輸入量及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)變化。系統(tǒng)輸入量及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)變化。1) 1) 系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)的誤差e(t)與偏差與偏差(t) 系統(tǒng)的系統(tǒng)的

45、誤差誤差是以系統(tǒng)是以系統(tǒng)輸出端為基準(zhǔn)輸出端為基準(zhǔn)進(jìn)行定義。進(jìn)行定義。誤差定義：誤差定義：)()()(txtxteoor拉氏變換：拉氏變換：)()()(1sXsXsEoor系統(tǒng)的系統(tǒng)的偏差偏差是以系統(tǒng)是以系統(tǒng)輸入端為基準(zhǔn)輸入端為基準(zhǔn)定義。定義。)()()(tbtxti偏差定義：偏差定義：)()()()()()(sXsHsXsBsXsEoii拉氏變換：拉氏變換：)(sXo)(sXi)(sG)(sH)(sE)(sB偏差控制原理：偏差控制原理：當(dāng)當(dāng)X Xo o(s)(s)不等于不等于X Xoror(s(s) )時，時，E E(s)(s)不等于不等于0 0，它力圖使它力圖使X Xo o(s)(s)近近X

46、 Xoror(s(s) )；當(dāng)；當(dāng)X Xo o(s)(s)等于等于X Xoror(s(s) )時，時，E E(s)(s)等于等于0 0。0)()()()()()()(sXsHsXsXsHsXsEorioi依定義，得：依定義，得：)()()(sXsHsXori)()(1)(sXsHsXior代入偏差計算表達(dá)式：代入偏差計算表達(dá)式：)()()()()()()()()()(1sEsHsXsXsHsXsHsXsHsEooroor)(1sE)(1sH)(sXor)(sXo)(sXi)(sG)(sH)(sE)(sB當(dāng)當(dāng)H(s)=1時，偏時，偏差與誤差相同差與誤差相同2) 2) 誤差誤差e(t)的一般計算的

47、一般計算 輸入與干擾同時作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)方框圖如下：輸入與干擾同時作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)方框圖如下：G1G2HX i(s)X o(s)N (s)+-B(s)E(s)系統(tǒng)在輸入和干擾作用下的傳遞函數(shù)：系統(tǒng)在輸入和干擾作用下的傳遞函數(shù)：)()()()()()(1)()()(2121sXsGsXsHsGsGsGsGsXiXiioi)()()()()()(1)()(212sNsGsNsHsGsGsGsXNNo系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸出：)()()()()(sNsGsXsGsXNiXoi系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：)()()()()()()()()(1sNsGsXsGsHsXsXsXsENiXioori)()()()()(1

48、sNsGsXsGsHNiXi)()()()(sNssXsNiXi)(siX為無干擾時誤差對于輸入的傳遞函數(shù)。為無干擾時誤差對于輸入的傳遞函數(shù)。)(sN為無輸入時誤差對于干擾的傳遞函數(shù)。為無輸入時誤差對于干擾的傳遞函數(shù)。由上可以看出，系統(tǒng)誤差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有由上可以看出，系統(tǒng)誤差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且還與系統(tǒng)輸入和干擾的特性有關(guān)。關(guān)，而且還與系統(tǒng)輸入和干擾的特性有關(guān)。3) 3) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差，即系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差，即)(limteetss依依Laplace變換中值定理：變換中值定理：)(li

49、m)(lim10ssEteestss同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差定義為：同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差定義為：)(lim)(lim0ssEtstss4) 4) 與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差 依據(jù)反饋控制系統(tǒng)：依據(jù)反饋控制系統(tǒng)：)(sXo)(sXi)(sG)(sH)(sE)(sB)()()()(sXsHsXsEoi)()()()(sEsGsHsXi)()()(11)(sXsHsGsEi根據(jù)穩(wěn)態(tài)偏差定義及終值定理：根據(jù)穩(wěn)態(tài)偏差定義及終值定理：)()()(11lim)(lim)(lim00sXsHsGsssEtisstss穩(wěn)態(tài)偏差與系統(tǒng)特性和穩(wěn)態(tài)偏差與系統(tǒng)特性和輸入信號特性有關(guān)輸入信號特性有關(guān)a) 穩(wěn)態(tài)偏

50、差的求取穩(wěn)態(tài)偏差的求取b) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差分析設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)為：為：njjvmiiKsTssTKsHsGsG11) 1() 1()()()( 為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，或稱系統(tǒng)的個數(shù)，或稱系統(tǒng)的無差度無差度.記：記：njjmiiosTsTsG11) 1() 1()(則有：則有：1)(lim0sGos開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G GK K(s)(s)可表示為：可表示為：voKssKGsHsGsG)()()()(11(1)( )( )(1)vmiin vjjTsGKs H ssT s 0，1，2時分別稱為時分別稱為0型、型、型、型、型系統(tǒng)

51、。型系統(tǒng)。 愈高，愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此，一般系統(tǒng)不超過穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此，一般系統(tǒng)不超過型。型。（1 1）當(dāng)輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：）當(dāng)輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：PissssKsHsGsXssEs11)()(1)(lim)(lim00式中：式中：vsovssPsKsGsKsHsGK000lim)(lim)()(lim位置無偏系數(shù)位置無偏系數(shù)對于對于0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)KKsKKsssP11lim00為有差系統(tǒng)，且為有差系統(tǒng)，且K愈大，愈大，穩(wěn)態(tài)偏差愈小。穩(wěn)態(tài)偏差愈小。型，型，型系統(tǒng)型系統(tǒng)0,lim0ssvsPsKK為位置無差系統(tǒng)。為位

52、置無差系統(tǒng)。 當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)中有中有積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)存在時，存在時，系統(tǒng)階躍系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而。而沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的差的。為了減小誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)，但過大的。為了減小誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)，但過大的K值將影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。值將影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2 2）當(dāng)輸入為單位斜坡信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差）當(dāng)輸入為單位斜坡信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差)()(1)(lim)(lim00sHsGsXssEsissss)()(1lim)()(1/1lim020sHssGssHsGssssVsKsHssG1)()(

53、1lim0式中：式中：1000lim)(lim)()(limvsovssVsKsGssKsHssGK速度無偏系數(shù)速度無偏系數(shù)對于對于0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)VsssVKKsK10lim0對于對于型系統(tǒng)型系統(tǒng)KKKsKKVsssV11lim0001lim0VsssVKsKK對于對于型系統(tǒng)型系統(tǒng) 可見可見0 0型系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)誤差為無型系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大，窮大，型系統(tǒng)可以跟隨斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同型系統(tǒng)可以跟隨斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可通過增大樣可通過增大K K值來減小偏差；值來減小偏差； 型系統(tǒng)或高階系統(tǒng)對斜型系統(tǒng)或高階系統(tǒng)對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是

54、無差的。坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是無差的。（3 3）當(dāng)輸入為單位加速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差）當(dāng)輸入為單位加速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差321)(21)(ssXttxii因為因為:)()(1)(lim)(lim00sHsGsXssEsissssasKsHsGs1)()(1lim20所以所以式中：式中：202020lim)(lim)()(limvsovssasKsGsKssHsGsK加速度無偏系數(shù)加速度無偏系數(shù)對于對于0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)asssaKsKK10lim20對于對于型系統(tǒng)型系統(tǒng)asssaKsKK10lim10KKKsKKasssa11lim00對于對于型系統(tǒng)型系統(tǒng)11K1K1K1/ s21/ s

55、31/ s0001lim1( )( )sG s H s01lim( )( )sG ssH s021lim( )( )sG ssH s0不同輸入下，不同輸入下，0, I, II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差表表穩(wěn)態(tài)誤差的總結(jié)穩(wěn)態(tài)誤差的總結(jié)系統(tǒng)的準(zhǔn)確度提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。 。 5) 5) 與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差 系統(tǒng)在干擾作用下的穩(wěn)態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干擾系統(tǒng)在干擾作用下的穩(wěn)態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干擾能力，此時不考慮給定輸入作用。能力，此時不考慮給定輸入作用。G1G2HX i(s)X o(s)N (s)+-B(s)E(s)系統(tǒng)偏差為：系統(tǒng)偏差為： sXsHsBs

56、XsEoi)()()(干擾引起的輸出：干擾引起的輸出：)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsXo干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差為：干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差為：)()()()(1)()(lim)(lim21200sNsHsGsGsHsGsssEssssG1(s)和和G2(s)可寫成如下形式：可寫成如下形式：21)()()()(20221011vvssGKsGssGKsG其中：其中：1)(lim1)(lim200100sGsGss12120102120201)()(1)(1limKKsGsGKKsGKsssss不失一般性，考慮不失一般性，考慮H(s)H(s)1 1和和N(s)N(s)1/s1/s。則

57、。則(1)(1)當(dāng)當(dāng)G G1 1和和G G2 2都不含積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：都不含積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)偏差為： K K1 1、K K2 2對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差的影響是相反的，增對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差的影響是相反的，增加加K K1 1，偏差減小，而增加，偏差減小，而增加K K2 2，偏差增大。，偏差增大。(2)G1(2)G1有一個積分環(huán)節(jié)，有一個積分環(huán)節(jié)，G G2 2中無積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：中無積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：0/)()(1)(1lim22010212020KssGsGKKsGKsssss(3)(3)G G1 1中無積分環(huán)節(jié)中無積分環(huán)節(jié)G G2 2中有一個積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：中有一個積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：120102120201/)()(1/)(1limKssGsGKKssGKsssss 因此，提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度，增加系統(tǒng)的抗干擾能因此，提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度，增加系統(tǒng)的抗干擾能力，必須