中山大學(xué)-線性代數(shù)-矩陣的概念及基本運(yùn)算

1、 線性代數(shù)是從線性代數(shù)是從線性方程組論線性方程組論、行列式論行列式論和和矩陣論矩陣論中產(chǎn)中產(chǎn)生的，它是近世代數(shù)的一個(gè)分支。生的，它是近世代數(shù)的一個(gè)分支。 近世代數(shù)是由兩個(gè)不得志的青年所創(chuàng)建的，一個(gè)叫近世代數(shù)是由兩個(gè)不得志的青年所創(chuàng)建的，一個(gè)叫阿阿貝爾貝爾，一個(gè)叫，一個(gè)叫伽羅瓦伽羅瓦。 阿貝爾阿貝爾的一生是不幸的。他在當(dāng)時(shí)所寫的數(shù)學(xué)論文都的一生是不幸的。他在當(dāng)時(shí)所寫的數(shù)學(xué)論文都沒有得到老一輩數(shù)學(xué)家們的重視。如：他曾五次將一篇沒有得到老一輩數(shù)學(xué)家們的重視。如：他曾五次將一篇“五次方程不能由公式給出其解五次方程不能由公式給出其解”的論文寄給在格廷根的的論文寄給在格廷根的高斯高斯，但都沒有得到回音。由

2、于他的不斷出外求學(xué)，致使，但都沒有得到回音。由于他的不斷出外求學(xué)，致使經(jīng)濟(jì)狀況十分糟糕，最后只得回到自己的故鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)狀況十分糟糕，最后只得回到自己的故鄉(xiāng)挪威挪威。沒。沒過多久，他就在憂郁中結(jié)束了自己年僅過多久，他就在憂郁中結(jié)束了自己年僅27歲的短暫生命。歲的短暫生命。就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大學(xué)就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大學(xué)聘請(qǐng)為數(shù)學(xué)教授。聘請(qǐng)為數(shù)學(xué)教授。序序 言言 伽羅瓦伽羅瓦的一生充滿憂傷和苦惱，景況比的一生充滿憂傷和苦惱，景況比阿貝爾阿貝爾還差。還差。他在事業(yè)上不斷受挫，他上交給科學(xué)院的論文，沒有得到他在事業(yè)上不斷受挫，他上交給科學(xué)院的論文，沒有得

3、到當(dāng)時(shí)時(shí)任科學(xué)院院長(zhǎng)的數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)時(shí)任科學(xué)院院長(zhǎng)的數(shù)學(xué)家柯西柯西的及時(shí)評(píng)價(jià)，連手稿的及時(shí)評(píng)價(jià)，連手稿都被丟失。最后一次甚至得到數(shù)學(xué)家都被丟失。最后一次甚至得到數(shù)學(xué)家泊松泊松的草率評(píng)語的草率評(píng)語- -“一個(gè)不可理解的一個(gè)不可理解的”。他于。他于2121歲在一次決斗中死去。歲在一次決斗中死去。序序 言言 后人在整理和總結(jié)他們的論文中，建立了后人在整理和總結(jié)他們的論文中，建立了近世代數(shù)近世代數(shù)。線性代數(shù)線性代數(shù)作為作為近世代數(shù)近世代數(shù)這個(gè)主干上的一個(gè)重要分支，其發(fā)這個(gè)主干上的一個(gè)重要分支，其發(fā)展是順理成章的，并不象有的科學(xué)的發(fā)展具有傳奇色彩。展是順理成章的，并不象有的科學(xué)的發(fā)展具有傳奇色彩。例如：例如

4、：拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)是人們?cè)谟懻撈邩騿栴}這個(gè)游戲中產(chǎn)生的；是人們?cè)谟懻撈邩騿栴}這個(gè)游戲中產(chǎn)生的；解析幾何解析幾何據(jù)說是笛卡爾在一個(gè)夢(mèng)中發(fā)現(xiàn)的；而據(jù)說是笛卡爾在一個(gè)夢(mèng)中發(fā)現(xiàn)的；而概率論概率論是源是源于賭博場(chǎng)。于賭博場(chǎng)。 線性代數(shù)線性代數(shù)是在十九世紀(jì)首先由英國(guó)的猶太是在十九世紀(jì)首先由英國(guó)的猶太人人西爾維斯特西爾維斯特和和凱來凱來開始研究的，后來由美國(guó)開始研究的，后來由美國(guó)的的皮爾斯父子皮爾斯父子和和狄克生狄克生等人發(fā)揚(yáng)光大。線性代等人發(fā)揚(yáng)光大。線性代數(shù)雖然是近世代數(shù)的一個(gè)分支，但在代數(shù)的各數(shù)雖然是近世代數(shù)的一個(gè)分支，但在代數(shù)的各個(gè)領(lǐng)域中就其應(yīng)用的廣泛性而言是第一的，尤個(gè)領(lǐng)域中就其應(yīng)用的廣泛性而言是第一的

5、，尤其是在工程技術(shù)方面已成為不可缺少的工具。其是在工程技術(shù)方面已成為不可缺少的工具。下面我們就開始線性代數(shù)的學(xué)習(xí)。下面我們就開始線性代數(shù)的學(xué)習(xí)。 序序 言言1.11.1矩陣的基本概念矩陣的基本概念 例例 某電視機(jī)廠生產(chǎn)三種型號(hào)的某電視機(jī)廠生產(chǎn)三種型號(hào)的3535厘米厘米(14(14英寸英寸) )彩電彩電TC-1TC-1、TC-TC-2 2、TC-3,TC-3,它們的主要零部件是它們的主要零部件是: :S1S1( (顯像管顯像管) )、S2S2( (電路板電路板) )、S3S3( (揚(yáng)聲揚(yáng)聲器器) )、S4S4( (機(jī)殼機(jī)殼) )，而這些零部件的主要原材料為：，而這些零部件的主要原材料為：M1M1

6、( (銅銅) )、M2M2( (玻玻璃璃) )、M3 M3 ( (塑料塑料) )。生產(chǎn)不同型號(hào)的彩電所需零部件的數(shù)量以及生產(chǎn)。生產(chǎn)不同型號(hào)的彩電所需零部件的數(shù)量以及生產(chǎn)不同的零部件所需原材料的數(shù)量在下列不同的零部件所需原材料的數(shù)量在下列兩表兩表中給出中給出: : TC-1TC-1TC-2TC-2TC-3TC-3S1S11 11 11 1S2S23 34 45 5S3S32 24 46 6S4S41 11 11 1 S1S1S2S2S3S3S4S4M1M12 24 44 40 0M2M214140 00 04 4M3M31 12 21 110104 4行行3 3列列 3 3行行4 4列列 第一章

7、第一章 矩矩 陣陣(Matrix)(Matrix) 基于上述這種數(shù)據(jù)成行成列排布的現(xiàn)象，基于上述這種數(shù)據(jù)成行成列排布的現(xiàn)象，18501850年猶太年猶太人人西爾維斯特西爾維斯特(Sylvester(Sylvester，1814181418971897）首次提出了）首次提出了“矩矩陣陣”這個(gè)詞。這個(gè)詞。 一、一、矩陣的定義矩陣的定義 指的是指的是m mn n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) ，排，排列成的列成的m m 行行n n 列列( (橫稱行，縱稱列橫稱行，縱稱列) )的矩形陣列（表），的矩形陣列（表），我們稱之為維是我們稱之為維是 m mn n 的矩陣的矩陣，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱為稱為 m mn n 矩陣矩陣，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)記為記為

8、 。其表示形式（通式）為：。其表示形式（通式）為：ija), 2 , 1;, 2 , 1(njmiijm namnmmnnaaaaaaaaa212222111211注：注：這里是用這里是用方括號(hào)方括號(hào)把一組數(shù)括把一組數(shù)括起來；同時(shí)有起來；同時(shí)有兩個(gè)下標(biāo)兩個(gè)下標(biāo)，這不同于，這不同于級(jí)數(shù)的單下標(biāo)。級(jí)數(shù)的單下標(biāo)。1.11.1矩陣的基本概念矩陣的基本概念一、一、矩陣的定義矩陣的定義mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 其中其中, ,橫向排列的橫向排列的 , , , , 是的是的 第第i i 行；縱向排列的行；縱向排列的 ， ， 是是 的第的第j j 列。因此列。因此 位于位于 的第的

9、第i i 行行j j 列，稱之為矩陣列，稱之為矩陣 的的( (i i, ,j j )-)-元元。 另外，另外，為了書寫的方便，常常在不致于引起混淆的情為了書寫的方便，常常在不致于引起混淆的情況下，用大寫黑斜體字母況下，用大寫黑斜體字母A A、B B、C C 或或A A1 1、A A2 2、A A3 3 等表示等表示，即，即A A= =1 ia2iainanmijaja1ja2mjanmijaijanmijanmijanmija 從上面的定義，我們可以看出：要確定一個(gè)矩陣，從上面的定義，我們可以看出：要確定一個(gè)矩陣，我們必須知道它的我們必須知道它的維（維（m mn n）和每一個(gè)和每一個(gè)矩陣元（矩

10、陣元（ ）。A= 2 12 24 3 11 27 例如：例如： 1 16 31矩陣矩陣A A的的維維為：為：3 33 3矩陣矩陣A A的每一個(gè)的每一個(gè)元元分別為：分別為：a a1111= =1 1； a a1212= =1616； a a1313= =3131；a a2121= =2 2； a a2222= =1212； a a2323= =2424；a a3131= =3 3； a a3232= =1111； a a3333= =2727。二、二、矩陣的要素矩陣的要素試問：試問： 6 3 1 3 3 2 B= 8 4 3 C= 4 7 分別分別是否為矩陣是否為矩陣？ 9 5 2 3 6 1

11、為什么為什么？課堂作業(yè)：課堂作業(yè)：試寫出一個(gè)試寫出一個(gè)5 54 4維的矩陣維的矩陣A A，其中矩陣，其中矩陣元滿足公式元滿足公式a aijij=2i-j=2i-j。 1 0 -1 -2 3 2 1 0 A= 5 4 3 2 7 6 5 4 9 8 7 6 注意觀察數(shù)據(jù)通元的表注意觀察數(shù)據(jù)通元的表達(dá)式，養(yǎng)成善于觀察的達(dá)式，養(yǎng)成善于觀察的好習(xí)慣。顯然好習(xí)慣。顯然行行之間是之間是公差為公差為2 2的等差數(shù)列的等差數(shù)列；列列之間是之間是公差為公差為-1-1的等的等差數(shù)列差數(shù)列。下面給出一個(gè)注下面給出一個(gè)注意觀察的例子，意觀察的例子，看看有無規(guī)律?？纯从袩o規(guī)律。例：例：請(qǐng)請(qǐng)每位同學(xué)在每位同學(xué)在0 0到到

12、9 9這十個(gè)基本數(shù)字中任選一這十個(gè)基本數(shù)字中任選一個(gè)，先用你選的這個(gè)數(shù)個(gè)，先用你選的這個(gè)數(shù)加上加上1 1，再，再乘以乘以3 3，再，再乘以乘以3 3，然后將所得的結(jié)果進(jìn)行然后將所得的結(jié)果進(jìn)行“橫加橫加”（如：（如：2525“橫橫加加”即為即為2+5=72+5=7），再將橫加后所得的結(jié)果），再將橫加后所得的結(jié)果乘以乘以7070，再，再加上加上3636。大家得出的結(jié)果是多少？。大家得出的結(jié)果是多少？是不是都是是不是都是666666？為什么為什么？ 答：答：因?yàn)橐驗(yàn)? 11010這十個(gè)數(shù)乘以這十個(gè)數(shù)乘以9 9再再“橫加橫加”后都是后都是9 9。 課后作業(yè)：課后作業(yè)：試寫出一個(gè)試寫出一個(gè)5 55 5維

13、的矩陣，其矩陣元滿足維的矩陣，其矩陣元滿足a a1111=2=2， a aijij=i=ij (i=1j (i=1或或j=1)j=1) a aijij=a=a（i-1i-1）j j+a+ai i（j-1j-1） （i1i1，j1j1）例例1 1 某縣有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)某縣有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn), ,縣里決定建立一個(gè)有線電視網(wǎng)。縣里決定建立一個(gè)有線電視網(wǎng)。通過勘察測(cè)算，獲得一組有關(guān)建設(shè)費(fèi)用的預(yù)算數(shù)據(jù)：通過勘察測(cè)算，獲得一組有關(guān)建設(shè)費(fèi)用的預(yù)算數(shù)據(jù)： 我們也可以用矩陣的形式給出有關(guān)建設(shè)費(fèi)用的預(yù)算數(shù)據(jù)：我們也可以用矩陣的形式給出有關(guān)建設(shè)費(fèi)用的預(yù)算數(shù)據(jù)： 05.1235.1015.3210235.320三、三、實(shí)際問題的矩

14、陣表達(dá)實(shí)際問題的矩陣表達(dá) 典故：典故：戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊國(guó)國(guó)王有一天與他的一戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊國(guó)國(guó)王有一天與他的一員大將員大將田忌進(jìn)行賭馬，他決定給田忌上、中、田忌進(jìn)行賭馬，他決定給田忌上、中、下三個(gè)等級(jí)的賽馬各一匹，自己也拿上、中、下下三個(gè)等級(jí)的賽馬各一匹，自己也拿上、中、下三個(gè)等級(jí)的賽馬各一匹。已知三個(gè)等級(jí)的賽馬各一匹。已知同級(jí)別（均為上或同級(jí)別（均為上或中或下）的賽馬參加比賽，齊王獲勝中或下）的賽馬參加比賽，齊王獲勝，但是，但是不同不同級(jí)別的賽馬比賽，高等級(jí)的賽馬一定贏低等級(jí)的級(jí)別的賽馬比賽，高等級(jí)的賽馬一定贏低等級(jí)的賽馬賽馬（如田忌的上等馬一定勝齊王的中、下等馬；（如田忌的上等馬一定勝齊王的中、下

15、等馬；田忌的中等馬一定勝齊王的下等馬）。每次比賽田忌的中等馬一定勝齊王的下等馬）。每次比賽敗者付給勝者敗者付給勝者100100金。結(jié)果是齊王每次都輸給田金。結(jié)果是齊王每次都輸給田忌忌100100金。下面我們來求齊王的贏得矩陣。金。下面我們來求齊王的贏得矩陣。 例例2 2 （田忌賽馬問題，即（田忌賽馬問題，即對(duì)策論對(duì)策論或或競(jìng)賽論競(jìng)賽論問題）問題）解：解：對(duì)于田忌和齊王而言，各有三匹馬，因此他們布陣對(duì)于田忌和齊王而言，各有三匹馬，因此他們布陣的方式均各有的方式均各有6 6（P P3 33 3）種可能，即）種可能，即 （上、中、下），（中、下、上），（中、上、下），（上、中、下），（中、下、上），

16、（中、上、下）， （上、下、中），（下、上、中），（下、中、上）。（上、下、中），（下、上、中），（下、中、上）。共六種。那么齊王的贏得矩陣應(yīng)為：（共六種。那么齊王的贏得矩陣應(yīng)為：（6 66 6 維的矩陣）維的矩陣） 1 1 3 -1 1 1 策策 1 1 1 3 1 -1 略略 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 1 1 3 3 1 1 1 -1 1 齊齊 -1 3 1 1 1 1 王王 田忌策略田忌策略 根據(jù)上面的矩陣，事根據(jù)上面的矩陣，事實(shí)上田忌和齊王獲勝的實(shí)上田忌和齊王獲勝的可能性是完全相同，那可能性是完全相同，那么齊王為什么每次都會(huì)么齊王為什么每次都會(huì)輸輸100100金呢？金呢？

17、關(guān)鍵就是齊關(guān)鍵就是齊王先公布排陣方式，而王先公布排陣方式，而田忌就采用上述矩陣元田忌就采用上述矩陣元為為-1-1的方式與齊王比賽。的方式與齊王比賽。 兩位素久未曾聯(lián)絡(luò)的朋友甲和乙在一棟高兩位素久未曾聯(lián)絡(luò)的朋友甲和乙在一棟高樓前相遇，一陣寒暄后，甲對(duì)乙說：樓前相遇，一陣寒暄后，甲對(duì)乙說：“我有三我有三個(gè)兒子，個(gè)兒子，三個(gè)兒子年齡的乘積為三個(gè)兒子年齡的乘積為3636，你能不能，你能不能猜出他們的年齡？猜出他們的年齡？”，乙說，乙說“不能不能”；甲又說：；甲又說：“我我三個(gè)兒子年齡的和等于這棟高樓的窗戶總?cè)齻€(gè)兒子年齡的和等于這棟高樓的窗戶總數(shù)數(shù)，現(xiàn)在你能不能說出他們的年齡各是多，現(xiàn)在你能不能說出他們

18、的年齡各是多少？少？”，乙說，乙說“不能不能”；甲再說：；甲再說：“我的我的大兒大兒子比二兒子大幾歲子比二兒子大幾歲，現(xiàn)在你能不能說出他們的，現(xiàn)在你能不能說出他們的年齡各是多少？年齡各是多少？”，乙說：，乙說：“能能”，并且馬上，并且馬上準(zhǔn)確地說出了他們的年齡。請(qǐng)問：甲的三個(gè)兒準(zhǔn)確地說出了他們的年齡。請(qǐng)問：甲的三個(gè)兒子的年齡分別為多少歲？子的年齡分別為多少歲？ 例例3 3 歸納推理性歸納推理性問題問題解：解：顯然根據(jù)題意只有一個(gè)已知數(shù)字條件，故通過顯然根據(jù)題意只有一個(gè)已知數(shù)字條件，故通過常規(guī)的方程組常規(guī)的方程組無法求解，而必須借助題中說話者話語間的無法求解，而必須借助題中說話者話語間的邏輯進(jìn)行

19、推理邏輯進(jìn)行推理。故首先。故首先是對(duì)是對(duì)3636進(jìn)行分解，并列出所有可能的三個(gè)數(shù)相乘情況，于是就可以進(jìn)行分解，并列出所有可能的三個(gè)數(shù)相乘情況，于是就可以得到一個(gè)列數(shù)為得到一個(gè)列數(shù)為3 3的矩陣（不妨假設(shè)按兒子大小的順序排列）：的矩陣（不妨假設(shè)按兒子大小的順序排列）： 和和3821161413131110 大大 二二 小小18 2 112 3 1 9 4 1 9 2 2 6 6 1 6 3 2 4 3 3 36 1 1求出所有可能性的和列在右邊。求出所有可能性的和列在右邊。 雖然我們并不知道高樓的窗戶雖然我們并不知道高樓的窗戶數(shù)，但乙是知道的，因此如果窗戶數(shù)，但乙是知道的，因此如果窗戶數(shù)為數(shù)為3

20、838、2121、1616、1414、1111、1010，那，那么甲無須說第三句話，乙就可以說么甲無須說第三句話，乙就可以說出甲三個(gè)兒子的年齡。但事實(shí)是乙出甲三個(gè)兒子的年齡。但事實(shí)是乙無法說出，說明他們甲的三個(gè)兒子無法說出，說明他們甲的三個(gè)兒子年齡和為年齡和為1313。 再根據(jù)再根據(jù)“大兒子比二兒子大幾大兒子比二兒子大幾歲歲”，可知甲的三個(gè)兒子年齡分別，可知甲的三個(gè)兒子年齡分別為為9 9、2 2、2 2歲。歲。 設(shè)設(shè)a a省的兩個(gè)城市省的兩個(gè)城市a a1 1、a a2 2與與b b省的三個(gè)城市省的三個(gè)城市b b1 1、b b2 2、b b3 3間的交通網(wǎng)絡(luò)圖如下，圖中每條線上的數(shù)字表示兩個(gè)城市

21、間的交通網(wǎng)絡(luò)圖如下，圖中每條線上的數(shù)字表示兩個(gè)城市間的不同通路總數(shù)，請(qǐng)間的不同通路總數(shù)，請(qǐng)用矩陣表示它們之間的通路信息用矩陣表示它們之間的通路信息。a2a1b1b2b34 41 13 32 22 2 4 0 b1 C=C= 1 2 b2 3 2 b3 a1 a2 課堂作業(yè)：課堂作業(yè)：（城市間通路問題）（城市間通路問題）1 1、n n階方陣階方陣( (n n階矩陣階矩陣) )： 指的是行、列相等且均為指的是行、列相等且均為n n的矩陣。的矩陣。 nnnnnnaaaaaaaaa2122221112112 2、行矩陣行矩陣（m=1m=1）與）與列矩陣列矩陣（n=1n=1）：aa1111 a a121

22、2 a a1n1n 行矩陣行矩陣，又稱，又稱行向量行向量，用小寫，用小寫 黑體字母黑體字母a aT T、b bT T等表示。等表示。 a a2121 a an1n1 a a11 11 列矩陣列矩陣，又稱，又稱列向量列向量，用小寫黑體，用小寫黑體a a、b b等表示。等表示。 就向量而言，其中的每一個(gè)元稱為分量，就向量而言，其中的每一個(gè)元稱為分量，分量的個(gè)數(shù)稱維，所以它是分量的個(gè)數(shù)稱維，所以它是n n維（行或列）向維（行或列）向量量。而。而矩陣的維應(yīng)為矩陣的維應(yīng)為1 1n n或或n n1 1。 四、四、一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣3 3、對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣： 指的是指的是a aijij=0=0（i

23、jij）的矩陣。的矩陣。 如：如： 12 0 0 0 0 012 0 0 0 0 0 A A= 0 3 0 0 3 0 特別地特別地 B B= 0 0 0 = 0 0 0 稱為稱為零矩陣零矩陣 0 0 4 0 0 00 0 4 0 0 0 亦可簡(jiǎn)記為：亦可簡(jiǎn)記為：A A=diag(12,3,4)=diag(12,3,4)；B B= diag(0,0,0)= diag(0,0,0) 4 4、上三角矩陣上三角矩陣： 指的是指的是a aijij=0=0（ijij）的矩陣，簡(jiǎn)稱的矩陣，簡(jiǎn)稱U U或或R R (Upper triangular matrix, Right)(Upper triangula

24、r matrix, Right)。 如：如： （即對(duì)角線以上的矩陣元不等于）（即對(duì)角線以上的矩陣元不等于） 5 5、下三角矩陣下三角矩陣： 指的是指的是a aijij=0=0（ijij）的矩陣，簡(jiǎn)稱的矩陣，簡(jiǎn)稱（Lower triangular matrix, LeftLower triangular matrix, Left） 如：如： 3 0 03 0 0 2 4 0 2 4 0 （即對(duì)角線以下的矩陣元不等于）（即對(duì)角線以下的矩陣元不等于） 6 8 06 8 0 、標(biāo)量矩陣標(biāo)量矩陣： 指的是指的是a aijij=0=0（ijij），），a ai i=a=aj j=（常（常量）的階對(duì)角陣。量

25、）的階對(duì)角陣。 即：即： diag(, ,diag(, , )=, )= 7 7、單位矩陣單位矩陣： 指的是指的是的標(biāo)量矩陣，記為的標(biāo)量矩陣，記為或或。 1 1 1 1 1 1 五、五、矩陣的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線 前面一直在談以前面一直在談以a ai i為分界來表示一些特殊的矩陣，為分界來表示一些特殊的矩陣，但我們一直在回避但我們一直在回避a ai i本身是什么的問題。本身是什么的問題。定義：定義：對(duì)于一個(gè)維為對(duì)于一個(gè)維為的矩陣的矩陣，記，記minm,nminm,n，稱元稱元a a1111,a,a2222, ,a,akkkk構(gòu)成構(gòu)成的的( (主主) )對(duì)角線對(duì)角線，并稱，并稱a aiiii為為的

26、第的第個(gè)對(duì)角線元。個(gè)對(duì)角線元。注：注：這里沒有強(qiáng)調(diào)矩陣這里沒有強(qiáng)調(diào)矩陣一定是方陣，即不一定等一定是方陣，即不一定等。1.2 矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算一、一、矩陣的相等矩陣的相等二二、矩陣的和矩陣的和三、三、矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘四、四、矩陣的乘法矩陣的乘法五、五、單位矩陣與單位矩陣與0 0矩陣矩陣六、六、方陣的冪及方陣的多項(xiàng)式方陣的冪及方陣的多項(xiàng)式七、七、矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置主要內(nèi)容主要內(nèi)容一、一、矩陣的相等矩陣的相等定義定義 設(shè)設(shè)A A=a=aijij m mn n與與B B=b=bijij p pq q是兩個(gè)矩陣，若它是兩個(gè)矩陣，若它們滿足們滿足 (1)(1)m m = = p p 且且

27、n n = = q q； (2)(2)a aijij=b=bijij，其中，其中i=1,2,i=1,2,m,m；j=1,2,j=1,2,n,n。 則稱則稱A A與與B B相等相等，記為，記為A A= =B B。 即：即： A A 與與B B 兩個(gè)矩陣的兩個(gè)矩陣的維維和相對(duì)應(yīng)的和相對(duì)應(yīng)的元元均一一對(duì)應(yīng)相等。均一一對(duì)應(yīng)相等。定義定義 設(shè)設(shè)A=aijmn ，B=bijmn ，令，令C= aij+ bijmn , 稱矩稱矩陣陣C為為矩陣矩陣A與矩陣與矩陣B的和的和，記為，記為C=A+B 。 注：注：這里一定要求矩陣這里一定要求矩陣A與矩陣與矩陣B 的的維維是相同的。是相同的。二二、矩陣的和矩陣的和32

28、342612172119501226473844332018,133927532831202735332111124117382235312114611445ABCAB 例例若若求求: :4955456256596756417047804774384936964556C 三、三、矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘定義定義 設(shè)設(shè) 是矩陣，是矩陣，k k是數(shù)，令是數(shù)，令 稱矩陣稱矩陣B B為為數(shù)數(shù)k k與矩陣與矩陣A A的數(shù)量積的數(shù)量積，記為，記為B = kB = k A A。 稱稱 為為A A的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣( (即即k k = -1= -1），記為，記為-A-A 。 規(guī)定：規(guī)定： ，稱為，稱為A A與與B

29、B的差。的差。nmijaAnmijkaBA) 1()( BABA 111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka通式通式 若若A A= = ，mnmmnnaaaaaaaaa212222111211則則B B=k=kA A= = 課堂作業(yè)課堂作業(yè) 設(shè)設(shè)A = = ，B = = 計(jì)算計(jì)算2 2A A- -B B 矩陣。矩陣。0142210286422 2A A- -B B = =24482 0028642002000= =- -* * *矩陣加法和數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法和數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律* * * （1） （5） （2） （6） （3） （7） （4） （8） 其中其中A

30、A、B B、0 0表示矩陣，表示矩陣，a a、b b表示數(shù)。表示數(shù)。a（A+B）=aA+a B（a+b）A=aA+bAa（ bA ）=（ab）AA+B=B+A （A + B）+ C = A +（B + C） A +（- -A）= 0 1A = A A + 0 = A 例例 設(shè)設(shè)A= ，B= ，且且A+2X=BA+2X=B，求矩陣，求矩陣X X。31 57 9 60826043805 19解：解：利用矩陣加法及數(shù)乘有關(guān)的運(yùn)算規(guī)律，利用矩陣加法及數(shù)乘有關(guān)的運(yùn)算規(guī)律，由由A+2X=BA+2X=B，可以得到，可以得到X=(B-A)/2= =1231910165773192221532577222課堂作

31、業(yè)課堂作業(yè)設(shè)設(shè)A= A= ，B=B= 求：求：（1 1）3A-B3A-B；（2 2）2A+3B2A+3B；（3 3）若若X X滿足（滿足（2A-X2A-X）+2+2（B-XB-X）=0=0，求，求X X。121221211234432121210101131 582 8 2379 1314 13872 52 521651 01 02233440033222233四、四、矩陣的乘法矩陣的乘法例例 已知平面直角坐標(biāo)系已知平面直角坐標(biāo)系 OxyOxy，把它逆時(shí)針繞原點(diǎn)，把它逆時(shí)針繞原點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到另一直角坐標(biāo)系角，得到另一直角坐標(biāo)系 ，相應(yīng)的，相應(yīng)的坐標(biāo)變換公坐標(biāo)變換公式式為：為： Ox

32、y cossin: sincosxxyyxy Y P P Y X X 對(duì)坐標(biāo)系對(duì)坐標(biāo)系 繞原點(diǎn)繞原點(diǎn)O O 再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 ，得又一坐標(biāo)系得又一坐標(biāo)系 ，相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式為：，相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式為： Ox y Ox y cossin: sincosxxyyxy坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 設(shè)設(shè)P P點(diǎn)在點(diǎn)在 中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 ，在，在 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為 ，在，在 中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 ，則則Oxy),(yx yOx) , (yxyOx) , (yx 把把 變換為變換為 ，稱，稱 yx, yx 22211211cossinsincosaaaaA為為 的系數(shù)矩陣。的系數(shù)矩陣。 同理，同

33、理， 把把 變換為變換為 ，稱，稱 , yx, yx 22211211cossinsincosbbbbB為為 的系數(shù)矩陣。的系數(shù)矩陣。 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣連續(xù)施行連續(xù)施行 ， ，可把（，可把（X X，Y Y）變換為）變換為 ，對(duì)，對(duì)應(yīng)變換記為應(yīng)變換記為 ，即，即相當(dāng)于將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)+角，于是得：角，于是得：, xy11111221111212222111222121122222() (): () ()xa ba bxa ba byya babxa babycos()sin(): sin()cos()xxyyxy利用三角函數(shù)的和差化積公式及系數(shù)矩陣得：利用三角函數(shù)的和差化積公式及系數(shù)矩

34、陣得： 的系數(shù)矩陣為的系數(shù)矩陣為 11 1112 2111 1212 22111221 1122 2121 1222 222122a ba ba ba bccCa ba ba ba bcc系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 在解析幾何及代數(shù)學(xué)中，稱變換在解析幾何及代數(shù)學(xué)中，稱變換 為變換為變換 與與 的乘積，記為的乘積，記為 。對(duì)等地，自然把。對(duì)等地，自然把 的系數(shù)的系數(shù)矩陣矩陣 也記為也記為 ，即，即 CCAB111211121112212221222122aabbccaabbcc稱稱C C 為為A A與與B B 的乘積。的乘積。 下面請(qǐng)看矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則下面請(qǐng)看矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則 變換與矩陣乘法的關(guān)系變換

35、與矩陣乘法的關(guān)系1111121121baacb1211121222baacb1121222121baabc1221222222baabc定義定義 設(shè)設(shè) 令令, ,ij m pijp nAaBb1122 1,2, ; 1,2,ijijijippjca ba ba bimjn稱矩陣稱矩陣 為矩陣為矩陣A A與矩陣與矩陣B B 矩陣的積，記矩陣的積，記為為 ，其通式為其通式為： 。 ijmnCcCAB1212jjiiipijpjbbaaacbmppnmnABC矩陣乘法的定義矩陣乘法的定義 基于上述矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)則，可以得到如基于上述矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)則，可以得到如下兩個(gè)結(jié)論：下兩個(gè)結(jié)論： （1 1）

36、只有當(dāng)）只有當(dāng)A A矩陣的列數(shù)與矩陣的列數(shù)與B B矩陣的矩陣的行數(shù)相等行數(shù)相等時(shí)，時(shí)，ABAB才有意義。即才有意義。即被乘數(shù)矩陣的列數(shù)被乘數(shù)矩陣的列數(shù)一定要與一定要與乘數(shù)乘數(shù)矩陣的行數(shù)矩陣的行數(shù)相等；相等； （2 2）積矩陣）積矩陣C C的的行數(shù)等于行數(shù)等于被乘數(shù)矩陣被乘數(shù)矩陣A A的行數(shù)，的行數(shù)，列列數(shù)等于數(shù)等于乘數(shù)矩陣的列數(shù)。乘數(shù)矩陣的列數(shù)。 下面回到最開始舉的關(guān)于彩電生產(chǎn)、下面回到最開始舉的關(guān)于彩電生產(chǎn)、零部件及原材料關(guān)系的例子零部件及原材料關(guān)系的例子 矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)則矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)則 例例 某電視機(jī)廠生產(chǎn)三種型號(hào)的某電視機(jī)廠生產(chǎn)三種型號(hào)的3535厘米厘米(14(14英寸英寸) )彩

37、電彩電TC-1TC-1、TC-TC-2 2、TC-3,TC-3,它們的主要零部件是它們的主要零部件是: :S1S1( (顯像管顯像管) )、S2S2( (電路板電路板) )、S3S3( (揚(yáng)聲揚(yáng)聲器器) )、S4S4( (機(jī)殼機(jī)殼) )，而這些零部件的主要原材料為：，而這些零部件的主要原材料為：M1M1( (銅銅) )、M2M2( (玻玻璃璃) )、M3 M3 ( (塑料塑料) )。生產(chǎn)不同型號(hào)的彩電所需零部件的數(shù)量以及生產(chǎn)。生產(chǎn)不同型號(hào)的彩電所需零部件的數(shù)量以及生產(chǎn)不同的零部件所需原材料的數(shù)量在下列不同的零部件所需原材料的數(shù)量在下列兩表兩表中給出中給出: : TC-1TC-1TC-2TC-2

38、TC-3TC-3S1S11 11 11 1S2S23 34 45 5S3S32 24 46 6S4S41 11 11 1 S1S1S2S2S3S3S4S4M1M12 24 44 40 0M2M214140 00 04 4M3M31 12 21 11010111345246111S24401400412110M我們?nèi)绾螌?dǎo)出我們?nèi)绾螌?dǎo)出彩彩電型號(hào)電型號(hào)與與原材料原材料的直接聯(lián)系呢？的直接聯(lián)系呢？ 即為即為SMSM 矩陣乘法的應(yīng)用舉例矩陣乘法的應(yīng)用舉例課堂作業(yè)課堂作業(yè)計(jì)算下列矩陣的乘積：計(jì)算下列矩陣的乘積：011210101312110（1 1） （2 2） 3214xy （3 3） 23431 2

39、3312324xyxy68912答案答案 矩陣乘法的應(yīng)用舉例矩陣乘法的應(yīng)用舉例例例 某人到商店去買某人到商店去買0.50.5千克糖，千克糖，1 1千克水果，千克水果，3 3千千克面粉，克面粉，2.52.5千克大米。已知糖、水果、面粉、千克大米。已知糖、水果、面粉、大米的價(jià)格分別為大米的價(jià)格分別為5 5元元/ /千克、千克、4.54.5元元/ /千克、千克、3 3元元/ /千克、千克、4 4元元/ /千克，問購(gòu)買這些商品要花多少錢？千克，問購(gòu)買這些商品要花多少錢？（用矩陣的乘法計(jì)算）（用矩陣的乘法計(jì)算） 解：解：請(qǐng)問是以下哪種表達(dá)形式？請(qǐng)問是以下哪種表達(dá)形式？ 0.515 4.5 3 432.5

40、（1 1） （2 2） 54.50.5132.534答：答：（2 2）正確。）正確。 矩陣乘法的應(yīng)用舉例矩陣乘法的應(yīng)用舉例例例 前面講的關(guān)于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的例前面講的關(guān)于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的例 三個(gè)坐標(biāo)變換公式可以用矩陣形式表示如下：三個(gè)坐標(biāo)變換公式可以用矩陣形式表示如下： ; ; xxAyyxxByyxxCyy ：xxxAAByyy 故故C=ABC=AB。 矩陣乘法的性質(zhì)矩陣乘法的性質(zhì)（1 1）（AB）C=A（BC） ( (結(jié)合律結(jié)合律) )（2 2）A（B+C）= AB + AC （左分配律）（左分配律） （B+C）A = BA + CA （右分配律）（右分配律） （3 3）k（AB）=（kA）B=A（k

41、B） 請(qǐng)大家課后思考關(guān)于右分配律的證請(qǐng)大家課后思考關(guān)于右分配律的證明，在這個(gè)證明中你能發(fā)現(xiàn)什么？明，在這個(gè)證明中你能發(fā)現(xiàn)什么？ 有關(guān)矩陣乘法的注意事項(xiàng)有關(guān)矩陣乘法的注意事項(xiàng)（1 1）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣，兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣，如：如： 111100111100（2 2）矩陣的乘法不滿足交換律。矩陣的乘法不滿足交換律。 當(dāng)當(dāng)smsm時(shí)，時(shí)，A AsnsnB Bnmnm有意義，但有意義，但B BnmnmA Asnsn沒有意義。沒有意義。 若若A AmnmnB Bnmnm，B BnmnmA Amnmn均有意義，但當(dāng)均有意義，但當(dāng)nmnm時(shí)，前時(shí)，前 者是者是m m階方陣，后者是階

42、方陣，后者是n n階方陣。階方陣。 即使即使A AnnnnB Bnnnn，B BnnnnA Annnn均為均為n n階方陣，它們也不一階方陣，它們也不一 定相等，如：定相等，如： 11110 0111 10 0 11112 21 1112 2 五、五、單位矩陣與單位矩陣與0 0矩陣矩陣定義定義 主對(duì)角元全為主對(duì)角元全為1 1、其余元素全為、其余元素全為0 0的的n n階方陣稱為階方陣稱為n n階階單位矩陣單位矩陣，記為，記為 或或 （有的教材上為有的教材上為 或或E E）。所）。所有元均為有元均為0 0的的矩陣矩陣稱為稱為0 0矩陣矩陣，記為，記為0 0m mn n。（前面已經(jīng)提到）（前面已經(jīng)

43、提到）nIInE性質(zhì)性質(zhì) 對(duì)任一對(duì)任一m mn n矩陣矩陣 ，均有，均有 m nA, mnnmnmmnmnAIAI AA00, 00mnnqmqpmmnpnAA推論推論 如果如果A A是是方陣方陣，則，則AI=IAAI=IA。 例例 設(shè)設(shè)AX=B，CA=I，其中其中1111101 1011 ,011 ,1 10010011 1ACB求求X。 解：解：根據(jù)矩陣相等的定義有：根據(jù)矩陣相等的定義有： C（AX）=CB 于是于是 又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋篊A=I IX=CB 故故 X=CB 000011X舉例舉例六、六、方陣的冪及方陣的多項(xiàng)式方陣的冪及方陣的多項(xiàng)式定義定義 設(shè)設(shè)A A是方陣，是方陣，k k是正

44、整數(shù)，稱是正整數(shù)，稱k k個(gè)個(gè)A A的連乘積為的連乘積為方陣方陣A A的的k k次冪，次冪，記為記為 ；我們規(guī)定；我們規(guī)定 ；稱；稱 kA01,AI AA1110nnnnaAaAa AaI 為為方陣方陣A A的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，這里，這里 均為數(shù)。均為數(shù)。 01,naaa問題問題1 1：A為什么一定要是方陣？為什么一定要是方陣？ 問題問題2 2：（AB）2=A2B2一定成立嗎？若要成立，一定成立嗎？若要成立，則充分必要條件是什么？則充分必要條件是什么？ 答：答：充分必要條件是充分必要條件是AB=BA 舉例舉例例例 設(shè)設(shè)A A= = ，計(jì)算，計(jì)算 。 120323, ,AA4223AAAI解：解：

45、 2AAA1212030318093 AAAA181209031260274223AAAI22()4AIAI366063方陣的冪及方陣的多項(xiàng)式的方陣的冪及方陣的多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)A A是方陣，是方陣，k k, ,l l是非負(fù)整數(shù)，是非負(fù)整數(shù)，f f( (x x) )是是x x的的一元多項(xiàng)式，則有一元多項(xiàng)式，則有 （1 1） , ()klklklklA AAAAf(x)= 1110nnnna xaxa xa 則則 f(A)= 1110nnnna AaAa Aa I（2 2） 若若 f(x)=g(x)h(x)，則，則 f(A)=g(A)h(A)， 這里這里f(A)表示：若表示：若舉例舉

46、例例例 設(shè)設(shè)A A是方陣，則是方陣，則 12()()nnnAIAIAAAI自己證明試試自己證明試試?yán)?設(shè)設(shè) ，計(jì)算，計(jì)算 。 1202AnA解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2222223333312212 (21), 0202122212 (21),0202AA 所以猜想所以猜想 1 2 (21), 1,2,02nnnAn下面用數(shù)學(xué)歸下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。納法進(jìn)行證明。12 (21), 1,2,02nnnAn證明證明：（1 1）n n =1=1，結(jié)論成立；，結(jié)論成立； （2 2）設(shè)結(jié)論對(duì)）設(shè)結(jié)論對(duì)n n -1-1成立；下面證明結(jié)論成立；下面證明結(jié)論 對(duì)對(duì)n n也成立。也成立。 1111212 (21)0

47、20212 (21) 02nnnnnnAAA 根據(jù)歸納法原理，上述猜想對(duì)任意根據(jù)歸納法原理，上述猜想對(duì)任意n n均成立。均成立。 舉例舉例例例 設(shè)設(shè)A=BCA=BC，其中，其中 20, 120331BC計(jì)算計(jì)算 。 101A 解解 101101101()()()()()()ABCBCBCBCBCBC 個(gè)100100100()()()()(1)B CB CBCB CB CBCBC 個(gè)2406000036091203B C矩陣二項(xiàng)式定理矩陣二項(xiàng)式定理例例（矩陣二項(xiàng)式定理矩陣二項(xiàng)式定理） 設(shè)設(shè)A與與B是同階方陣，是同階方陣，n是正整數(shù)。如果是正整數(shù)。如果AB=BA，那么，那么 12210 ()(1)2nnnnnnnkn kknkABn nAnABABnABBC AB這里