高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥-巧用正弦定理解題

1、名師精編歡迎下載巧用正弦定理解題正弦定理是三角形中的一個重要定理，它揭示了三角形中邊和角的關(guān)系，進而把三角函數(shù)的運算與代數(shù)式的運算聯(lián)系起來，使解題極為方便。下面從五個方面舉例說明：一、已知兩角和任一邊解三角形例 1、在 ABC中，已知 b14, A300 , B1200 中，求 a ， c 及 ABC的面積 S解：依正弦定理：ab， abs i nA，代入已知條件，s i nAs i nBsin B14 sin 30014 3a3sin 1200 C180 0( AB)1800(3001200 )300，又bc，sin Bsin C cb sin C14 sin 30014 3sin Bsin

2、 1200（或因為 C A， ABC 為等腰三角形，所以3ac ） S ABC1ab sin C114 314 sin 300432233點評：已知兩角實際上第三個角也是已知的，故用正弦定理很方便可以求出其它邊的值。二、已知兩邊和其中一邊對角解三角形例 2、已知在 ABC中， a3, b2, B 450 ，解這個三角形32，得 sin A3b ，解： 由正弦定理及已知條件有：sin A0， asin 452 AB 450， A600或1200 ，當(dāng) A600 時， C180045 060 0750 ， cb sin C2 sin 75062sin B02sin 45當(dāng) A120 0 時， C

3、1800450120 0150 ， cb sin C2 sin 15062sin Bsin 4502點評：兩邊和其中一邊對角已知，容易求出另一邊所對的角，從而三個角都可以求出。由于正弦函數(shù)在(0,) 不是單調(diào)的，故要注意多解情況。名師精編歡迎下載三、判定三角形形狀例 3、在 ABC中，若· a ·成立，試判斷這個三角形形狀。b cos AcosB解： 用正弦定理，得：··，2Rsin B cos A2Rsin A cos Bsin B ·cos A sin A ·cos Bsin Asin B，即 tan A tanB ，根據(jù)三角形內(nèi)

4、角cos AcosB和定理，知 A 、 B 必都為銳角。所以A B，即 ABC 是等腰三角形。點評 ：由已知條件確定三角形的形狀，主要通過兩個途徑：化角為邊， 通過代數(shù)式變形求出邊與邊之間關(guān)系。化邊為角， 利用三角恒等變形找出角與角之間關(guān)系。一般情況下，利用三角恒等變形計算量會小一些。四、 證明三角形中的三角恒等式例 4、在 ABC中，角 A， B， C的對邊分別為a， b， c，證明： a2b2sin( A B) c2sin C證明：由正弦定理abc2R 得：sin A sin Bsin Ca 2R sin A, b2R sin B,c2R sin C 22abcosB1cos2A1cos2

5、Bsin 2 Asin 2 B22cos2Bcos2Asin 2 Csin 2 C2sin 2 CA( BA)cosBA( BA)=2 C2sin=2sin( BA)sin( BA)sin C sin( BA) = sin( B A) 2sin 2 Csin2 Csin C所以，a2b2sin( AB)c2sin C點評：由于不等式兩邊一邊是代數(shù)式， 一邊是三角式， 故通過正弦定理來把邊全化為角，把證明轉(zhuǎn)化為三角恒等變形的問題。五、處理實際問題例 5 在某點 B 測得建筑物AE 的頂端 A 的仰角為，沿 BE方向前進30 米，到點 C 處測得頂端 A 的仰角為 2，再繼續(xù)前進 103 米到點 D 點，頂端 A 的仰角為 4，求的大小和建筑物 AE 的高。解：如圖所示，在ACD 中， ACBC 30，ADDC10 3，ADC 1800410330，因為 sin 42sin 23，得 2300sin 2sin(1800cos2 ， cos24 )2名師精編歡迎下載150，在 Rt ADE 中， AEAD sin 60 01