華師大版八年級下《函數(shù)及其圖像》知識點歸納

1、學習必備精品知識點華師大版八年級數(shù)學下函數(shù)及其圖像知識點歸納一變量與函數(shù)1 函數(shù)的定義：一般的，在某個變化過程中有兩個變量x 和 y，對于 x 的每一個數(shù)值y 都有唯一的值與之對應，我們說x 叫做自變量， y 叫做因變量， y 叫做 x 的函數(shù)。2自變量的取值范圍：（ 1）能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。（ 2）確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實際問題中有實際意義。（ 3）不同函數(shù)關系式自變量取值范圍的確定：函數(shù)關系式為整式時自變量的取值范圍是全體實數(shù)。函數(shù)關系式為分式時自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實數(shù)。函數(shù)關系式為二次根式時自變

2、量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于零的全體實數(shù)。3 函數(shù)值：當自變量取某一數(shù)值時對應的函數(shù)值。這里有三種類型的問題：（ 1）當已知自變量的值求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值。（ 2）當已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程。（ 3）當給定函數(shù)值的一個取值范圍，欲求自變量的取值范圍時實質(zhì)上就是解不等式或不等式組。二平面直角坐標系：1各象限內(nèi)點的坐標的特征：（ 1）點 p（ x,y ）在第一象限 x 0,y 0.（ 2）點 p（ x,y ）在第二象限 x 0,y 0.（ 3）點 p（ x,y ）在第三象限 x 0,y 0（ 4）點 p（ x,y ）在第四象限 x 0,y 0.2 坐標軸上的點的坐標的特征：（ 1

3、）點 p（ x,y ）在 x 軸上 x 為任意實數(shù)， y=0（ 2）點 p（ x,y ）在 y 軸上 x=0,y 為任意實數(shù)3 關于 x 軸， y 軸，原點對稱的點的坐標的特征：（ 1）點 p（ x,y ）關于 x 軸對稱的點的坐標為（x,-y ） .（ 2）點 p（ x,y ）關于 y 軸對稱的點的坐標為（-x,y） .（ 3）點 p（ x,y ）關于原點對稱的點的坐標為（-x,-y）4 兩條坐標軸夾角平分在線的點的坐標的特征：（ 1）點 p（ x,y ）在第一、三象限夾角平分在線x=y.學習必備精品知識點（ 2）點 p（ x,y ）在第二，四象限夾角平分在線 x+y=05與坐標軸平行的直線

4、上的點的坐標的特征：（ 1）位于平行于 x 軸的直線上的所有點的縱坐標相同。（ 2）位于平行于 y 軸的直線上的所有點的橫坐標相同。6點到坐標軸及原點的距離：（ 1）點p（ x,y）到軸的距離為 y .（ 2）點p（ x,y）到y(tǒng) 軸的距離為x .（ 3）點p（ x,y）到原點的距離為x2y 2（ 4）同在x 軸上的兩點A（x1, 0）與B（ x2,0 ）之間的距離為AB=|x 1-x 2|（ 5）同在y 軸上的兩點C（0,y 1）與D（0,y2）之間的距離為CD=|y1-y 2|三函數(shù)的圖像函數(shù)圖像上的點與其解析式的關系1函數(shù)圖像上任意一點px,y 中的 x、 y 滿足函數(shù)關系式，滿足函數(shù)關

5、系式的一對對應值x,y 都在函數(shù)的圖像上。2判斷點px,y 是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個點的坐標 x,y 代入函數(shù)關系式，如果滿足函數(shù)關系式，那么這個點就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)關系式，那么，這個點就不在函數(shù)的圖像上。四一次函數(shù)（一）一次函數(shù)的定義1定義: 含有自變量的式子為一次整式，即形如式子y kx+b( 其中k 和b 為常數(shù)，k 0) 叫做一次函數(shù)。正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0 即變?yōu)閥=kx(其中k0) ，這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。2注意：（ 1）由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義可知;函數(shù)是一次函數(shù)解析式為y kx+b 的形式。函數(shù)是正比例函數(shù)解析式為y=kx 的

6、形式。（ 2）一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b 的結(jié)構(gòu)特征：k 0 x 的次數(shù)是1常數(shù) b 為任意實數(shù)（ 3）正比例函數(shù)解析式 y=kx 的結(jié)構(gòu)特征 k 0 x 的次數(shù)是 1 常數(shù) b=03說明：在 y=kx+b 中若 k=0 則 y=bb 為常數(shù)這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。4正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。學習必備精品知識點一次函數(shù)y=kx+b ，當 b=0 時為正比例函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b ，當 b 0 時一般的一次函數(shù)（二）一次函數(shù)的圖像1一次函數(shù)圖像的形狀：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b正比例函數(shù)y

7、=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx2一次函數(shù)圖像的主要特點:一次函數(shù)y=kx+b 的圖像經(jīng)過點0， b的直線，正比例函數(shù)y=kx+b 的圖像是經(jīng)過原點注意：點 0， b是直線y=kx+b 與 y 軸的交點。當 b 0 時，此時交點在y 軸的正半軸上，當 b 0 時，此時交點在y 軸的負半軸上，當 b=0 時，此時交點在原點，這時的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。0， 0的直線3一次函數(shù)圖像的畫法：根據(jù)兩點能畫一條直線并且只能畫一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出兩點，在連成直線即可。那么，先描出哪兩點比較好呢？選兩點應以計算和描點簡單為原則，一般來說，當b 0 時，

8、一般的一次函數(shù)y=kx+b的圖像，應選取它與兩個坐標軸的交點0，b與 - b ,0 ；當 b=0 時，畫正比例函數(shù)y=kx 的圖像，通常取0，0與k 1，k兩點，個別情況下可以做些變通，例如畫函數(shù)y= 2 x 的圖像，可以取0，0與 1， 2兩點，33也可以取 0， 0與 3， 2兩點。4直線 y=kx+b 與坐標軸的交點（ 1） 令 x=0, 則 y=b 所以直線 y=kx+b 與 y 軸的交點坐標為 0， b（ 2） 令 y=0, 則 kx+b=0 所以 x=- bk所以直線y=kx+b與x 軸的交點坐標為- b ,0 注意：此時直線y=kx+b與x 軸， y軸圍成的三角形面積kS= 1&

9、#215; -b×b2k5兩直線在直角坐標系內(nèi)的位置關系:（ 1）兩直線的解析式中當 k 相同時，其位置關系是平行，其中一條直線可以看作是另一條平移得到的，平移規(guī)律是“左減右加，上加下減”（ 2）兩直線的解析式中當b 相同時，其位置關系是相交，交點坐標為0，b .學習必備精品知識點（三）一次函數(shù)的性質(zhì)1正比例函數(shù)的性質(zhì)（ 1）當 k 0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y 隨 x 的增大而增大，直線y=kx 從左到右上升。（ 2）當 k 0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y 隨 x 的增大而減小，直線y=kx 從左到右下降。2一次函數(shù) y=kx+b 的性質(zhì)（ 1）當 k 0時，直線 y=kx+b

10、從左到右上升，此時y 隨 x 的增大而增大。（ 2）當 k 0時，直線 y=kx+b 從左到右下降，此時y 隨 x 的增大而減小。（ 3）當 b 0 時，直線 y=kx+b 與 y 軸正半軸相交。（ 4）當 b 0 時，直線 y=kx+b 與 y 軸負半軸相交。3直線 y=kx+b 的位置與 k、b 的符號之間的關系直線 y=kx+b 的位置是由 k 與 b 的符號決定的， 其中 k 決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢，b 決定直線與 y 軸交點的位置是在y 軸的正半軸， 還是負半軸，還是原點。k 和 b 綜合起來決定直線y=kx+b 在直角坐標系中的位置共有六種情況：當 k 0， b 0

11、 時，直線經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限；當 k 0， b 0 時，直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；當 k 0， b 0 時，直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限；當 k 0， b 0 時，直線經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限；當 k 0， b=0 時，直線經(jīng)過第一、三象限；當 k 0， b=0 時，直線經(jīng)過第二、四象限。（四）正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的確定1確定一個正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx k 0中的常數(shù) k; 確定一個一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+b k0中的常數(shù) k 和 b, 解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。2待定系數(shù)法：

12、先設出待求函數(shù)關系式其中含有未知的系數(shù)，再根據(jù)已知條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù)，如正比例函數(shù)y=kx中的k，一次函數(shù)y=kx+b中的k 和b 都是待確定的系數(shù)。3用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：（ 1）設出含有待定系數(shù)的解析式；（ 2）把已知條件自變量與函數(shù)的對應值代入解析式，得到關于待定系數(shù)的方程或方程組；（ 3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)；（ 4）將求得的待定系數(shù)的值代回所設的解析式。學習必備精品知識點注意：通常正比例函數(shù)解析式設y=kx ，只有一個待定系數(shù) k，一般只需一對 x 與 y 的對應值即可；一次函數(shù)

13、解析式設 y=kx+b ，其中有兩個待定系數(shù)k 和 b，因而需要兩對x 與 y 的對應值，才能求出k 和 b 的值。五反比例函數(shù)（一）反比例函數(shù)定義1一般的，函數(shù) y= k k 是常數(shù)， k 0叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=kx -1 的形x式，其中 k 叫做比例系數(shù)。2反比例函數(shù)解析式的主要特征：（ 1）等號左邊是函數(shù) y, 右邊是一個分式，分子是不為零的常數(shù)k, 分母中含有自變量 x, 且 x 的指數(shù)是 1，若寫成 y=kx -1 的形式，則 x 的指數(shù)是 -1 。（ 2）比例系數(shù)“ k0”是反比例函數(shù)定義的重要組成部分。（ 3）自變量 x 的取值范圍是x 0 的一切實數(shù)

14、。（二）反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點成中心對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x 0，函數(shù) y 0，所以它的圖像與x 軸和 y 軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。（三）反比例函數(shù)的性質(zhì)1當 k 0 時，圖像在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個象限內(nèi)y 隨 x 的增大而減小。2當 k 0 時，圖像在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個象限內(nèi)y 隨 x 的增大而增大。（四）反比例函數(shù)解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)

15、y= k 中只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對x 與 yx的對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k 的值，從而確定其解析式。（五）“反比例關系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系反比例關系是小學學過的概念：如果xy=k k 是常數(shù) k 0，那么 x 與 y 這兩個量成反比例關系，這里x與 y 既可以代表單獨的一個字母也可以代表多項式或單項式，例如y+3 與 x 成反比例則有 y+3=k,y 與 x2x成反比例，則y= k, 成反比例關系不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y= k 中的兩個變量必定成反比x 2x例關系。學習必備精品知識點（六）反比例函數(shù)y= k k 0中的比例系數(shù)k 的幾何意義x1如圖，過雙曲線上一點作x 軸、 y 軸的垂線PM、 PN,所得矩形PMON面積為 |k| 。2連結(jié) PO,則 SPOM=1 S矩形 = 1 |k| 。22六 函數(shù)的應用1利用圖像比較兩個函數(shù)值的大小在同一直角坐標系中的兩個函數(shù)圖像，如果其中一個函數(shù)的圖像在另一個函數(shù)圖像的上方，則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值大，若在下方，則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值小，而其交點的橫坐標就是分界點。2兩個一次函數(shù)圖像的交點與二元一次方程組的關系如果兩個一次函數(shù)的圖像相交，則交點坐標必定同時滿足兩個函數(shù)解析式，故交點坐標是有兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。3一次函數(shù)與方程、不等式的關系（