材料力學(xué)：第四章 彎曲 （2）

1、彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力1 圖圖a所示簡支梁受集度為所示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。寫出梁的的均布荷載作用。寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。例例1彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力21. 求約束力求約束力2qlFFBA 例例12. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 )1(02SlxqxqlqxFxFA )2(02222lxqxqlxxqxxFxMA 由分離體（圖由分離體（圖b）的平衡，得）的平衡，得FS(x)M(x)(b)彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力33. 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 )1(02SlxqxqlxF )2(0222lxqxqlxxM 由

2、由(1)式可知，式可知，F(xiàn)S圖為斜直線，由圖為斜直線，由x=0，x=l的的FS值可畫出值可畫出FS圖。圖。 由由(2)式可知，式可知，M圖為二次拋物線，由圖為二次拋物線，由x=0，l/4，l/2，的，的M值可畫出值可畫出M圖。圖。例例1彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力4 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力( (按絕對(duì)值按絕對(duì)值) )其值為其值為 ，發(fā)生在兩個(gè)支座各自的內(nèi)側(cè)橫截，發(fā)生在兩個(gè)支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為面上；最大彎矩其值為 發(fā)生在跨中橫截面發(fā)生在跨中橫截面上。上。2max,SqlF 82maxqlM 例例1彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力5 圖圖a所示簡支梁受集中荷載所示簡

3、支梁受集中荷載F 作用。寫出梁的剪力方程作用。寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。F例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力61. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程AC和和CB兩段的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分兩段的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。段列出。求約束力為求約束力為lFaFlFbFBA ,解解:F例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力7AC段梁段梁 )2(0 )1(0 SaxxlFbxFxMaxlFbFxFAA FS(x)M(x)例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力8CB段梁段梁 )3(SlxalFalblFFlFbxF )4( lxaxllFaaxF

4、xlFbxM FS(x)M(x)例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力92. 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 由由(1)和和(3)式可見式可見FS圖為平行于圖為平行于x軸的水平線，如圖軸的水平線，如圖b所示所示 )1(0SaxlFbxF )3(SlxalFaxF 例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力10 )4()(lxaxllFaxM )2(0axxlFbxM 由由(2)和和(4)式可見式可見M圖為斜直線如圖圖為斜直線如圖c所示所示例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力11由圖由圖b和圖和圖c可見，在可見，在b a的情況下，的情況下，lFbF max,SlFabM max例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力12 在集中力在集中力F作用（作用（C截面）

5、處，其左、右兩側(cè)的剪力截面）處，其左、右兩側(cè)的剪力發(fā)生突變，且二者的差值等于發(fā)生突變，且二者的差值等于F，即，即FlFblFbFFlFbFlFbFCCCC )(,S,S,S,S，右右左左右右左左 其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力所造成的。若集中力所造成的。若集中力F視為作用在視為作用在D Dx段上的分布力，就不段上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖存在突變現(xiàn)象了（圖d）。）。例例2彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力13 圖圖a所示簡支梁，在所示簡支梁，在C截面受集中力偶矩截面受集中力偶矩Me作用。試寫作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎

6、矩圖。出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。例例3彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力141. 求約束力求約束力 lMFlMFBAee,解解:2. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程由分離體圖可見，作用于由分離體圖可見，作用于AC段和段和BC段上的集中力相段上的集中力相同，從而兩段梁的剪力方程同，從而兩段梁的剪力方程相同，即相同，即 lxlMFxFA 0eS例例3彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力15至于兩段梁的彎矩方程則不同：至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：段梁： axxlMxFxMA 0e例例3彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力16CB段梁：段梁： lxaxllMMxlMMxFxMA eeee 例例3彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力17

7、3. 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 axxlMxM 0 e lxaxllMxM e lxlMxF 0eS由由FS，M方程畫出方程畫出FS圖圖和和M圖，分別如圖，分別如(b)，(c)所示所示例例3彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力18 由圖由圖b和圖和圖c可見，梁的所有橫截面上的剪力相同，均為可見，梁的所有橫截面上的剪力相同，均為FS=Me/ l 。在。在ba的情況下，的情況下，C截面右側(cè)截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的橫截面上的彎矩絕對(duì)值最大，且值為彎矩絕對(duì)值最大，且值為Mmax=Meb/l。在集中力偶作用處。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，也是因?yàn)榧辛ε紝?shí)際上只是作用在微范彎矩圖有突變，也是因?yàn)榧辛ε紝?shí)際

8、上只是作用在微范圍內(nèi)的分布力偶的簡化。圍內(nèi)的分布力偶的簡化。例例3 45載荷集度、載荷集度、 剪力和彎矩間的關(guān)系剪力和彎矩間的關(guān)系設(shè)梁上作用有任意分布荷載設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度其集度q = q(x)，并規(guī)定：，并規(guī)定：將將 x 軸的坐表原點(diǎn)軸的坐表原點(diǎn)取在梁的取在梁的。xyq(x)Pme假想地用坐標(biāo)為假想地用坐標(biāo)為 x 和和 x+dx的的兩橫截面兩橫截面 m-m 和和 n-n 從梁中從梁中取出取出 dx一段。一段。x+dx 截面處截面處 則分別為則分別為 FS(x)+dFS(x) , M(x)+dM(x) 。由于由于dx很小，略去很小，略去q(x) 沿沿dx的變化的變化m-m截面上內(nèi)力

9、為截面上內(nèi)力為 FS(x) ，M(x)xmmnn dxFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)CFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C Fy= 0FS(x) - FS(x)+dFS(x) + q(x)dx = 0得到得到 寫出平衡方程寫出平衡方程略去二階無窮小量即得略去二階無窮小量即得 020dxdxxqdxxFxMxdMxMMSC由上面兩微分式得由上面兩微分式得( )( )sdF xq xdx( )( )sdM xF xdx22( )( )d M xq xdx( )( )sdF xq xdx( )( )sdM xF xdx22( )( )d M xq xdx剪力、彎矩與外力間的關(guān)系剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力外力無外力段無外力段均布載荷段均布載荷段集中力集中力集中力偶集中力偶q=0q0q0FSFS0 x斜直線斜直線增函數(shù)