初中數(shù)學(xué)因式分解的常用方法

1、初中數(shù)學(xué)因式分解方法介紹及真題訓(xùn)練第一部分：方法介紹因式分解：因式分解是指將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，換元法等因式分解的一般步驟是： 1、通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；2、若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；。注意：將一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解應(yīng)分解到不能再分解為止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二

2、、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 -a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+

3、c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（ ）a.直角三角形 b等腰三角形 c 等邊三角形 d等腰直角三角形解： 三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組

4、。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = =練習(xí)：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =練習(xí)：分解因式3、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)

5、律？例.已知05，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：凡是能十字相乘的二次三項(xiàng) 式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一個(gè)完全平方數(shù)。于是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -

6、1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3)練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1

7、-2y 把看作一個(gè)整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。(1)、換單項(xiàng)式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把單項(xiàng)式x3換元，設(shè)x3 = m，則x6= m2，原式變形為m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、換多項(xiàng)式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6)

8、 +x2.分析：本題前面的兩個(gè)多項(xiàng)式有相同的部分，我們可以只把相同部分換元，設(shè)x2 +6= m，則x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式變形為(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上這種換元法，只換了多項(xiàng)式的一部分，所以稱為“局部換元法”. 當(dāng)然，我們還可以把前兩個(gè)多項(xiàng)式中的任何一個(gè)全部換元，就成了“整體換元法”. 比如，設(shè)x2+4x+6=m，則x2+6x+6=m+2x，原式變形為m(m+2x)+ x2 =

9、m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，還可以取前兩個(gè)多項(xiàng)式的平均數(shù)進(jìn)行換元，這種換元的方法被稱為“均值換元法”，可以借用平方差公式簡化運(yùn)算. 對于本例，設(shè)m= (x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，則x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x， (m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：

10、這道題的前面是四個(gè)多項(xiàng)式的乘積，可以把它們分成兩組相乘，使之轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積. 無論如何分組，最高項(xiàng)都是x2，常數(shù)項(xiàng)不相等，所以只能設(shè)法使一次項(xiàng)相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分組為(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12)，從而轉(zhuǎn)化成例2形式加以解決. 我們采用“均值換元法”，設(shè)m= (x2+x-2)+ (x2+x-12)=x2+x-7，則x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式變形為(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)=

11、 ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、換常數(shù)例1 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.分析：此題若按照一般思路解答，很難奏效. 注意到2003、2004兩個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，把其中一個(gè)常數(shù)換元. 比如，設(shè)m=2003，則2004=m+1. 于是，原式變形為x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x2+x-m2-m)= x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+200

12、4).例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。 原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = =（2）解：原式= 設(shè)，則 原式= =練習(xí)14、（1）（2）六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng)。 解法2添項(xiàng)。原式= 原式= = = = = = =（2）

13、解：原式=練習(xí)15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：設(shè)= 則=比較對應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng)時(shí)，原式=；當(dāng)時(shí)，原式=（2）分析：是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如的一次二項(xiàng)式。解：設(shè)= 則= 解得，=21練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式

14、（3） 已知：能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4） 為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的_的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為 . 6、若，則=_，=_。二、選擇題7、多項(xiàng)式的公因式是( )a、 b、 c、 d、8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是( )a、 b、c、 d、10.下列多項(xiàng)式能分解因式的是（ ）(a)x2

15、-y (b)x2+1 (c)x2+y+y2 (d)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式為（ ）a（xy）（xy1） b（yx）（xy1）c（yx）（yx1） d（yx）（yx1）12下列各個(gè)分解因式中正確的是（ ）a10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）b（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）d（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一個(gè)完全平方式，那么k應(yīng)為（ ）a.2 b.4 c.2y2 d.4y2三、把下列各式分解因式： 14、 15、16、 17、 18、 19、；

16、五、解答題20、如圖，在一塊邊長=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個(gè)邊長=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。dd21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑，外徑長。利用分解因式計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，結(jié)果保留2位有效數(shù)字)22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個(gè)等式。經(jīng)典二： 1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。

17、 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=a，b+c=b，a+2b+c=a+b 說明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥 例1.在中，三

18、邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：_ 解： 說明：利用等式化繁為易。題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 解： 說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計(jì)算。實(shí)戰(zhàn)模擬1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。 4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)） 5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)

19、，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_。2、則=_=_3、與的公因式是4、若=，則m=_，n=_。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若是完全平方式，則m=_。7、8、已知則9、若是完全平方式m=_。10、， 11、若是完全平方式，則k=_。12、若的值為0，則的值是_。13、若則=_。14、若則_。15、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項(xiàng)式的公因式是（ ）a、a、 b、 c、 d、2、若，則m，k的值分別是（ ）a、m=2，k=6，b

20、、m=2，k=12，c、m=4，k=12、d m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）a、1個(gè)，b、2個(gè)，c、3個(gè)，d、4個(gè)4、計(jì)算的值是（ ） a、 b、三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、7、 8、9 、 10、四、代數(shù)式求值（15分）1、 已知，求 的值。2、 若x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值3、 已知，求的值五、計(jì)算： （15）（1） 0.75 （2） （3）六、試說明：（8分）1、對于任意自然數(shù)n，都能被動24整除。2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計(jì)

21、算（8分）1、一種光盤的外d=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長。八、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了描述：甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法若這四個(gè)同學(xué)描述都正確請你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將它分解因式。（4分）經(jīng)典四：因式分解一、 選擇題1、代數(shù)式a3b2a2b3, a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（ ）a、a3b2 b、a

22、2b2 c、a2b3 d、a3b3 2、用提提公因式法分解因式5a(xy)10b·(xy)，提出的公因式應(yīng)當(dāng)為（ ）a、5a10b b、5a10b c 、5(xy) d、yx3、把8m312m24m分解因式，結(jié)果是（ ）a、4m(2m23m) b、4m(2m23m1) c、4m(2m23m1) d、2m(4m26m2)4、把多項(xiàng)式2x44x2分解因式，其結(jié)果是（ ）a、2(x42x2) b、2(x42x2) c、x2(2x24) d、 2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（ ）a、21998 b、21998 c、21999 d、219996、把16x4分解因式，其結(jié)果

23、是（ ）a、(2x)4 b、(4x2)( 4x2) c、(4x2)(2x)(2x) d、(2x)3(2x)7、把a(bǔ)42a2b2b4分解因式，結(jié)果是（ ）a、a2(a22b2)b4 b、(a2b2)2 c、(ab)4 d、(ab)2(ab)28、把多項(xiàng)式2x22x分解因式，其結(jié)果是（ ）a、(2x)2 b、2(x)2 c、(x)2 d、 (x1)2 9、若9a26(k3)a1是完全平方式，則 k的值是（ ）a、±4 b、±2 c、3 d、4或210、（2xy）(2xy)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果（ ）a、4x2y2 b、4x2y2 c、4x2y2 d、4x2y2 11、多

24、項(xiàng)式x23x54分解因式為（ ）a、(x6)(x9) b、(x6)(x9)c、(x6)(x9) d、 (x6)(x9)二、填空題1、2x24xy2x = _(x2y1)2、4a3b210a2b3 = 2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1)4、m(mn)2(nm)2 =(_)(_)5、x2(_)16y2=( )26、x2(_)2=(x5y)( x5y)7、a24(ab)2=(_)·(_)8、a(xyz)b(xyz)c(xyz)= (xyz)·(_)9、16(xy)29(xy)2=(_)·(_)10、(ab)3(ab)=(ab)·(_)

25、83;(_)11、x23x2=(_)(_)12、已知x2px12=(x2)(x6)，則p=_.三、解答題1、把下列各式因式分解。(1)x22x3 (2)3y36y23y(3)a2(x2a)2a(x2a)2 (4)(x2)2x2(5)25m210mnn2 (6)12a2b(xy)4ab(yx)(7)(x1)2(3x2)(23x) (8)a25a6(9)x211x24 (10)y212y28(11)x24x5 (12)y43y328y22、用簡便方法計(jì)算。（1）9992999 （2）2022542256×352(3) 3、已知：xy=,xy=1.求x3y2x2y2xy3的值。四、探究創(chuàng)新

26、樂園1、 若ab=2,ac=,求(bc)23(bc)的值。2、 求證：11111110119=119×109五、證明(求值)1已知ab=0，求a32b3a2b2ab2的值2求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個(gè)完全平方數(shù)3證明：(acbd)2(bcad)2=(a2b2)(c2d2)4已知a=k3，b=2k2，c=3k1，求a2b2c22ab2bc2ac的值5若x2mxn=(x3)(x4)，求(mn)2的值6當(dāng)a為何值時(shí)，多項(xiàng)式x27xyay25x43y24可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積7若x，y為任意有理數(shù)，比較6xy與x29y2的大小8兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)經(jīng)典五：因式分解分類練習(xí)題因式分解提公因式法1、下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是( )a. b. c. d.2、在把分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是( )a. b. c. d.3、下列變形是因式分解的是( )