第五章微分方程模型

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 傳染病模型傳染病模型5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5 香煙過(guò)濾嘴的作用香煙過(guò)濾嘴的作用5.6 人口預(yù)測(cè)和控制人口預(yù)測(cè)和控制5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失煙霧的擴(kuò)散與消失5.8 萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)模型模型 描述對(duì)象特征隨時(shí)間描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間空間)的演變過(guò)程的演變過(guò)程 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài) 研究控制對(duì)象特征的手段研究控制對(duì)象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系

2、確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論是古老而有時(shí)髦且備受爭(zhēng)議的研究領(lǐng)域之經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論是古老而有時(shí)髦且備受爭(zhēng)議的研究領(lǐng)域之一。一。早在早在1818世紀(jì)世紀(jì)，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家AdamAdamSmithSmith最早認(rèn)識(shí)到經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的動(dòng)力最早認(rèn)識(shí)到經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的動(dòng)力在于勞動(dòng)分工、資本積累和技術(shù)進(jìn)步，在于勞動(dòng)分工、資本積累和技術(shù)進(jìn)步，RechardoRechardo發(fā)現(xiàn)了規(guī)模報(bào)酬發(fā)現(xiàn)了規(guī)模報(bào)酬遞減，像遞減，像Thom

3、as Malthus ,Frank Ramrey,Allyn YonugThomas Malthus ,Frank Ramrey,Allyn Yonug等都對(duì)經(jīng)等都對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)有所貢獻(xiàn)。新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)是濟(jì)增長(zhǎng)有所貢獻(xiàn)。新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)是SolowSolow（19561956）和）和SwanSwan（19561956），其模型描述了完全競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)，產(chǎn)出的增長(zhǎng)對(duì)應(yīng)于資），其模型描述了完全競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)，產(chǎn)出的增長(zhǎng)對(duì)應(yīng)于資本和勞動(dòng)投入的增長(zhǎng)，其生產(chǎn)函數(shù)與儲(chǔ)蓄率不變的假設(shè)相結(jié)合，本和勞動(dòng)投入的增長(zhǎng)，其生產(chǎn)函數(shù)與儲(chǔ)蓄率不變的假設(shè)相結(jié)合，是一個(gè)很簡(jiǎn)單的一般均衡模型。但這些模型與各國(guó)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)現(xiàn)是一個(gè)很簡(jiǎn)單

4、的一般均衡模型。但這些模型與各國(guó)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)現(xiàn)實(shí)不符合。實(shí)不符合。在在5050、6060年代，年代，CassCass和和KoopmansKoopmans（19651965）引入）引入RameyRamey的消費(fèi)者最優(yōu)的消費(fèi)者最優(yōu)化分析理論，從而使儲(chǔ)蓄率內(nèi)生化，但這并不能改變?nèi)司a(chǎn)出增化分析理論，從而使儲(chǔ)蓄率內(nèi)生化，但這并不能改變?nèi)司a(chǎn)出增長(zhǎng)率對(duì)外生技術(shù)進(jìn)步的依賴(lài)。長(zhǎng)率對(duì)外生技術(shù)進(jìn)步的依賴(lài)。7070年代，年代，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論處于停滯階段。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論處于停滯階段。8080年代，年代，RomerRomer（19861986）和）和LucasLucas（19881988）將）將R&DR&D

5、和不完全競(jìng)爭(zhēng)引入和不完全競(jìng)爭(zhēng)引入模型，使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論出現(xiàn)新的高潮。模型，使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論出現(xiàn)新的高潮。5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型型 生產(chǎn)函數(shù)模型是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)分析的有力工具，所生產(chǎn)函數(shù)模型是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)分析的有力工具，所以，隨著增長(zhǎng)理論研究的深入，生產(chǎn)函數(shù)模型的新以，隨著增長(zhǎng)理論研究的深入，生產(chǎn)函數(shù)模型的新成果也不斷出現(xiàn)（直觀上函數(shù)的結(jié)構(gòu)也越來(lái)越復(fù)成果也不斷出現(xiàn)（直觀上函數(shù)的結(jié)構(gòu)也越來(lái)越復(fù)雜），其應(yīng)用更是呈現(xiàn)長(zhǎng)盛不衰的局面。雜），其應(yīng)用更是呈現(xiàn)長(zhǎng)盛不衰的局面。 從從2020年代末，美國(guó)數(shù)學(xué)家年代末，美國(guó)數(shù)學(xué)家Charles CobbCharles Cobb和經(jīng)濟(jì)和經(jīng)濟(jì)學(xué)家學(xué)家Paul Dauglas

6、Paul Dauglas提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用1899-19221899-1922年的數(shù)據(jù)資料，導(dǎo)出了著名的年的數(shù)據(jù)資料，導(dǎo)出了著名的Cobb-Cobb-DauglasDauglas生產(chǎn)函數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)。 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù):描述生產(chǎn)過(guò)程中投入的描述生產(chǎn)過(guò)程中投入的生產(chǎn)要素生產(chǎn)要素的某種組合同它的某種組合同它可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.生產(chǎn)函數(shù)從形式上可以分成四種：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型(Cobb&Douglas,1928(Cobb&Douglas,1928）、可變替代彈性VE

7、S生產(chǎn)函數(shù)模型（Sato,1967Sato,1967）不變替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)模型（SolowSolow，19601960；ArrowArrow，19611961）超越對(duì)數(shù)Translog生產(chǎn)函數(shù)模型（ChristensanChristensan和和JorgensonJorgenson，19731973）。其中，C-D模型是受約束的CES模型和VES模型，而CES模型和VES模型又是受約束的TL模型。這四種模型中，C-D生產(chǎn)函數(shù)應(yīng)用最廣泛。增加生產(chǎn)增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟(jì)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增加投資，增加勞動(dòng)力，提高技術(shù)，對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的促進(jìn)作用增加投資，增加勞動(dòng)力，提高技術(shù)，對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的促進(jìn)作用 建立產(chǎn)值與資金

8、、勞動(dòng)力之間的關(guān)系建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系 研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長(zhǎng)增長(zhǎng)1. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值產(chǎn)值 Q(t)資金資金 K(t)勞動(dòng)力勞動(dòng)力 L(t)技術(shù)技術(shù) f(t) = f0)(),()(0tLtKFftQF為待定函數(shù)為待定函數(shù))(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假設(shè)模型假設(shè)靜態(tài)模型靜態(tài)模型),(),(0LKFfLKQ每個(gè)勞動(dòng)每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值力的產(chǎn)值LQz 每個(gè)勞動(dòng)每個(gè)勞動(dòng)力的投資力的

9、投資LKy z 隨著隨著 y 的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減yg(y)01. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)含義？含義？0,2222LQKQ)/(0LKLfQ Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)10),(LKfLKQF為待定函數(shù)為待定函數(shù)10),(LKfLKQQK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL 單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額資金在產(chǎn)值中的份額1- 勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)0, 1,0,),(00fLKfLKQ1. Douglas生

10、產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1,QLQQKQLKQLQKQLK0,0LSKS1,QLQQKQLKrwLK1w , r , K/L 求資金與勞動(dòng)力的分配比例求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金勞動(dòng)力占有的資金) ，使效益，使效益S最大最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益wLrKQS資金來(lái)自貸款，利率資金來(lái)自貸款，利率 r勞動(dòng)力付工資勞動(dòng)力付工資 w 2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）1KLQQLKwrQQLKLyKLKy,3) 經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長(zhǎng)的條件增長(zhǎng)的條件 (動(dòng)態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型)要使要使 Q(t) 或或 Z(t)=Q(t)/L

11、(t) 增長(zhǎng)增長(zhǎng), K(t), L(t)應(yīng)滿(mǎn)足的條件應(yīng)滿(mǎn)足的條件模型模型假設(shè)假設(shè) 投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)) 勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù))(0yLgfQ yyg)(LyfdtdK00,QdtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000)1(1)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立當(dāng)AKKt

12、),/1)(1ln()1 (1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A 0產(chǎn)值產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng)增長(zhǎng)dQ/dt 03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時(shí)當(dāng)BKK,1/000勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)增長(zhǎng)dZ/dt03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件dtdyyfdtdZ10 關(guān)于資本與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的實(shí)證研究，國(guó)外的經(jīng)濟(jì)學(xué)家就儲(chǔ)蓄的關(guān)

13、于資本與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的實(shí)證研究，國(guó)外的經(jīng)濟(jì)學(xué)家就儲(chǔ)蓄的使用效率問(wèn)題在美國(guó)、德國(guó)和日本等主要幾個(gè)工業(yè)化國(guó)家進(jìn)使用效率問(wèn)題在美國(guó)、德國(guó)和日本等主要幾個(gè)工業(yè)化國(guó)家進(jìn)行了一個(gè)比較研究，結(jié)果表明美國(guó)比日本和德國(guó)平均高出三行了一個(gè)比較研究，結(jié)果表明美國(guó)比日本和德國(guó)平均高出三分之一，這主要是由于美國(guó)資本市場(chǎng)比較發(fā)達(dá)，銀行體系運(yùn)分之一，這主要是由于美國(guó)資本市場(chǎng)比較發(fā)達(dá)，銀行體系運(yùn)行效率高。行效率高。 新古典增長(zhǎng)模型（新古典增長(zhǎng)模型（SolowSolow-Swan-Swan 模型）認(rèn)為資本收益率遞減模型）認(rèn)為資本收益率遞減會(huì)最終導(dǎo)致收斂，即落后地區(qū)可以利用較高的資本報(bào)酬率趕會(huì)最終導(dǎo)致收斂，即落后地區(qū)可以利用較高的資

14、本報(bào)酬率趕上先進(jìn)地區(qū)；而內(nèi)生增長(zhǎng)理論（上先進(jìn)地區(qū)；而內(nèi)生增長(zhǎng)理論（RomerRomer, , 1986 1986）認(rèn)為知識(shí)資）認(rèn)為知識(shí)資本對(duì)一般消費(fèi)品的生產(chǎn)具有遞增效應(yīng)本對(duì)一般消費(fèi)品的生產(chǎn)具有遞增效應(yīng), ,而且而且“干中學(xué)干中學(xué)（Learning by DoingLearning by Doing）”的知識(shí)外溢產(chǎn)生了規(guī)模經(jīng)濟(jì)，因的知識(shí)外溢產(chǎn)生了規(guī)模經(jīng)濟(jì)，因此人力資本存量較高的國(guó)家可能在長(zhǎng)期內(nèi)保持比較高的增長(zhǎng)此人力資本存量較高的國(guó)家可能在長(zhǎng)期內(nèi)保持比較高的增長(zhǎng)率。率。 全球高級(jí)經(jīng)濟(jì)學(xué)家多米尼克全球高級(jí)經(jīng)濟(jì)學(xué)家多米尼克威爾遜威爾遜(Dominic Wilson)(Dominic Wilson)通過(guò)

15、通過(guò)研究指出中國(guó)經(jīng)濟(jì)總量將在研究指出中國(guó)經(jīng)濟(jì)總量將在20152015年超日本年超日本20392039年超美國(guó)年超美國(guó) 5.1 傳染病模型傳染病模型問(wèn)題問(wèn)題 傳染病是人類(lèi)的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素傳染病是人類(lèi)的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出：醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)

16、大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明 描述傳染病的傳播過(guò)程描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (

17、病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病

18、人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無(wú)免疫性傳染病無(wú)免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)S

19、IS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線(xiàn)增長(zhǎng)按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如

20、何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR

21、模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxT, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物相當(dāng)于藥物( 劑量劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量吸

22、收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測(cè)得測(cè)得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設(shè)t ,由較大的由較大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由較小的由較小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B,

23、 , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除進(jìn)入中心室的藥物全部排除 過(guò)濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系過(guò)濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系 人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分析分析 分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過(guò)程，建立吸分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過(guò)程，建立吸煙

24、過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。煙過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)想一個(gè)設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問(wèn)題問(wèn)題5.5 香煙過(guò)濾嘴的作用香煙過(guò)濾嘴的作用模型模型假設(shè)假設(shè)定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1煙草長(zhǎng)，煙草長(zhǎng)， l2過(guò)濾嘴長(zhǎng)，過(guò)濾嘴長(zhǎng)， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=13）未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的）未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙

25、霧穿行的毒物的毒物的(單位時(shí)間單位時(shí)間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點(diǎn)燃香煙，點(diǎn)燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x

26、)lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t時(shí)刻，香煙燃至?xí)r刻，香煙燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03) 求求w(ut,t)vabutvbutvlvblaeeeeaauwtlq210),(vblavlu

27、leebavawdttlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 計(jì)算計(jì)算 Q11vblar結(jié)果結(jié)果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112煙草煙草為什么有作用為什么有作用?1）Q與與a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 處的吸入量處的吸入量2) 過(guò)濾嘴因素，過(guò)濾嘴因素， , l2 負(fù)指數(shù)負(fù)指數(shù)作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 處的吸入量處的吸入量3） (

28、r) 煙草的吸收作用煙草的吸收作用b, l1 線(xiàn)性線(xiàn)性作用作用vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011帶過(guò)濾嘴帶過(guò)濾嘴不帶過(guò)濾嘴不帶過(guò)濾嘴21QQb結(jié)果結(jié)果分析分析4) 與另一支不帶過(guò)濾嘴的香煙比較，與另一支不帶過(guò)濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 與加長(zhǎng)與加長(zhǎng)l2，效果相同，效果相同5.6 人口預(yù)測(cè)和控制人口預(yù)測(cè)和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移只考慮

29、自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口

30、發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrk

31、trhttf 總和生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tSt

32、Rt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按時(shí)刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計(jì)算的平均存活時(shí)間計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過(guò)大不過(guò)大控制控制 (t)不過(guò)高不過(guò)高5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問(wèn)題問(wèn)題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。區(qū)域縮小，

33、最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過(guò)程，分析消失建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過(guò)程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。時(shí)間與各因素的關(guān)系。問(wèn)題問(wèn)題分析分析無(wú)窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過(guò)程，用二階偏無(wú)窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過(guò)程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對(duì)光線(xiàn)的吸收，以及儀觀察的煙霧消失與煙霧對(duì)光線(xiàn)的吸收，以及儀器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān)。器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān)。gradCkq模型模型假設(shè)假設(shè)1）煙霧在無(wú)窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)）煙霧在無(wú)窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線(xiàn)穿過(guò)煙霧時(shí)光強(qiáng)的減

34、少與煙霧濃）光線(xiàn)穿過(guò)煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無(wú)煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。度成正比；無(wú)煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。3）穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線(xiàn)只有明暗之）穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線(xiàn)只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型模型建立建立1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC熱傳導(dǎo)定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)單位法熱傳導(dǎo)定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)單位法向面積的流量與濃度梯度成正比向面積的流量與濃度梯度成正比 21QQ 222222)(zCyCxCkgradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通過(guò),ttt內(nèi)煙霧改

35、變量sVdVqdivdnq曲面積分的奧氏公式曲面積分的奧氏公式gradCkq1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxCktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始條件初始條件Q炮彈釋放的煙霧總量炮彈釋放的煙霧總量 單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù)單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù) 對(duì)任意對(duì)任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 僅當(dāng)僅當(dāng) t, 對(duì)任意點(diǎn)對(duì)任意點(diǎn)(x,y,z), C01）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC00)(IlI)()(lIlCdldI2）穿過(guò)

36、煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律）穿過(guò)煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律光強(qiáng)的減少與煙光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比霧濃度成正比方向的煙霧濃度沿方向的光強(qiáng)沿llCllI)()(00)(Ill的光強(qiáng)為未進(jìn)入煙霧lldssCeIlI0)(0)(1),(dztzyxCe觀測(cè)結(jié)果為暗儀器靈敏度，當(dāng),1/0II3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化lldssCeIlI0)(0)(儀器儀器z- 設(shè)光源在設(shè)光源在z=- , 儀器在儀器在z= ,則觀測(cè)到的則觀測(cè)到的明暗界限為明暗界限為不透光區(qū)域有擴(kuò)大、不透光區(qū)域有擴(kuò)大、縮小、消失的過(guò)程縮小、消失的過(guò)程穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線(xiàn)只有明暗之穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線(xiàn)只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏