第二輪第6講分類討論思想在解題中的應(yīng)用

1、第 6 講 分類討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合1. 分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化 研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題 中占有重要位置。2. 所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì) 象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得 到整個(gè)問(wèn)題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù) 學(xué)策略。3. 分類原則：分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論。4. 分類方法：明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分

2、類； 逐類進(jìn)行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。5. 含參數(shù)問(wèn)題的分類討論是常見(jiàn)題型。6. 注意簡(jiǎn)化或避免分類討論。二、例題分析例 1. 一條直線過(guò)點(diǎn) ( 5，2)，且在 x 軸，y 軸上截距相等， 則這直線方程為 ( )A.xy70B.2x 5y 0C.x y 7 0或 2x 5y 0D.x y 7 0或 2y 5x 0分析：設(shè)該直線在 x 軸，y 軸上的截距均為 a,2當(dāng) a=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為 y 2 *x，即 2x 5y 0；5當(dāng) a 0 時(shí)，設(shè)直線方程為 x y 1，則求得 a 7 ，方程為 x y 7 0 。 aa15例 2 ABC中，已知 sin A 1

3、， cosB 5 ，求 cosC2 13分析： 由于C(A B) cosC cos(A B)cos A cosB sinA sinB因此，只要根據(jù)已知條件，求出 cosA，sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求 cosA時(shí)，是一解還是兩解？這一點(diǎn)需經(jīng)過(guò)討論才能確定，故解本題時(shí)要分類討論。對(duì) 角 A 進(jìn)行分類。0 cosB513且 B為 ABC 的一個(gè)內(nèi)角45 B 90 ，12且 sin B 12131若A為鈍角，由 sinA 1，得A 150 ，此時(shí) A B 1802這與三角形的內(nèi)角和為 180°相矛盾。 可見(jiàn) A 150cosC cos (A B) cos(A B)

4、3 5 1 1212 5 32 13 2 1326cosA cosB sin A sinB例 3. 已知圓 x2+y2=4，求經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（ 2，4），且與圓相切的直線方程。分析： 容易想到設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程 y-4=k（x-2） 再利用直線與圓相切的充要條 件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑” ，待定斜率 k，從而得到所求直線方程，但要 注意到：過(guò)點(diǎn) P 的直線中，有斜率不存在的情形， 這種情形的直線是否也滿足題意呢？ 因此本題對(duì)過(guò)點(diǎn) P的直線分兩種情形：（ 1）斜率存在時(shí)，（ 2）斜率不存在解（略）：所求直線方程為 3x-4y+10=0 或 x=21例 4. 解關(guān)于 x的不等式： log

5、a（1 1） 1x 分析：解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，需要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù) 符號(hào)的不等式。而對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù) a 的取值不同而不同，故需對(duì) a 進(jìn)行分類 討論。11解： 若 a> 1，則原不等式等價(jià)于 1 1 a 1 x 0 x 1 a若 0 a 1，則原不等式等價(jià)于110 x1 1x1 1 a1ax綜上所述，當(dāng) a 1時(shí)，原不等式的解集為 x 1 x 0 ；1a當(dāng) 0 a 1時(shí)，原不等式的解集為x1 x 11a例 5.解不等式 5 4x x2 x分析：解無(wú)理不等式，需要將兩邊平方后去根號(hào)，以化為有理不等式，而根據(jù)不 等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時(shí)為正時(shí)，才不

6、改變不等號(hào)方向，因此應(yīng)根據(jù) 運(yùn)算需求分類討論，對(duì) x 分類。x0解：原不等式等價(jià)于 5 4 x x2 x 02 0 或 22 2 5 4 x x 2 05 4x x2 x 2x0x05 x 1 或5x122140 x 1 或 5 x 0 2原不等式的解集為 x145 x 12例 6. 解關(guān)于 x的不等式： ax2 (a 1)x 1 0x 1 14214 141 x 1誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題，因分析：這是一個(gè)含參數(shù) a 的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二 次項(xiàng)系數(shù) a分類：(1)a0(2)a=0，對(duì)于( 2)，不等式易解；對(duì)于( 1)，又需再次 分類： a>0或 a<0，因?yàn)檫@

7、兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后，又會(huì)遇到 11)當(dāng) a 0時(shí)，原不等式化為 x 1 0 x 1而又需作一次分類討論。故而解題時(shí)，需要作三級(jí)分類。 解：2)當(dāng) a 0時(shí)，原不等式化為 a(x 1)( x 1) 0 a1若 a 0，則原不等式化為 (x 1)(x 1) 0 a1 0 1 1 aa1不等式解為 x 或 x 1a若 a 0，則原不等式化為 (x 1)(x 1) 0 a11i )當(dāng) a 1時(shí)， 1 1，不等式解為 1 x 1 aa1(ii )當(dāng) a 1時(shí)，1，不等式解為 xa(iii )當(dāng) 0 a 1時(shí)， 1 1，不等式解為

8、1 x 1aa1xx1a當(dāng)a 1時(shí)，解集為當(dāng)a 0時(shí)，解集為 xx 1 或 x 1 a當(dāng)0 a 1時(shí)，解集為 x1x1a綜上所述，得原不等式的解集為當(dāng) a 1時(shí)，解集為 ；當(dāng)a 0時(shí)，解集為 x| x 1 ；例 7. 已知等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)之和為Sn ，前 n+1 項(xiàng)之和為 Sn 1，公比 q>0，令Tn SSnn1 ，求 nlim Tn分析：對(duì)于等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn的計(jì)算，需根據(jù) q 是否為 1 分為兩種情形：當(dāng)q = 1時(shí)，Sn na1 ；當(dāng)q 1時(shí)，Sn a1(1 q )1q另外，由于當(dāng) |q| 1時(shí)， nlim qn 0，而已知條件中 q 0故還需對(duì) q 再次分類討論。

9、解： 當(dāng)q 1時(shí)， Sn na1， Sn 1(n 1)a1 nlim Tn nlim nn 1 1n n 1 當(dāng)q 1時(shí)，Sna1(11 qq )，Sn 1a1(1 q )1qTSn1 qnnSn1 n 1 1 q1nqn當(dāng)0 q 1時(shí)，nlim Tn 1；1， (0 q 1)綜上所述，知 nlim Tn1 ，(q 1) qq1 nq q當(dāng) q 1時(shí)，nlim Tn nlim例 8. 設(shè)k R，問(wèn)方程 (8 k) x2 (k 4)y2 (8 k)(k 4)表示什么曲線？分析： 容易想到把方程變形為x y1，但這種變形需要 k 4 ，且k 4 8 kk 8 ，而且 k 4與 8 k的正負(fù)會(huì)引起曲

10、線類型的不同，因此對(duì) k ( ， )要進(jìn)行分類： k ( ，4) ，k 4，k (4，8)，k 8，k (8，)，又注意到k 4 8 k 0與k 4 8 k(k 4 0且8 k 0)表示的曲線是不一樣的，因此還應(yīng)有一個(gè)“分界點(diǎn)”，即 k 6，故恰當(dāng)?shù)姆诸悶?（ ，4），4，（4， 6），6， （6，8），8，（ 8， ）解：（1）當(dāng) k=4時(shí)，方程變?yōu)?4x2=0，即 x=0，表示直線；（2）當(dāng) k=8時(shí)，方程變?yōu)?4y2=0，即 y=0，表示直線；22（3）當(dāng) k 4且k 8時(shí)，原方程變?yōu)?x y 1k 4 8 k（i）當(dāng) k<4時(shí)，方程表示雙曲線； （ii ）當(dāng)4<k<6

11、時(shí)，方程表示橢圓；（iii ）當(dāng) k=6 時(shí)，方程表示圓；（iv ）當(dāng) 6<k<8 時(shí)，方程表示橢圓；（v）當(dāng) k>8 時(shí)，方程表示雙曲線。例 9. 某車間有 10 名工人，其中 4 人僅會(huì)車工， 3 人僅會(huì)鉗工，另外三人車工鉗 工都會(huì)，現(xiàn)需選出 6人完成一件工作，需要車工，鉗工各 3人，問(wèn)有多少種選派方案？分析：如果先考慮鉗工，因有 6 人會(huì)鉗工，故有 C63種選法，但此時(shí)不清楚選出的 鉗工中有幾個(gè)是車鉗工都會(huì)的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會(huì)車工，因此在 選車工時(shí)，就無(wú)法確定是從 7 人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先 考慮車工也會(huì)遇到同樣的問(wèn)題。因此需

12、對(duì)全能工人進(jìn)行分類：（1）選出的 6人中不含全能工人；（2）選出的 6 人中含有一名全能工人； （3）選 出的 6人中含 2名全能工人；（ 4）選出的 6 人中含有 3 名全能工人。解： C43C33C43C31C32C42C31C33C32C31C43C32C41C33C32C42P32C33 C43 C32 C41 C32 C32 C31 42 309或： C33 C73C31C32C63C32C31C53C33C43309三、總結(jié)提煉分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對(duì)于何時(shí)需要分類討論，則要視具體問(wèn)題而定，并無(wú)死的規(guī)定。但可以在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如果對(duì)于某個(gè)研究

13、對(duì)象，若不對(duì)其分類就不能說(shuō)清楚，則應(yīng)分類討論，另外，數(shù) 學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對(duì)于一般情形是正確的，但對(duì)某些特殊情形或說(shuō)較為隱 蔽的“個(gè)別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時(shí)，應(yīng)注意挖 掘這些個(gè)別情形進(jìn)行分類討論。常見(jiàn)的“個(gè)別”情形略舉以下幾例：（1）“方程 ax2 bx c 0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為 “b2 4ac 0”時(shí)忽略了了個(gè)別情形：當(dāng) a=0 時(shí)，方程有解不能轉(zhuǎn)化為 0；（2）等比數(shù)列 a1qn 1 的前 n項(xiàng)和公式 Sn a1（1 q ） 中有個(gè)別情形： q 1 時(shí)，公1q式不再成立，而是 Sn=na1。（3） 設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為 k，但有個(gè)別情形：

14、當(dāng)直線與 x 軸垂直時(shí)，直線無(wú)斜率，應(yīng)另行考慮。(4) 若直線在兩軸上的截距相等， 常常設(shè)直線方程為 x y 1，但有個(gè)別情形： a=0 aa 時(shí)，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。四、強(qiáng)化練習(xí)： 見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。模擬試題】. 選擇題：1. 若 a 0，且a 1，p loga(a3 a 1)，q log a (a 2 a 1)，則p、q 的大小 關(guān)系為A.C.2.p qB. p qp qD. a 1時(shí)， p q ； 0 a 1時(shí)， p qA.p2B.p2C.p2D.p4)若 A x|x2 (p 2)x 1 0，x R ，且 A R ，則實(shí)數(shù)中的取值范圍是3. 設(shè) A= x|x a 0 ，B x|ax 1

15、0 ，且A B B，則實(shí)數(shù) a的值為 (A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 1， 1或 04. 設(shè) 是 的 次方根，則 2 3 A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 不能確定 已知圓錐的母線為 l ，軸截面頂角為 ，則過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值 為( )A.1l 2 sinB. 1l 2C. l 2 sinD. 以上均不對(duì) 函數(shù) f (x) mx2 (m 3)x 1 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)， 則實(shí)數(shù) m的取值范圍為 A.C.0 ，1填空題 若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為 4 和 2 的矩形，則圓柱的體積是 。 的值為( )A. 1 B. 0C. 7D. 0 或

16、 75. 一條直線過(guò)點(diǎn)( 5，2)，且在 x 軸，y 軸上截距相等，則這直線方程為()A. x y 7 0B. 2x 5y 0C. x y 7 0或 2x 5y 0D. x y 7 0或 2y 5x 0)6. 若 sinx cosx 1，則 sinn x cosn x(n N)的值為 ()10. 若 log a 3 1，則 a 的取值范圍為 。11. 與圓 x2 (y 2)2 1 相切 ，且 在 兩坐 標(biāo)軸上 截距 相等的 直線 方程 為 。12. 在 50 件產(chǎn)品中有 4 件是次品，從中任抽取 5 件，至少有 3 件次品的抽法共有 種(用數(shù)字作答)13. 不等式 3loga x 2 2log

17、a x 1(a 0且a 1) 的解集為 。三. 解答題：14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為 2 3 ，另一雙曲線與此橢圓 有公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)軸小 8，兩曲線的離心率之比為 3： 7，求此橢圓、 雙曲線的方程。15. 設(shè) a>0且 a 1 ，試求使方程 loga(x ak) loga2(x2 a2) 有解的 k 的取值范圍試題答案】. 選擇題1. C 2. D3. D 4. D 5. C6. A7. D2.(p 2)2 4 0， 4 p 0時(shí)， A R ；3.若 B，則 A B B ，此時(shí) a 0若 B ，則 a 0 ， B1，由 A B B知 B A a8.

18、 B提示：1. 欲比較 p、q 的大小，只需先比較 a3 a 1與a2 a 1的大小，再利用 對(duì)數(shù) 函數(shù) 的單 調(diào)性 。而 決定 a3 a 1與a2 a 1 的大 小的 a 值的 分界 點(diǎn)為 使 (a3 a 1)11A，a 0，解得 a 1或 1，故 a 0， 1或 1aa4.由 是 1的 7次方根，可得 7 1；顯然，1是 1的 7次方根，故可能1；若1，則 1若 A ，即0A ，則 p 2 p 0時(shí)， A R02可見(jiàn)當(dāng) 4 p 0或p 0時(shí)， 都有 A R，故選( D) 6160 ，若1 ，則1當(dāng) a=0 時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為y 2x，即 2x 5y 0 ；5當(dāng) a 0 時(shí)，設(shè)直

19、線方程為 x y 1，則求得 a 7 ，方程為 x y 7 0 aa6. 由 sinx cosx 1，得（sin x cosx） 10. 0 a 或 a 1 1，即 sinx cosx 0 當(dāng) sinx 0時(shí)， cosx 1；當(dāng) cosx 0時(shí)， sinx 1， 于是總有 sinn x cosn x 1，故選（ A）7. 當(dāng) 90 時(shí)，最大截面就是軸截面，其面積為 21l2 sin ； 當(dāng) 90 時(shí)，最大截面是兩母線夾角為 90 的截面，其面積為 12l (提示：對(duì) a分： 0 a 1與a 1兩種情況討論) 可見(jiàn)，最大截面積為 1l2或 l2 sin ，故選（ D）2218. 當(dāng) m 0 時(shí)，

20、 f （x） 3x 1，其圖象與 x軸交點(diǎn)為（ 31， 0） 滿足題意3當(dāng) m 0時(shí)，再分 m 0，m 0兩種情形，由題意得m 0 m 00 或 1 解得 0 m 1或 m 0 x1x20m 3 m02m綜上可知， m 0或m 0或 0 m 1， m 1 故選( B)填空題2 2 8（提示：若長(zhǎng)為 4 的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖， ，則 V柱2）11. y3x或y3x或x y (2 2) 0或 x y (2 2) 0 提示：分截距相等均不為 0 與截距相等均為 0 兩種情形） 2 8 ；若1 2 4 長(zhǎng)為 2 的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，則 V柱）2 4 ）12. 4186 種（提示：對(duì)抽

21、取 5件產(chǎn)品中的次品分類討論： （1）抽取的 5件產(chǎn)品中恰好有 3件 次品；（2）抽取的 5件產(chǎn)品中恰好有 4件次品，于是列式如下： C43 C426 C44 C416 =4140+46=4186)2313. 若 a 1 ，則解集為xa3 x a 4或x a32若 0 a 1 ，則解集為 xa4 x a3或 0 x a(提示：設(shè) loga x t，則原不等式可簡(jiǎn)化為 3t 2 2t 1232 3解之得 t或t 1，即loga x或loga x 1343a 4a23對(duì) a 分類： a 1 時(shí)， a 3 x a4 或x a；230 a 1時(shí)， a 3 x a 4 或 0 x a ) 三. 解答題c c' 13a7b6a' 3b' 22 2 2 22 2 2 a b c2 2 2 '2 c'2 b'22a' 8 2ac c' 3 ：a'兩曲線方程分別為 * x y 1， x y49 36 9 4（ 2）若焦點(diǎn)在 y 軸上，則可設(shè)橢圓方程為22ay2 bx2 1(a b 0)雙曲線方程為a'22x2 1(a' 0， b' 0) b'2，依題意有14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，可設(shè)它們方程分別為c c' 132 2 2 cab222 c&