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文檔簡介

1、第 6 講 分類討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合1. 分類討論是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數(shù)學(xué)思想,這種思想對于簡化 研究對象,發(fā)展人的思維有著重要幫助,因此,有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題 中占有重要位置。2. 所謂分類討論,就是當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對 象按某個標準分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得 到整個問題的解答。實質(zhì)上,分類討論是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數(shù) 學(xué)策略。3. 分類原則:分類對象確定,標準統(tǒng)一,不重復(fù),不遺漏,分層次,不越級討論。4. 分類方法:明確討論對象,確定對象的全體,確定分類標準,正確進行分

2、類; 逐類進行討論,獲取階段性成果;歸納小結(jié),綜合出結(jié)論。5. 含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。6. 注意簡化或避免分類討論。二、例題分析例 1. 一條直線過點 ( 5,2),且在 x 軸,y 軸上截距相等, 則這直線方程為 ( )A.xy70B.2x 5y 0C.x y 7 0或 2x 5y 0D.x y 7 0或 2y 5x 0分析:設(shè)該直線在 x 軸,y 軸上的截距均為 a,2當(dāng) a=0時,直線過原點,此時直線方程為 y 2 *x,即 2x 5y 0;5當(dāng) a 0 時,設(shè)直線方程為 x y 1,則求得 a 7 ,方程為 x y 7 0 。 aa15例 2 ABC中,已知 sin A 1

3、, cosB 5 ,求 cosC2 13分析: 由于C(A B) cosC cos(A B)cos A cosB sinA sinB因此,只要根據(jù)已知條件,求出 cosA,sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求 cosA時,是一解還是兩解?這一點需經(jīng)過討論才能確定,故解本題時要分類討論。對 角 A 進行分類。0 cosB513且 B為 ABC 的一個內(nèi)角45 B 90 ,12且 sin B 12131若A為鈍角,由 sinA 1,得A 150 ,此時 A B 1802這與三角形的內(nèi)角和為 180°相矛盾。 可見 A 150cosC cos (A B) cos(A B)

4、3 5 1 1212 5 32 13 2 1326cosA cosB sin A sinB例 3. 已知圓 x2+y2=4,求經(jīng)過點 P( 2,4),且與圓相切的直線方程。分析: 容易想到設(shè)出直線的點斜式方程 y-4=k(x-2) 再利用直線與圓相切的充要條 件:“圓心到切線的距離等于圓的半徑” ,待定斜率 k,從而得到所求直線方程,但要 注意到:過點 P 的直線中,有斜率不存在的情形, 這種情形的直線是否也滿足題意呢? 因此本題對過點 P的直線分兩種情形:( 1)斜率存在時,( 2)斜率不存在解(略):所求直線方程為 3x-4y+10=0 或 x=21例 4. 解關(guān)于 x的不等式: log

5、a(1 1) 1x 分析:解對數(shù)不等式時,需要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,把不等式轉(zhuǎn)化為不含對數(shù) 符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù) a 的取值不同而不同,故需對 a 進行分類 討論。11解: 若 a> 1,則原不等式等價于 1 1 a 1 x 0 x 1 a若 0 a 1,則原不等式等價于110 x1 1x1 1 a1ax綜上所述,當(dāng) a 1時,原不等式的解集為 x 1 x 0 ;1a當(dāng) 0 a 1時,原不等式的解集為x1 x 11a例 5.解不等式 5 4x x2 x分析:解無理不等式,需要將兩邊平方后去根號,以化為有理不等式,而根據(jù)不 等式的性質(zhì)可知,只有在不等式兩邊同時為正時,才不

6、改變不等號方向,因此應(yīng)根據(jù) 運算需求分類討論,對 x 分類。x0解:原不等式等價于 5 4 x x2 x 02 0 或 22 2 5 4 x x 2 05 4x x2 x 2x0x05 x 1 或5x122140 x 1 或 5 x 0 2原不等式的解集為 x145 x 12例 6. 解關(guān)于 x的不等式: ax2 (a 1)x 1 0x 1 14214 141 x 1誰大誰小的問題,因分析:這是一個含參數(shù) a 的不等式,一定是二次不等式嗎?不一定,故首先對二 次項系數(shù) a分類:(1)a0(2)a=0,對于( 2),不等式易解;對于( 1),又需再次 分類: a>0或 a<0,因為這

7、兩種情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在兩根之外,還是在兩根之間。而確定這一點之后,又會遇到 11)當(dāng) a 0時,原不等式化為 x 1 0 x 1而又需作一次分類討論。故而解題時,需要作三級分類。 解:2)當(dāng) a 0時,原不等式化為 a(x 1)( x 1) 0 a1若 a 0,則原不等式化為 (x 1)(x 1) 0 a1 0 1 1 aa1不等式解為 x 或 x 1a若 a 0,則原不等式化為 (x 1)(x 1) 0 a11i )當(dāng) a 1時, 1 1,不等式解為 1 x 1 aa1(ii )當(dāng) a 1時,1,不等式解為 xa(iii )當(dāng) 0 a 1時, 1 1,不等式解為

8、1 x 1aa1xx1a當(dāng)a 1時,解集為當(dāng)a 0時,解集為 xx 1 或 x 1 a當(dāng)0 a 1時,解集為 x1x1a綜上所述,得原不等式的解集為當(dāng) a 1時,解集為 ;當(dāng)a 0時,解集為 x| x 1 ;例 7. 已知等比數(shù)列的前 n 項之和為Sn ,前 n+1 項之和為 Sn 1,公比 q>0,令Tn SSnn1 ,求 nlim Tn分析:對于等比數(shù)列的前 n 項和 Sn的計算,需根據(jù) q 是否為 1 分為兩種情形:當(dāng)q = 1時,Sn na1 ;當(dāng)q 1時,Sn a1(1 q )1q另外,由于當(dāng) |q| 1時, nlim qn 0,而已知條件中 q 0故還需對 q 再次分類討論。

9、解: 當(dāng)q 1時, Sn na1, Sn 1(n 1)a1 nlim Tn nlim nn 1 1n n 1 當(dāng)q 1時,Sna1(11 qq ),Sn 1a1(1 q )1qTSn1 qnnSn1 n 1 1 q1nqn當(dāng)0 q 1時,nlim Tn 1;1, (0 q 1)綜上所述,知 nlim Tn1 ,(q 1) qq1 nq q當(dāng) q 1時,nlim Tn nlim例 8. 設(shè)k R,問方程 (8 k) x2 (k 4)y2 (8 k)(k 4)表示什么曲線?分析: 容易想到把方程變形為x y1,但這種變形需要 k 4 ,且k 4 8 kk 8 ,而且 k 4與 8 k的正負會引起曲

10、線類型的不同,因此對 k ( , )要進行分類: k ( ,4) ,k 4,k (4,8),k 8,k (8,),又注意到k 4 8 k 0與k 4 8 k(k 4 0且8 k 0)表示的曲線是不一樣的,因此還應(yīng)有一個“分界點”,即 k 6,故恰當(dāng)?shù)姆诸悶?( ,4),4,(4, 6),6, (6,8),8,( 8, )解:(1)當(dāng) k=4時,方程變?yōu)?4x2=0,即 x=0,表示直線;(2)當(dāng) k=8時,方程變?yōu)?4y2=0,即 y=0,表示直線;22(3)當(dāng) k 4且k 8時,原方程變?yōu)?x y 1k 4 8 k(i)當(dāng) k<4時,方程表示雙曲線; (ii )當(dāng)4<k<6

11、時,方程表示橢圓;(iii )當(dāng) k=6 時,方程表示圓;(iv )當(dāng) 6<k<8 時,方程表示橢圓;(v)當(dāng) k>8 時,方程表示雙曲線。例 9. 某車間有 10 名工人,其中 4 人僅會車工, 3 人僅會鉗工,另外三人車工鉗 工都會,現(xiàn)需選出 6人完成一件工作,需要車工,鉗工各 3人,問有多少種選派方案?分析:如果先考慮鉗工,因有 6 人會鉗工,故有 C63種選法,但此時不清楚選出的 鉗工中有幾個是車鉗工都會的,因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工,因此在 選車工時,就無法確定是從 7 人中選,還是從六人、五人或四人中選。同樣,如果先 考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需

12、對全能工人進行分類:(1)選出的 6人中不含全能工人;(2)選出的 6 人中含有一名全能工人; (3)選 出的 6人中含 2名全能工人;( 4)選出的 6 人中含有 3 名全能工人。解: C43C33C43C31C32C42C31C33C32C31C43C32C41C33C32C42P32C33 C43 C32 C41 C32 C32 C31 42 309或: C33 C73C31C32C63C32C31C53C33C43309三、總結(jié)提煉分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,是一種數(shù)學(xué)解題策略,對于何時需要分類討論,則要視具體問題而定,并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗。如果對于某個研究

13、對象,若不對其分類就不能說清楚,則應(yīng)分類討論,另外,數(shù) 學(xué)中的一些結(jié)論,公式、方法對于一般情形是正確的,但對某些特殊情形或說較為隱 蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因,因此在解題時,應(yīng)注意挖 掘這些個別情形進行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例:(1)“方程 ax2 bx c 0有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為 “b2 4ac 0”時忽略了了個別情形:當(dāng) a=0 時,方程有解不能轉(zhuǎn)化為 0;(2)等比數(shù)列 a1qn 1 的前 n項和公式 Sn a1(1 q ) 中有個別情形: q 1 時,公1q式不再成立,而是 Sn=na1。(3) 設(shè)直線方程時,一般可設(shè)直線的斜率為 k,但有個別情形:

14、當(dāng)直線與 x 軸垂直時,直線無斜率,應(yīng)另行考慮。(4) 若直線在兩軸上的截距相等, 常常設(shè)直線方程為 x y 1,但有個別情形: a=0 aa 時,再不能如此設(shè),應(yīng)另行考慮。四、強化練習(xí): 見優(yōu)化設(shè)計。模擬試題】. 選擇題:1. 若 a 0,且a 1,p loga(a3 a 1),q log a (a 2 a 1),則p、q 的大小 關(guān)系為A.C.2.p qB. p qp qD. a 1時, p q ; 0 a 1時, p qA.p2B.p2C.p2D.p4)若 A x|x2 (p 2)x 1 0,x R ,且 A R ,則實數(shù)中的取值范圍是3. 設(shè) A= x|x a 0 ,B x|ax 1

15、0 ,且A B B,則實數(shù) a的值為 (A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 1, 1或 04. 設(shè) 是 的 次方根,則 2 3 A. 1 B. 1 C. 1或 1 D. 不能確定 已知圓錐的母線為 l ,軸截面頂角為 ,則過此圓錐的頂點的截面面積的最大值 為( )A.1l 2 sinB. 1l 2C. l 2 sinD. 以上均不對 函數(shù) f (x) mx2 (m 3)x 1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側(cè), 則實數(shù) m的取值范圍為 A.C.0 ,1填空題 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為 4 和 2 的矩形,則圓柱的體積是 。 的值為( )A. 1 B. 0C. 7D. 0 或

16、 75. 一條直線過點( 5,2),且在 x 軸,y 軸上截距相等,則這直線方程為()A. x y 7 0B. 2x 5y 0C. x y 7 0或 2x 5y 0D. x y 7 0或 2y 5x 0)6. 若 sinx cosx 1,則 sinn x cosn x(n N)的值為 ()10. 若 log a 3 1,則 a 的取值范圍為 。11. 與圓 x2 (y 2)2 1 相切 ,且 在 兩坐 標軸上 截距 相等的 直線 方程 為 。12. 在 50 件產(chǎn)品中有 4 件是次品,從中任抽取 5 件,至少有 3 件次品的抽法共有 種(用數(shù)字作答)13. 不等式 3loga x 2 2log

17、a x 1(a 0且a 1) 的解集為 。三. 解答題:14. 已知橢圓的中心在原點,集點在坐標軸上,焦距為 2 3 ,另一雙曲線與此橢圓 有公共焦點,且其實軸比橢圓的長軸小 8,兩曲線的離心率之比為 3: 7,求此橢圓、 雙曲線的方程。15. 設(shè) a>0且 a 1 ,試求使方程 loga(x ak) loga2(x2 a2) 有解的 k 的取值范圍試題答案】. 選擇題1. C 2. D3. D 4. D 5. C6. A7. D2.(p 2)2 4 0, 4 p 0時, A R ;3.若 B,則 A B B ,此時 a 0若 B ,則 a 0 , B1,由 A B B知 B A a8.

18、 B提示:1. 欲比較 p、q 的大小,只需先比較 a3 a 1與a2 a 1的大小,再利用 對數(shù) 函數(shù) 的單 調(diào)性 。而 決定 a3 a 1與a2 a 1 的大 小的 a 值的 分界 點為 使 (a3 a 1)11A,a 0,解得 a 1或 1,故 a 0, 1或 1aa4.由 是 1的 7次方根,可得 7 1;顯然,1是 1的 7次方根,故可能1;若1,則 1若 A ,即0A ,則 p 2 p 0時, A R02可見當(dāng) 4 p 0或p 0時, 都有 A R,故選( D) 6160 ,若1 ,則1當(dāng) a=0 時,直線過原點,此時直線方程為y 2x,即 2x 5y 0 ;5當(dāng) a 0 時,設(shè)直

19、線方程為 x y 1,則求得 a 7 ,方程為 x y 7 0 aa6. 由 sinx cosx 1,得(sin x cosx) 10. 0 a 或 a 1 1,即 sinx cosx 0 當(dāng) sinx 0時, cosx 1;當(dāng) cosx 0時, sinx 1, 于是總有 sinn x cosn x 1,故選( A)7. 當(dāng) 90 時,最大截面就是軸截面,其面積為 21l2 sin ; 當(dāng) 90 時,最大截面是兩母線夾角為 90 的截面,其面積為 12l (提示:對 a分: 0 a 1與a 1兩種情況討論) 可見,最大截面積為 1l2或 l2 sin ,故選( D)2218. 當(dāng) m 0 時,

20、 f (x) 3x 1,其圖象與 x軸交點為( 31, 0) 滿足題意3當(dāng) m 0時,再分 m 0,m 0兩種情形,由題意得m 0 m 00 或 1 解得 0 m 1或 m 0 x1x20m 3 m02m綜上可知, m 0或m 0或 0 m 1, m 1 故選( B)填空題2 2 8(提示:若長為 4 的邊作為圓柱底面圓周的展開圖, ,則 V柱2)11. y3x或y3x或x y (2 2) 0或 x y (2 2) 0 提示:分截距相等均不為 0 與截距相等均為 0 兩種情形) 2 8 ;若1 2 4 長為 2 的邊作為圓柱底面圓周的展開圖,則 V柱)2 4 )12. 4186 種(提示:對抽

21、取 5件產(chǎn)品中的次品分類討論: (1)抽取的 5件產(chǎn)品中恰好有 3件 次品;(2)抽取的 5件產(chǎn)品中恰好有 4件次品,于是列式如下: C43 C426 C44 C416 =4140+46=4186)2313. 若 a 1 ,則解集為xa3 x a 4或x a32若 0 a 1 ,則解集為 xa4 x a3或 0 x a(提示:設(shè) loga x t,則原不等式可簡化為 3t 2 2t 1232 3解之得 t或t 1,即loga x或loga x 1343a 4a23對 a 分類: a 1 時, a 3 x a4 或x a;230 a 1時, a 3 x a 4 或 0 x a ) 三. 解答題c c' 13a7b6a' 3b' 22 2 2 22 2 2 a b c2 2 2 '2 c'2 b'22a' 8 2ac c' 3 :a'兩曲線方程分別為 * x y 1, x y49 36 9 4( 2)若焦點在 y 軸上,則可設(shè)橢圓方程為22ay2 bx2 1(a b 0)雙曲線方程為a'22x2 1(a' 0, b' 0) b'2,依題意有14. 解:(1)若橢圓與雙曲線的焦點在 x 軸上,可設(shè)它們方程分別為c c' 132 2 2 cab222 c&

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