第八章第1-2節(jié)二元一次方程組;二元一次方程組的解法一

1、第八章第1-2節(jié)二元一次方程組；二元一次方程組的解法一課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 了解二元一次方程組及其相關(guān)概念，能設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列方程組表示實(shí)際問題中兩種相關(guān)的等量關(guān)系； 2. 掌握用代入法解二元一次方程組，體會(huì)“消元”思想。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：二元一次方程組的有關(guān)概念及用代入法解二元一次方程組。難點(diǎn)：消元思想在解方程組中的運(yùn)用。三、考點(diǎn)分析：二元一次方程組的有關(guān)概念與多項(xiàng)式等有關(guān)內(nèi)容綜合出題是中考的常見題型，二元一次方程組的解法一般融于實(shí)際問題或其他知識(shí)中，多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大。知識(shí)梳理 1、二元一次方程（1）二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)（x和y），并且含有未知數(shù)的項(xiàng)

2、的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。如2x3y15，5x10 y等。注意：在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中只有兩個(gè)未知數(shù)。含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1，不可理解為兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1。如4xy的次數(shù)是2，所以方程4xy90不是二元一次方程。二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式，例如方程y7的左邊不是整式，它就不是二元一次方程。（2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。注意：一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)多個(gè)解，但如果對其未知數(shù)的取值附加某些限制條件，那么也可能只有有限個(gè)解。二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對

3、數(shù)值，而不是一個(gè)。 2、二元一次方程組（1）二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。注意：組成方程組的各方程不必都同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，只要共含兩個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一次方程組成的一組方程都是二元一次方程組。方程組各方程中同一個(gè)字母必須代表同一個(gè)量，否則不能將兩個(gè)方程合在一起。（2）二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。注意：方程組的解必須滿足方程組中的各個(gè)方程，而方程組中某一個(gè)方程的一個(gè)解不一定是方程組的解。在同一方程組中，各個(gè)相同未知數(shù)應(yīng)取相同的值。 3、二元一次方程組的解法（1）消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，

4、如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，就可以先解出一個(gè)未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個(gè)未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。（2）代入消元法：二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程中，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。注意：用代入法解題時(shí)，先比較兩個(gè)方程的特點(diǎn)，選出一個(gè)系數(shù)較簡單的方程，并用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)。代入時(shí)，不要將變形后的方程代入變形前的那個(gè)方程中，否則，只能得到一個(gè)恒等式，而解不出方程。當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)的值后，通常把這個(gè)值代入用這個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的那個(gè)方程

5、中，去求另一個(gè)未知數(shù)的值；它遠(yuǎn)比把這個(gè)值代入原方程組中任意一個(gè)方程去求另一個(gè)未知數(shù)的值要簡便得多。典型例題知識(shí)點(diǎn)一：二元一次方程組 例1：下列方程是不是二元一次方程，為什么？2xy1；xy20；yz4；yz；5x2y；2y3；xyz6。思路分析：1）題意分析：本題考查二元一次方程的定義。2）解題思路：根據(jù)二元一次方程的定義判斷。解答過程：2xy1是二元一次方程；xy20中y2是二次項(xiàng)，所以它不是二元一次方程；yz4是二元一次方程；yz中yz項(xiàng)是二次項(xiàng)，所以它不是二元一次方程；5x2y是代數(shù)式，不是方程，當(dāng)然也不是二元一次方程；2y3的左邊不是整式，所以不是二元一次方程；xyz6含有三個(gè)未知數(shù)，

6、所以它不是二元一次方程。解題后的思考：任何一個(gè)二元一次方程經(jīng)過整理、化簡后都可化成axbyc0（a、b、c為常數(shù)，a0，b0）的形式，這種形式叫做二元一次方程的一般形式。一般地，整式方程都是用“元”和“次”來定義。例2：已知是方程組的解，求mn的值。思路分析：1）題意分析：本題考查方程組的解的定義。2）解題思路：因?yàn)槭欠匠探M的解，所以同時(shí)滿足方程和方程，將分別代入方程和方程，可得由和可求出m、n的值。解答過程：因?yàn)槭欠匠探M的解，所以將其代入原方程組中的兩個(gè)方程仍成立，即解得所以mn101。解題后的思考：應(yīng)該仔細(xì)體會(huì)“已知方程組的解是”這類已知條件的用法，并加深理解方程組的解的意義。 例3：寫出

7、二元一次方程4xy20的所有正整數(shù)解。思路分析：1）題意分析：一般地，二元一次方程的解有無數(shù)組，但正整數(shù)解是有限的。2）解題思路：為了求解方便，先將原方程變形為y204x，由于題中所要求的解限定于“正整數(shù)解”，所以x和y的值都必須是正整數(shù)。解答過程：將原方程變形，得y204x，因?yàn)閤、y均為正整數(shù)，所以x只能取小于5的正整數(shù)。當(dāng)x1時(shí)，y16；當(dāng)x2時(shí)，y12；當(dāng)x3時(shí)，y8；當(dāng)x4時(shí)，y4。即4xy20的所有正整數(shù)解是：，。解題后的思考：對“所有正整數(shù)解”的含義的理解要注意兩點(diǎn)：一要范圍正確，二要不重不漏?！罢_”的標(biāo)準(zhǔn)是兩個(gè)未知數(shù)的值都必須是正整數(shù)，且適合此方程。 例4：一輛汽車從甲地到乙

8、地，若以60km/h的速度行駛，比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)，若以40km/h的速度行駛，則超出預(yù)計(jì)時(shí)間1小時(shí)，求甲、乙兩地的距離和預(yù)計(jì)時(shí)間。思路分析：1）題意分析：把預(yù)計(jì)時(shí)間設(shè)為x h，甲、乙兩地的距離設(shè)為y km，相等關(guān)系是：路程速度×時(shí)間。2）解題思路：解本題的關(guān)鍵是弄清兩個(gè)時(shí)間，即（x1）h與（x1）h，可列兩個(gè)方程組成方程組。解答過程：設(shè)預(yù)計(jì)時(shí)間為x h，甲、乙兩地的距離為y km， 則可列方程組。所以60（x1）40（x1）。解得x5（h），所以y60×（51）240（km）。答：預(yù)計(jì)時(shí)間為5h，甲、乙兩地的距離為240km。解題后的思考：解決此類題時(shí)先要認(rèn)真分析題意，

9、再弄清每一句話、每一個(gè)條件，最后從中找出正確的等量關(guān)系列出方程。小結(jié)：與二元一次方程及二元一次方程組定義有關(guān)的問題主要有兩類：一是通過把一組未知數(shù)的值代入方程組，檢驗(yàn)其是不是方程組的解，或求出方程組中字母系數(shù)的值；二是求二元一次方程在特定條件下的解。知識(shí)點(diǎn)二：用代入消元法解二元一次方程組 例5：用代入法解方程組。思路分析：1）題意分析：本題考查用代入消元法解方程組，觀察發(fā)現(xiàn)方程中x的系數(shù)最簡單，是1。2）解題思路：要考慮將一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，方程中x的系數(shù)是1，因此可將方程變形，用含y的代數(shù)式表示x，再代入中求解。解答過程：由得：x83y 把代入得：2（83y）

10、5y21解得：y37把y37代入得：x83×37103所以這個(gè)方程組的解是。解題后的思考：用代入法解方程組時(shí)，一般選擇系數(shù)較簡單的方程進(jìn)行變形，在本例中是方程。求出一個(gè)未知數(shù)的值以后，求另一個(gè)未知數(shù)時(shí)，通常將值代入變形后的方程中，在本例中是方程。例6：用代入法解方程組：思路分析：1）題意分析：這兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)都不是1或1，但比較而言，方程的系數(shù)較為簡單。2）解題思路：選擇其中一個(gè)方程，將其變形成yaxb或xayb的形式，再代入另一個(gè)方程求解。方程中x、y的系數(shù)相對較小，考慮到x3y，而y，顯然在接下來的計(jì)算中將x3y代入方程計(jì)算較簡捷。解答過程：由得：x3y 把代入得：8（3

11、y）3y10解得：y125將y125代入，得：x47所以這個(gè)方程組的解為解題后的思考：用代入法解方程組時(shí)，（1）選擇變形的方程要盡可能簡單，表示的代數(shù)式也應(yīng)盡可能簡捷。（2）要對后面的計(jì)算進(jìn)行預(yù)見、估計(jì)，以選擇較好的方法。 例7：用代入法解方程組。思路分析：1）題意分析：這個(gè)方程組中兩個(gè)方程的各項(xiàng)都含有分母，應(yīng)先去分母，再求解。2）解題思路：當(dāng)二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)不是整數(shù)，要求我們用代入法求解時(shí)，通常應(yīng)先將方程中的系數(shù)化為整數(shù)，后求解。解答過程：原方程組化簡得。由得：x13y 將代入得：4（13y）3y18解得y6，把y6代入，得x9所以，原方程組的解為。解題后的思考：方程組中的方程不

12、是最簡方程的，最好是先將其化成最簡方程，再求解。 例8：解方程組的最好辦法是（ ）A. 由得m，再代入B. 由得m，再代入C. 由得3m4n7，再代入D. 由得9m10n3，再代入思路分析：1）題意分析：本題考查用代入法求解時(shí)方程變形和代入的技巧。2）解題思路：選項(xiàng)A、B都帶有分?jǐn)?shù)計(jì)算，D代入時(shí)9m不能取代3m，需除以3，也帶有分?jǐn)?shù)計(jì)算，而C的代入只需在方程兩邊乘3，即9m12n21，后代入即可。可見方法C最簡捷，最好計(jì)算，應(yīng)選C。解答過程：C解題后的思考：系數(shù)存在整數(shù)倍數(shù)關(guān)系時(shí)，用代入法求解可先將整數(shù)倍數(shù)關(guān)系系數(shù)中較小的一個(gè)變形，再用含另一個(gè)字母的代數(shù)式表示它，之后代入另一方程中。小結(jié)：用代

13、入法解方程組的步驟：選取一個(gè)系數(shù)較簡單的二元一次方程變形，用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；將變形后的方程代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（在代入時(shí)，要注意不能代入原方程，只能代入另一個(gè)沒有變形的方程中，以達(dá)到消元的目的。）；解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值；將求得的未知數(shù)的值代入式變形后的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解；最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，看方程是否滿足左邊右邊）。提分技巧 1. 二元一次方程應(yīng)滿足的條件：是方程；含兩個(gè)未知數(shù)；含未知數(shù)的式子是整式；含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1。 2. 用代入

14、消元思想解題的注意事項(xiàng)：代入消元的最終目的是通過代入消去一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在這個(gè)過程中需要把一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，我們通常選擇系數(shù)較簡單的（如1或1）或后續(xù)計(jì)算較簡捷的變形方式。如果某個(gè)方程能以整體的形式代入另一方程中，那就不必用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)了。如中，把3m看成整體，以3m4n7代入。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)二元一次方程組的解法二（8.2）一、預(yù)習(xí)新知用加減消元法解二元一次方程組二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥探究與反思探究任務(wù)一：用加減消元法解二元一次方程組【反思】（1）什么是加減消元法？ （2）什么樣的方程組適合用加減消元法來解？探究任務(wù)二：代入法和加減法的比較【反思】（1）從

15、解方程組的思想來講，代入法和加減法的共同點(diǎn)是什么？ （2）如何根據(jù)方程組的具體情況選擇合適的解法？同步練習(xí)（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題。1. 在方程x2y1，2x15x，xy23，x4中，是二元一次方程的有（ ）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)2. 下列各對數(shù)值中，哪一個(gè)不是二元一次方程x2y2的解（ ）A. B. C. D. *3. 用代入法解方程組，正確的解法是（ ）A. 先將變形為x，再代入B. 先將變形為y，再代入C. 先將變形為xy1，再代入D. 先將變形為y9（4x1），再代入4. 若mxy1是關(guān)于x、y的二元一次方程，那么m的值應(yīng)是（ ）A. m0B. m0C. m是

16、正有理數(shù)D. m是負(fù)有理數(shù)*5. 已知二元一次方程組的解為xa，yb，則ab等于（ ）A. 1B. 11C. 13D. 16*6、若二元一次方程3x2y1有正整數(shù)解，則x的取值應(yīng)為（ ）A. 正奇數(shù)B. 正偶數(shù)C. 正奇數(shù)或正偶數(shù)D. 0*7. 方程組的解有（ ）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 無數(shù)個(gè)*8. 我國民間流傳著許多有趣的數(shù)學(xué)題，令人耳目一新，你能解決“雞兔同籠”問題嗎？“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”設(shè)雞為x只，兔為y只，則可列方程組（ ）A. B. C. D. 二、填空題。9. 方程4（3xy）x3y，用含x的代數(shù)式表示y，則y_。10. 用代入法

17、解方程組，最好是先把方程_變形為_，再代入方程_求得_的值，最后再求_的值，寫出方程組的解。11. 方程x2y7有_個(gè)解，正整數(shù)解是_。12. 已知（x3）22x3y70，則x_，y_。13. 買12支鉛筆和5本練習(xí)本，其中鉛筆每支x元，練習(xí)本每本y元，共需用4.9元。（1）列出關(guān)于x、y的二元一次方程為_；（2）若再買同樣的鉛筆6支和同樣的練習(xí)本2本，價(jià)錢是2.2元，列出關(guān)于x、y的二元一次方程為_；（3）若鉛筆每支0.2元，則練習(xí)本每本_元。*14. 已知是方程組的解，那么m_，n_。三、解答題。*15. 解下列方程組：（1）；（2）；（3）；（4）。*16. 若7a2x8b與5a2xb3

18、xy4是同類項(xiàng)，求y2x的值。*17. 如果方程4x2y7的一個(gè)解是，求a的值。*18. 當(dāng)x是不大于5的正整數(shù)時(shí)，求方程2xy10的解。四、拓廣探索。*19. 已知ykxb，當(dāng)x1時(shí)，y2，當(dāng)x1時(shí)，y2，求當(dāng)x2時(shí)，y的值。試題答案一、選擇題：1. A 2. D3. B 解析：注意本題要求選擇正確解法，而不是最佳解法。4. A5. B 解析：原方程變形為，解得，所以ab11。6. A 解析：原方程可變形為3x2y1，因?yàn)樵匠逃姓麛?shù)解，所以2y必是正偶數(shù)，2y1必是正奇數(shù)，只有當(dāng)x為正奇數(shù)時(shí)，3x才是正奇數(shù)，此時(shí)x的取值應(yīng)為正奇數(shù)，故選A。7. D 解析：第2個(gè)方程2x2y10兩邊同除以2得xy5，與第1個(gè)方程相同。所以這個(gè)方程組實(shí)際上是一個(gè)二元一次方程，故有無數(shù)個(gè)解。8. D 解析：注意雞有2只腳，兔有4只腳。二、填空題：9. 11x 10. x2y4， y，x11. 無數(shù)，、 12. 3，1