帶子纏繞包扎圓柱形管道模型處理

1、浙江師范大學(xué)首屆數(shù)學(xué)建模競賽一等獎參賽小組負(fù)責(zé)人 :劉海華組員:黃敏組員:陳斌學(xué)院:生命與環(huán)境科學(xué)學(xué)院系別與 班級 :生物科學(xué)012 班主辦：浙師范師范大學(xué)團(tuán)委承辦：數(shù)理信息工程學(xué)院0模型一 21#模型二-UH- n-pH 'yiI J I. / rnUUIBBlIBBIt模型分析 6帶子纏繞包扎圓柱形管道模型處理摘 要討論了幾種帶子纏繞包扎圓柱形管道的模型，并經(jīng)分析比較擇優(yōu)處理后，確認(rèn)出最佳模型。問題的提出用寬度為0.3的帶子纏繞包扎圓柱形管道，管道長30m，截面周長為 0.5m。（1） 如果用帶子全部包住管道，最少要用多長的帶子，請你給出計(jì)算這個最小長度的公式，并且依次計(jì)算出所需長

2、度數(shù)值。（2）現(xiàn)有一條長度為51m的帶子，想將這條帶子全部用于纏繞包扎這個管 道，可以使帶子的接縫處重疊瘩接。請你給出用這條帶子纏繞包扎這個管 道的方案。（計(jì)算結(jié)果精確到 0.001m）在現(xiàn)代社會，隨著科技的發(fā)展，產(chǎn)品的包裝的重要性甚至可以與產(chǎn)品的質(zhì)量 相抗衡，一些圓柱形產(chǎn)品的包裝曾經(jīng)困繞了不少人，在產(chǎn)品質(zhì)量相同的情況下，如 何讓外表既美觀有省材成為競爭的關(guān)鍵，在此，我們以帶子殘纏繞包扎圓柱形管道 問題為例進(jìn)行討論幾種處理模型問題的分析不同類型的包扎有不同的特點(diǎn)，在此不贅述，而是先按題目的要求假設(shè)幾種 模型，在分析問題的過程中，不可能通過一次假設(shè)就建立起完善的數(shù)學(xué)模型因此， 我有如下思路：先做

3、簡單的假設(shè)，對結(jié)果進(jìn)行分析，針對結(jié)果不合理之處，逐步進(jìn) 行修改，最終得到較好的模型。#模型一縱向纏繞包扎模型模型假設(shè)在研究建立模型時，需要作一些假設(shè)，目的是使模型簡單、利于理解、便于計(jì)算， 為此我們考慮四種費(fèi)用，即剪切費(fèi)用、粘貼費(fèi)用、纏繞費(fèi)用和帶子總費(fèi)用，歸納假設(shè)條 件如下：（1）帶子可以根據(jù)需要任意剪切（2）剪切費(fèi)用為a元/m（3）粘貼費(fèi)用為b元/m2（4）螺型纏繞費(fèi)用為 c元/m2（5）帶子價格d元/m2（6）由于切過程需要精確測量計(jì)算因此耗費(fèi)較大粘貼過程要用粘貼劑也許花費(fèi)較大成本而且為了保證粘貼效果要精細(xì)的勞動，而纏繞則較為簡單因此可以作如下近似估計(jì)：da b>> c模型構(gòu)建

4、和求解將帶子均分為兩段用以包住圓柱即：縱向包扎模型如圖（1）設(shè)：帶長為L,帶寬為i,管長為N,管道橫切面周長為 n,帶子面積 管道側(cè)面積S2要使帶子能完全纏繞包扎住管道貝si > S即 L Xi > NXn所以 L > NXn/i=30 X5/0.3=50m取一根長為m的帶子分兩段同為25m將圓柱側(cè)面貼滿1則 先轉(zhuǎn)化為將圓柱側(cè)面展開圖貼滿如圖（2）陰影部分GHIJ即是重疊部分剪下來再分段貼滿BCFE區(qū)域從矩形IJHG和矩形BCFE邊長關(guān)系看可將矩形剪成5段圖（1）每段長5m寬0.1m由于矩形長 BCFE5m寬0.5m因此五段恰好貼滿矩形BCFE設(shè)模型總耗費(fèi)是Y經(jīng)計(jì)算，剪切總長

5、度P=0.3+25+4 X.1=25.7m2粘貼總面積 q= S2=15m螺旋纏繞面積 K=02帶子面積S1=15m所以，丫1=25.7a+15b+15d .（A現(xiàn)所給帶子長為 51m 即賦值于L=51mDFC用與上述同樣方法即有如圖所示展開圖 陰影部分是帶子重疊部分陰影部分面積 S3=51 X0.3-50 0.3=0.3m2 經(jīng)計(jì)算剪切總長：粘貼總面積：螺旋纏繞總面積：帶子總面積：p=0.3+2505+4X0.1=26.2m2q=S2=51 X0.3=15.3mk=02S1=51 X0.3=15.3m在此模型下L=51時的總費(fèi)用:y1=26.2a+15.3b+15.3d圖(a1)模型二橫向纏

6、繞包扎模型模型假設(shè)：在研究建立模型時，需要作一些假設(shè)，目的是使模型簡單、利于理解、便于計(jì)算，為此我 們考慮四種費(fèi)用，即剪切費(fèi)用、粘貼費(fèi)用、纏繞費(fèi)用和帶子總費(fèi)用，歸納假設(shè)條件如下：(1) 帶子可以根據(jù)需要任意剪切(2) 帶子價格d元/m2(3) 剪切費(fèi)用a元/m(4) 粘貼費(fèi)用b元/m2(5) 螺旋纏繞費(fèi)用c元/m2(6) 由于剪切過程需要精確測量計(jì)算因此耗費(fèi)較大粘貼過程要用粘貼劑也許花費(fèi)較大成本而且為了保證粘貼效果要精細(xì)的勞動，而纏繞則較為簡單因此可以作如下近似估計(jì)：dab>> c構(gòu)模與求解：將帶子剪成多段，橫向纏繞包扎，如圖(4)設(shè)：i ' e0000 0N 圖4管道長度

7、為 N ,橫切面周長n； 帶子寬為i;帶子長為L ; 相鄰的帶子之間纏繞是覆蓋的寬度e(即圖中黑實(shí)線的寬度)由于管道口周長 n=0.5m 因此被截?cái)嗟膸ё涌倵l數(shù)為L/n ,則有：未被覆蓋帶子表面積S3=管道側(cè)面積S2即: L(i-e)/i=S 2L=i >S2/(i-e)=i NWi/(i-e)=15/(0.3-e)由于 e> 0得 L > 50(m)所以此時將帶子截成長0.5m寬0.3m的100小段.設(shè)模型總耗費(fèi)為丫2經(jīng)計(jì)算得：剪切總長度p=99X0.3=29.7(m)粘貼總面積q=S2=15m2 螺型纏繞面積k=0 帶子面積Si=15m2所以：Y2=29.7a+15b+1

8、5d .(A題中所給帶子長為 51m 即:賦值于L=51m又：L=15/(0.3-e)得 e=0.3-15/L將L=51代入上式 得a=3/510=0.0059當(dāng)帶子長51m時設(shè)模型總耗費(fèi)為 y2經(jīng)計(jì)算剪切總長度p=99X0.3=29.7(m)2粘貼總面積 q=51 > 0.3=15.3(m ) 螺型纏繞面積k=0 帶子面積 S=51 ».3=15.3(m2)所以：y 2=29.7a+15.3b+15.3d2).(a模型三斜向螺旋包扎模型模型假設(shè)：在研究建立模型時，需要作一些假設(shè)，目的是使模型簡單、利于理解、便于計(jì)算，為此我們 考慮四種費(fèi)用，即剪切費(fèi)用、粘貼費(fèi)用、纏繞費(fèi)用和帶子

9、總費(fèi)用，歸納假設(shè)條件如下：（7）帶子不需要剪切和大面積粘貼（8）帶子價格d元/m2（9）剪切費(fèi)用a元/m（10）粘貼費(fèi)用b元/m2（11）螺旋纏繞費(fèi)用c元/m2（6）由于剪切過程需要精確測量計(jì)算因此耗費(fèi)較大粘貼過程要用粘也許.因此花費(fèi)較大成本而且為了保證粘貼效果要精細(xì)的勞動，而纏繞則較為簡單可以近似估計(jì)dab>> c模型構(gòu)建與求解:不需剪切，讓帶子與管道以x角度斜向包扎即S4=圓柱側(cè)面積S2斜向螺旋纏繞包扎 如圖（5）如圖（6）圖6先假設(shè)纏繞過程中不重疊。則帶子折下來后展開圖展開圖中陰影部分面積即是附著在管道上的那部分則陰影部分面積即 LXi-0.5nSinx ACosxX2=s2

10、=NXn又 Sinx=i/n=0.3/0.5=3/5 得 x=37°所以 L=(NX n+0.5 XiSinx XnCosxX2)/i=(30 X.5+0.5 0<6 X.5 X.8)/0.3=50.400(m)經(jīng)計(jì)算得：剪切總長度p=02纏繞總面積 k=50 X 0.3=15m2帶子總面積si=15.12（m ）由于此模型在纏繞完畢后，僅需在兩端有極小面積粘貼即可 則q0，則可忽略粘貼費(fèi)用總費(fèi)用 Y3=kc+sid=15c+15.12d現(xiàn)題中所給帶子長度為51m即賦值于L=51m顯然纏繞過程有重疊部分將重疊的紙帶折下來展開圖形如圖（8）中寬為h的陰影部分設(shè)圓柱表面積為s圓柱橫

11、切面周長展開線(即n)與帶子展開圖的長邊成角為x如圖8則有h+nSinx=0.3圖中兩個直角梯形面積Sa+Sb=S .(2)2因?yàn)?s=30 X).5=15m sa=0.5(L-2nCosx+L- nCosx)nSinx (4)Sb=0.5(i- nSin x+i) nCosx (5)將(3) (4) (5)同時代入(2)式得：0.5(2L-3 nCosx) nSin x+0.5(2i-nSin x) nCosx=15將i, n的數(shù)據(jù)代入并化間得：Lsinx+0.3Cosx- SinxCosx=30 .(6)由(1)得：Si nx=(0.3-d)/n因?yàn)?d > 0所以 Sinx w 0

12、.3/n=0.3/0.5=0.60°v x w 37°0 v Sinx w 0.6L > (30+0.6 X 0.8-0.3X 0.8)/0.6=50.400(m)現(xiàn)有一條帶子長51m 即L=51代入(3)51Sinx+0.3Cosx-SinxCosx=30 (*)現(xiàn)在關(guān)鍵的問題就是求出 Sinx Cosx及x得值,就可以求出d得值用Visual Basic6.0編一個程序計(jì)算 sinx和cosx 由 sinx2+cosx2=12 2(*)式可化 51V 1-cos x +0.3cosx-cosxV 1-cos x =30注：所編程序及程序運(yùn)行結(jié)果見附錄所以h=0.3

13、-nSinx=0.3-0.5 X 0.592950517974974 0.0035(m)即帶子重疊處寬度為h=0.0035(m)經(jīng)計(jì)算得：剪切總長度p=0 纏繞總面積k=15m2帶子面積 S2=51 x 0.3=15.3m2因?yàn)槔p繞工作完畢后僅需要極小面積得粘貼，可認(rèn)為最小粘貼面積q=0所以總耗費(fèi)y3=15c+15.3d模型分析我們討論了 3種模型，表1中給出了在一定條件下不同模型的耗費(fèi):模型耗費(fèi)人力物力最小費(fèi)用L=51時費(fèi)用-大:丫1=25.7a+15(b+d)y1=26.2a+15.3(b+d)-二二大Y2=29.7a+15(b+d)y2=29.7a+15.3(b+d)三小Y3=15c+1

14、5.12dy3=15c+15.3d由于 d ab»c 貝U 忽略 c,可知，丫2>丫1>丫3,y2>yi>y3由上述三個模型比較可知，在達(dá)到包扎目的之前，模型一縱向包扎和模型二橫向包扎盡管不需要螺旋纏繞工作，節(jié)省了一些資金，但需要花費(fèi)大量人力物力在剪切及粘貼上。模 型三斜向包扎盡管需要螺旋纏繞工作花費(fèi)了一些時間，但是不需要剪切及粘貼工作，總體上更節(jié)省人力物力。所以，模型三是最佳模型！盡管模型中一些估計(jì)是粗略的，沒有給出嚴(yán)格的理論證明，但是在合理的指導(dǎo)思想下：以經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，所得結(jié)果令人滿意 附錄：Private Sub Form_Click() Dim x As

15、 Double, temp As Double x = 0temp = (0.785398163397449)/(45 * 60) DoCis x = x + temp Prin t "x" "=" x Prin t "Cos(x)" "=" Cos(x)Prin t "S in (x)" "=" Si n(x)Print 51 * Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x) + 0.3 * Cos(x) - Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x)* Cos(x)，Loop While (51 * Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x) + 0.3 * Cos(x) - Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x) * Cos(x) < 30End Sub注：為了保持足夠的精確度，程序中臨時變量 temp以分為單位增加 即：temp=1 分=1/60° =(n/4)/ (45隈 60。) =Atn(1)/ (45oX 60o)= 0.785398163397449/ (45浪 60o)程序運(yùn)行后，顯示結(jié)果如下：k= .&