帶子纏繞包扎圓柱形管道模型處理

1、浙江師范大學(xué)首屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽一等獎(jiǎng)參賽小組負(fù)責(zé)人 :劉海華組員:黃敏組員:陳斌學(xué)院:生命與環(huán)境科學(xué)學(xué)院系別與 班級(jí) :生物科學(xué)012 班主辦：浙師范師范大學(xué)團(tuán)委承辦：數(shù)理信息工程學(xué)院0模型一 21#模型二-UH- n-pH 'yiI J I. / rnUUIBBlIBBIt模型分析 6帶子纏繞包扎圓柱形管道模型處理摘 要討論了幾種帶子纏繞包扎圓柱形管道的模型，并經(jīng)分析比較擇優(yōu)處理后，確認(rèn)出最佳模型。問(wèn)題的提出用寬度為0.3的帶子纏繞包扎圓柱形管道，管道長(zhǎng)30m，截面周長(zhǎng)為 0.5m。（1） 如果用帶子全部包住管道，最少要用多長(zhǎng)的帶子，請(qǐng)你給出計(jì)算這個(gè)最小長(zhǎng)度的公式，并且依次計(jì)算出所需長(zhǎng)

2、度數(shù)值。（2）現(xiàn)有一條長(zhǎng)度為51m的帶子，想將這條帶子全部用于纏繞包扎這個(gè)管 道，可以使帶子的接縫處重疊瘩接。請(qǐng)你給出用這條帶子纏繞包扎這個(gè)管 道的方案。（計(jì)算結(jié)果精確到 0.001m）在現(xiàn)代社會(huì)，隨著科技的發(fā)展，產(chǎn)品的包裝的重要性甚至可以與產(chǎn)品的質(zhì)量 相抗衡，一些圓柱形產(chǎn)品的包裝曾經(jīng)困繞了不少人，在產(chǎn)品質(zhì)量相同的情況下，如 何讓外表既美觀有省材成為競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)鍵，在此，我們以帶子殘纏繞包扎圓柱形管道 問(wèn)題為例進(jìn)行討論幾種處理模型問(wèn)題的分析不同類型的包扎有不同的特點(diǎn)，在此不贅述，而是先按題目的要求假設(shè)幾種 模型，在分析問(wèn)題的過(guò)程中，不可能通過(guò)一次假設(shè)就建立起完善的數(shù)學(xué)模型因此， 我有如下思路：先做

3、簡(jiǎn)單的假設(shè)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，針對(duì)結(jié)果不合理之處，逐步進(jìn) 行修改，最終得到較好的模型。#模型一縱向纏繞包扎模型模型假設(shè)在研究建立模型時(shí)，需要作一些假設(shè)，目的是使模型簡(jiǎn)單、利于理解、便于計(jì)算， 為此我們考慮四種費(fèi)用，即剪切費(fèi)用、粘貼費(fèi)用、纏繞費(fèi)用和帶子總費(fèi)用，歸納假設(shè)條 件如下：（1）帶子可以根據(jù)需要任意剪切（2）剪切費(fèi)用為a元/m（3）粘貼費(fèi)用為b元/m2（4）螺型纏繞費(fèi)用為 c元/m2（5）帶子價(jià)格d元/m2（6）由于切過(guò)程需要精確測(cè)量計(jì)算因此耗費(fèi)較大粘貼過(guò)程要用粘貼劑也許花費(fèi)較大成本而且為了保證粘貼效果要精細(xì)的勞動(dòng)，而纏繞則較為簡(jiǎn)單因此可以作如下近似估計(jì)：da b>> c模型構(gòu)建

4、和求解將帶子均分為兩段用以包住圓柱即：縱向包扎模型如圖（1）設(shè)：帶長(zhǎng)為L(zhǎng),帶寬為i,管長(zhǎng)為N,管道橫切面周長(zhǎng)為 n,帶子面積 管道側(cè)面積S2要使帶子能完全纏繞包扎住管道貝si > S即 L Xi > NXn所以 L > NXn/i=30 X5/0.3=50m取一根長(zhǎng)為m的帶子分兩段同為25m將圓柱側(cè)面貼滿1則 先轉(zhuǎn)化為將圓柱側(cè)面展開(kāi)圖貼滿如圖（2）陰影部分GHIJ即是重疊部分剪下來(lái)再分段貼滿BCFE區(qū)域從矩形IJHG和矩形BCFE邊長(zhǎng)關(guān)系看可將矩形剪成5段圖（1）每段長(zhǎng)5m寬0.1m由于矩形長(zhǎng) BCFE5m寬0.5m因此五段恰好貼滿矩形BCFE設(shè)模型總耗費(fèi)是Y經(jīng)計(jì)算，剪切總長(zhǎng)

5、度P=0.3+25+4 X.1=25.7m2粘貼總面積 q= S2=15m螺旋纏繞面積 K=02帶子面積S1=15m所以，丫1=25.7a+15b+15d .（A現(xiàn)所給帶子長(zhǎng)為 51m 即賦值于L=51mDFC用與上述同樣方法即有如圖所示展開(kāi)圖 陰影部分是帶子重疊部分陰影部分面積 S3=51 X0.3-50 0.3=0.3m2 經(jīng)計(jì)算剪切總長(zhǎng)：粘貼總面積：螺旋纏繞總面積：帶子總面積：p=0.3+2505+4X0.1=26.2m2q=S2=51 X0.3=15.3mk=02S1=51 X0.3=15.3m在此模型下L=51時(shí)的總費(fèi)用:y1=26.2a+15.3b+15.3d圖(a1)模型二橫向纏

6、繞包扎模型模型假設(shè)：在研究建立模型時(shí)，需要作一些假設(shè)，目的是使模型簡(jiǎn)單、利于理解、便于計(jì)算，為此我 們考慮四種費(fèi)用，即剪切費(fèi)用、粘貼費(fèi)用、纏繞費(fèi)用和帶子總費(fèi)用，歸納假設(shè)條件如下：(1) 帶子可以根據(jù)需要任意剪切(2) 帶子價(jià)格d元/m2(3) 剪切費(fèi)用a元/m(4) 粘貼費(fèi)用b元/m2(5) 螺旋纏繞費(fèi)用c元/m2(6) 由于剪切過(guò)程需要精確測(cè)量計(jì)算因此耗費(fèi)較大粘貼過(guò)程要用粘貼劑也許花費(fèi)較大成本而且為了保證粘貼效果要精細(xì)的勞動(dòng)，而纏繞則較為簡(jiǎn)單因此可以作如下近似估計(jì)：dab>> c構(gòu)模與求解：將帶子剪成多段，橫向纏繞包扎，如圖(4)設(shè)：i ' e0000 0N 圖4管道長(zhǎng)度

7、為 N ,橫切面周長(zhǎng)n； 帶子寬為i;帶子長(zhǎng)為L(zhǎng) ; 相鄰的帶子之間纏繞是覆蓋的寬度e(即圖中黑實(shí)線的寬度)由于管道口周長(zhǎng) n=0.5m 因此被截?cái)嗟膸ё涌倵l數(shù)為L(zhǎng)/n ,則有：未被覆蓋帶子表面積S3=管道側(cè)面積S2即: L(i-e)/i=S 2L=i >S2/(i-e)=i NWi/(i-e)=15/(0.3-e)由于 e> 0得 L > 50(m)所以此時(shí)將帶子截成長(zhǎng)0.5m寬0.3m的100小段.設(shè)模型總耗費(fèi)為丫2經(jīng)計(jì)算得：剪切總長(zhǎng)度p=99X0.3=29.7(m)粘貼總面積q=S2=15m2 螺型纏繞面積k=0 帶子面積Si=15m2所以：Y2=29.7a+15b+1

8、5d .(A題中所給帶子長(zhǎng)為 51m 即:賦值于L=51m又：L=15/(0.3-e)得 e=0.3-15/L將L=51代入上式 得a=3/510=0.0059當(dāng)帶子長(zhǎng)51m時(shí)設(shè)模型總耗費(fèi)為 y2經(jīng)計(jì)算剪切總長(zhǎng)度p=99X0.3=29.7(m)2粘貼總面積 q=51 > 0.3=15.3(m ) 螺型纏繞面積k=0 帶子面積 S=51 ».3=15.3(m2)所以：y 2=29.7a+15.3b+15.3d2).(a模型三斜向螺旋包扎模型模型假設(shè)：在研究建立模型時(shí)，需要作一些假設(shè)，目的是使模型簡(jiǎn)單、利于理解、便于計(jì)算，為此我們 考慮四種費(fèi)用，即剪切費(fèi)用、粘貼費(fèi)用、纏繞費(fèi)用和帶子

9、總費(fèi)用，歸納假設(shè)條件如下：（7）帶子不需要剪切和大面積粘貼（8）帶子價(jià)格d元/m2（9）剪切費(fèi)用a元/m（10）粘貼費(fèi)用b元/m2（11）螺旋纏繞費(fèi)用c元/m2（6）由于剪切過(guò)程需要精確測(cè)量計(jì)算因此耗費(fèi)較大粘貼過(guò)程要用粘也許.因此花費(fèi)較大成本而且為了保證粘貼效果要精細(xì)的勞動(dòng)，而纏繞則較為簡(jiǎn)單可以近似估計(jì)dab>> c模型構(gòu)建與求解:不需剪切，讓帶子與管道以x角度斜向包扎即S4=圓柱側(cè)面積S2斜向螺旋纏繞包扎 如圖（5）如圖（6）圖6先假設(shè)纏繞過(guò)程中不重疊。則帶子折下來(lái)后展開(kāi)圖展開(kāi)圖中陰影部分面積即是附著在管道上的那部分則陰影部分面積即 LXi-0.5nSinx ACosxX2=s2

10、=NXn又 Sinx=i/n=0.3/0.5=3/5 得 x=37°所以 L=(NX n+0.5 XiSinx XnCosxX2)/i=(30 X.5+0.5 0<6 X.5 X.8)/0.3=50.400(m)經(jīng)計(jì)算得：剪切總長(zhǎng)度p=02纏繞總面積 k=50 X 0.3=15m2帶子總面積si=15.12（m ）由于此模型在纏繞完畢后，僅需在兩端有極小面積粘貼即可 則q0，則可忽略粘貼費(fèi)用總費(fèi)用 Y3=kc+sid=15c+15.12d現(xiàn)題中所給帶子長(zhǎng)度為51m即賦值于L=51m顯然纏繞過(guò)程有重疊部分將重疊的紙帶折下來(lái)展開(kāi)圖形如圖（8）中寬為h的陰影部分設(shè)圓柱表面積為s圓柱橫

11、切面周長(zhǎng)展開(kāi)線(即n)與帶子展開(kāi)圖的長(zhǎng)邊成角為x如圖8則有h+nSinx=0.3圖中兩個(gè)直角梯形面積Sa+Sb=S .(2)2因?yàn)?s=30 X).5=15m sa=0.5(L-2nCosx+L- nCosx)nSinx (4)Sb=0.5(i- nSin x+i) nCosx (5)將(3) (4) (5)同時(shí)代入(2)式得：0.5(2L-3 nCosx) nSin x+0.5(2i-nSin x) nCosx=15將i, n的數(shù)據(jù)代入并化間得：Lsinx+0.3Cosx- SinxCosx=30 .(6)由(1)得：Si nx=(0.3-d)/n因?yàn)?d > 0所以 Sinx w 0

12、.3/n=0.3/0.5=0.60°v x w 37°0 v Sinx w 0.6L > (30+0.6 X 0.8-0.3X 0.8)/0.6=50.400(m)現(xiàn)有一條帶子長(zhǎng)51m 即L=51代入(3)51Sinx+0.3Cosx-SinxCosx=30 (*)現(xiàn)在關(guān)鍵的問(wèn)題就是求出 Sinx Cosx及x得值,就可以求出d得值用Visual Basic6.0編一個(gè)程序計(jì)算 sinx和cosx 由 sinx2+cosx2=12 2(*)式可化 51V 1-cos x +0.3cosx-cosxV 1-cos x =30注：所編程序及程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)附錄所以h=0.3

13、-nSinx=0.3-0.5 X 0.592950517974974 0.0035(m)即帶子重疊處寬度為h=0.0035(m)經(jīng)計(jì)算得：剪切總長(zhǎng)度p=0 纏繞總面積k=15m2帶子面積 S2=51 x 0.3=15.3m2因?yàn)槔p繞工作完畢后僅需要極小面積得粘貼，可認(rèn)為最小粘貼面積q=0所以總耗費(fèi)y3=15c+15.3d模型分析我們討論了 3種模型，表1中給出了在一定條件下不同模型的耗費(fèi):模型耗費(fèi)人力物力最小費(fèi)用L=51時(shí)費(fèi)用-大:丫1=25.7a+15(b+d)y1=26.2a+15.3(b+d)-二二大Y2=29.7a+15(b+d)y2=29.7a+15.3(b+d)三小Y3=15c+1

14、5.12dy3=15c+15.3d由于 d ab»c 貝U 忽略 c,可知，丫2>丫1>丫3,y2>yi>y3由上述三個(gè)模型比較可知，在達(dá)到包扎目的之前，模型一縱向包扎和模型二橫向包扎盡管不需要螺旋纏繞工作，節(jié)省了一些資金，但需要花費(fèi)大量人力物力在剪切及粘貼上。模 型三斜向包扎盡管需要螺旋纏繞工作花費(fèi)了一些時(shí)間，但是不需要剪切及粘貼工作，總體上更節(jié)省人力物力。所以，模型三是最佳模型！盡管模型中一些估計(jì)是粗略的，沒(méi)有給出嚴(yán)格的理論證明，但是在合理的指導(dǎo)思想下：以經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，所得結(jié)果令人滿意 附錄：Private Sub Form_Click() Dim x As

15、 Double, temp As Double x = 0temp = (0.785398163397449)/(45 * 60) DoCis x = x + temp Prin t "x" "=" x Prin t "Cos(x)" "=" Cos(x)Prin t "S in (x)" "=" Si n(x)Print 51 * Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x) + 0.3 * Cos(x) - Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x)* Cos(x)，Loop While (51 * Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x) + 0.3 * Cos(x) - Sqr(1 - Cos(x) * Cos(x) * Cos(x) < 30End Sub注：為了保持足夠的精確度，程序中臨時(shí)變量 temp以分為單位增加 即：temp=1 分=1/60° =(n/4)/ (45隈 60。) =Atn(1)/ (45oX 60o)= 0.785398163397449/ (45浪 60o)程序運(yùn)行后，顯示結(jié)果如下：k= .&