隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、目錄目錄上頁上頁下頁下頁第二章導(dǎo)數(shù)與微分目錄目錄上頁上頁下頁下頁第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率四、數(shù)學(xué)建模的實例四、數(shù)學(xué)建模的實例目錄目錄上頁上頁下頁下頁一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xOy23sin2xyyxy 函數(shù)函數(shù)y=f(x)表示變量表示變量y與與x之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系的表示形式是多種多樣的。系的表示形式是多種多樣的。 例如：例如：從下圖中可以看到，對每一個從下圖中可以看到

2、，對每一個x通過這條曲線都能有唯通過這條曲線都能有唯一的一的y與之對應(yīng)，與之對應(yīng)， 因此我們說這條曲線因此我們說這條曲線(或者方程或者方程x2+y3+siny=2)確定了一個函數(shù)確定了一個函數(shù)y=f(x)， 稱其為由該方程確定的隱函數(shù)稱其為由該方程確定的隱函數(shù).則稱方程在區(qū)間目錄目錄上頁上頁下頁下頁一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果在一定條件下，對于某區(qū)間如果在一定條件下，對于某區(qū)間I I上的任意一個值上的任意一個值x，一般地一般地通過方程通過方程 相應(yīng)地總有滿足這個方程的唯一的實數(shù)相應(yīng)地總有滿足這個方程的唯一的實數(shù)y( , )0,F x y 則稱方程則稱方程 在區(qū)間在區(qū)間I I上確定了一

3、個上確定了一個隱函數(shù)隱函數(shù). .( , )0F x y 存在，存在，相應(yīng)的，諸如相應(yīng)的，諸如等由自變量等由自變量x的解析式表示的函數(shù)稱作的解析式表示的函數(shù)稱作顯函數(shù)顯函數(shù)ln(1), sin .xyxeyxxOy23sin2xyyxy目錄目錄上頁上頁下頁下頁隱函數(shù)隱函數(shù)能化為顯函數(shù)嗎？能化為顯函數(shù)嗎？23sin2xyy由方程由方程 不能解出不能解出y來，因此該來，因此該隱函數(shù)不能顯化隱函數(shù)不能顯化.23sin2xyy0132 yx321xy 隱函數(shù)顯化隱函數(shù)顯化把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)，就稱把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)，就稱隱函數(shù)顯化隱函數(shù)顯化. .例如：例如： 并不是任意一個隱函數(shù)都能顯化的并不是任

4、意一個隱函數(shù)都能顯化的. 我們關(guān)心的是，若我們關(guān)心的是，若方程在某區(qū)間內(nèi)確定了一個可導(dǎo)的隱函數(shù)，能否不對它進行方程在某區(qū)間內(nèi)確定了一個可導(dǎo)的隱函數(shù)，能否不對它進行顯化而直接由方程求出它的導(dǎo)數(shù)呢？顯化而直接由方程求出它的導(dǎo)數(shù)呢？ 目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例1 求方程求方程 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) 在在 點的導(dǎo)數(shù)點的導(dǎo)數(shù)235100 xyxy)(xfy 0 x解解 用用 替換替換 中的中的 y，得，得)(xfy 235100 xyxy2( )35 ( )100,xf xxf x x方程兩邊同時對方程兩邊同時對 求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得( )( )65( )0,f xxfxxfx解方程即可求得解方程

5、即可求得6( )6( ).55xf xxyfxxx 目錄目錄上頁上頁下頁下頁解這個關(guān)于解這個關(guān)于 的方程，得的方程，得 dxdy2(3510)0,xyxy 即即650.dydyyxxdxdx 注意到注意到 y 是是 x 的函數(shù)這一事實，我們可以不必像上邊那的函數(shù)這一事實，我們可以不必像上邊那樣去作代換，而直接將方程兩邊同時對樣去作代換，而直接將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)數(shù)，有求導(dǎo)數(shù)，有6,5dyxydxx 由方程由方程 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時，時， ，因此，因此 2y 0 x235100 xyxy00262.55xxydyxydxx 這一步需要特別這一步需要特別注意什么問題？注意什么問題？你注意到

6、隱函數(shù)你注意到隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的表示式的導(dǎo)數(shù)的表示式的特點了嗎？特點了嗎？ 求隱函數(shù)在某一求隱函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)時應(yīng)點處的導(dǎo)數(shù)時應(yīng)特別注意什么？特別注意什么？ 目錄目錄上頁上頁下頁下頁總結(jié)一下求隱總結(jié)一下求隱函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)可分哪幾步？數(shù)可分哪幾步？ 例例2 求方程求方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)0yexye)(xfy 整理得整理得0,yeyyxy 解解 方程兩邊同時對方程兩邊同時對 求導(dǎo)數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意，這里（注意，這里 是是 的函數(shù)），得的函數(shù)），得xxy(),yxeyy 于是有于是有.yyyxe 1. 方程左右兩邊對方

7、程左右兩邊對x求求導(dǎo)導(dǎo)(注意注意y是是x的函數(shù)的函數(shù), 因因此對此對y的函數(shù)求導(dǎo)時要用的函數(shù)求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則).2. 解方程，求出解方程，求出y (注意注意y表達式中即含有表達式中即含有x，也也含有含有 y).目錄目錄上頁上頁下頁下頁 例例3 求橢圓求橢圓 上點上點 處的切線方程處的切線方程22143xy3(1, )2解解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為該方程所確定由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為該方程所確定的隱函數(shù)在點的隱函數(shù)在點 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). .3(1, )2220.43xyy 解得解得3.4xyy 22()(1)43xy原方程兩邊分別對原方程

8、兩邊分別對 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得13233 11.34242xyxky 因此，所求切線斜率因此，所求切線斜率從而，所求的切線方程為從而，所求的切線方程為31(1)22yx 24.xy討論：討論：要求切線方程，關(guān)鍵要找到什么？要求切線方程，關(guān)鍵要找到什么？目錄目錄上頁上頁下頁下頁下面又應(yīng)下面又應(yīng)怎么辦？怎么辦？解解 由隱函數(shù)的求導(dǎo)法，得由隱函數(shù)的求導(dǎo)法，得于是于是 例例4 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) . .sin0 xyy 22dxydx上式兩邊再對上式兩邊再對 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得將上邊求得將上邊求得 的結(jié)果代入，得的結(jié)果代入，得y 1cos0,yy y 1

9、,1cosyy 22(1cos )1sin(),1cos(1cos )(1cos )xxyy yyyyy 231sinsin1cos.(1cos )(1cos )yyyyyy 下面應(yīng)怎下面應(yīng)怎么辦？么辦？目錄目錄上頁上頁下頁下頁您看求隱函數(shù)的二階導(dǎo)您看求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的步驟可分幾步？其數(shù)的步驟可分幾步？其中需要特別注意什么？中需要特別注意什么？1. 方程左右兩邊對方程左右兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo)(注意注意y是是x的函數(shù)的函數(shù)).2. 解方程，求出解方程，求出y的表達式的表達式.3. y的表達式的表達式(或求導(dǎo)后方程或求導(dǎo)后方程)左右再對左右再對x求導(dǎo)求導(dǎo)(注意注意y和和y都都是是x的函數(shù)的函數(shù)).4

10、. 將將y代入到上面求出的代入到上面求出的y中中(注意注意y表達式中即含有表達式中即含有x，也含有也含有 y).目錄目錄上頁上頁下頁下頁于是于是解解 將方程的兩邊取對數(shù)，得將方程的兩邊取對數(shù)，得例例5 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .(0,1)xyxxx 11lnln1,yxxxyx lnln ,yxx 上式兩邊對上式兩邊對 求導(dǎo)，注意到求導(dǎo)，注意到 是是 的函數(shù)的函數(shù) ，得，得yxx)(xy ln1ln1 .xyyxxx 隱函數(shù)！隱函數(shù)！討論討論: 這是一個冪指函數(shù)這是一個冪指函數(shù), 既不能按照冪函數(shù)求導(dǎo)既不能按照冪函數(shù)求導(dǎo), 也不能按照也不能按照指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo). 你想怎么解決這個矛盾？你

11、想怎么解決這個矛盾？對數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)法 若方程左右兩邊同時若方程左右兩邊同時取對數(shù)取對數(shù), 能解決問題嗎？能解決問題嗎？由這個方程能說由這個方程能說 y是是 x 的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？目錄目錄上頁上頁下頁下頁于是于是例例6 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .(1)(2)(3)(5)xxyxx 解解 將方程的兩邊取對數(shù)（假定將方程的兩邊取對數(shù)（假定 ），得），得5x 1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(5),2yxxxx上式兩邊對上式兩邊對 求導(dǎo)，注意到求導(dǎo)，注意到 是是 的函數(shù)的函數(shù) ，得，得yxx)(xy(1)(2)lnln,(3)(5)xxyxx 111111,21235yyxxxx 于是于是

12、111121235yyxxxx 11111(1)(2).21235(3)(5)xxxxxxxx討論討論: 這個題目復(fù)雜嗎？原因是什么？如果能這個題目復(fù)雜嗎？原因是什么？如果能“積化和差積化和差”好好求導(dǎo)嗎？怎么能求導(dǎo)嗎？怎么能“積化和差積化和差”?目錄目錄上頁上頁下頁下頁當(dāng)當(dāng) 時時1 x(1)(2)(3)(5)xxyxx 當(dāng)當(dāng) 時時32 x(1)(2)(3)(5)xxyxx 用同樣的方法可得與上面相同的結(jié)果用同樣的方法可得與上面相同的結(jié)果. . 總結(jié)一下，什么時候適總結(jié)一下，什么時候適合使用合使用“對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法”？1. 冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；2. 函數(shù)為多個因子的乘積。函數(shù)為

13、多個因子的乘積。目錄目錄上頁上頁下頁下頁求一般冪指函數(shù)求一般冪指函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)時，同樣可以用的導(dǎo)數(shù)時，同樣可以用上述上述 “對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法”但注意到但注意到 ，也可以利用復(fù)，也可以利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)如合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)如)0)()()( xuxuyxv)(ln)(xuxvey )ln(sin)()(lnsinlnsinsin xxeexyxxxxx)1sinln(coslnsinxxxxexx )sinln(cossinxxxxxx 目錄目錄上頁上頁下頁下頁二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實例：實例：拋射體的運動軌跡拋射體的運動軌跡122,1,2xv

14、tyv tgt xyOv1v2v其中其中g(shù)為重力加速度，為重力加速度，t為時間為時間. . 某時刻某時刻 t 時，炮彈在鉛垂平面內(nèi)所在位置的橫時，炮彈在鉛垂平面內(nèi)所在位置的橫坐標坐標 x 與與縱縱坐標坐標 y，它們都與，它們都與 t 存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系. . 如果把對應(yīng)于同一個如果把對應(yīng)于同一個 t 的的 x,y 的值看作對應(yīng)的，這樣就得到的值看作對應(yīng)的，這樣就得到 x 與與 y 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系利用代入消元法，消去參數(shù)利用代入消元法，消去參數(shù) t 得到得到22211.2vgyxxvv目錄目錄上頁上頁下頁下頁 則稱此函數(shù)關(guān)系所表達的則稱此函數(shù)關(guān)系所表達的函數(shù)為由上述參數(shù)方程所

15、確定的函數(shù)函數(shù)為由上述參數(shù)方程所確定的函數(shù)下面我們來研究求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)下面我們來研究求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù): :一般地，若參數(shù)方程一般地，若參數(shù)方程 ),(),(tytx t確定了確定了y與與x之間的函數(shù)關(guān)系，之間的函數(shù)關(guān)系， 如果在上述參數(shù)方程中函數(shù)如果在上述參數(shù)方程中函數(shù) 具有單調(diào)連續(xù)的具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)反函數(shù) ，)(tx )(1xt 并且并且 與函數(shù)與函數(shù) 可以構(gòu)成可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，其中復(fù)合函數(shù)，其中t 為中間變量為中間變量)(ty )(1xt 目錄目錄上頁上頁下頁下頁于是于是( ),( )tdydxt 由一階微分形式的不變性，有由一階微分形式的不變性，有( ),d

16、yt dt 1,( )dtdxt 再由再由 ，利用反函數(shù)求導(dǎo)法則得，利用反函數(shù)求導(dǎo)法則得1( )tx 代入代入 得得( )dyt dt ( ).( )dytdxt 目錄目錄上頁上頁下頁下頁與與 可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù) ，1( )tx 1( )yx 定理定理1(參數(shù)方程求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則)設(shè)參數(shù)方程設(shè)參數(shù)方程 ( ), ( )xttyt 若若 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，并且內(nèi)可導(dǎo)，并且 ( ),( )xtyt( ,) ( )0,t ( )xt 1( )tx ( )yt 中，中， 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù) ，并且，并且則有則有( ).( )dytdxt （參數(shù)方程求導(dǎo)計

17、算公式）（參數(shù)方程求導(dǎo)計算公式）目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例7 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程解解所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 的微商的微商 . .dxdy)(xyy 2(cossin ),3(sincos ),xy )0, 0( ba3(sincos )3sin3tan .2(cossin )2cos2dydx 目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例8 已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為求它在求它在 相應(yīng)的點處的切線方程相應(yīng)的點處的切線方程4 t04cos2 2,4x 4cos ,6sin ,xtyt 444(6sin )6cos3.(4cos )4sin2tttdyttdxtt 解解 橢圓上對應(yīng)于橢圓上

18、對應(yīng)于 的點的點 的坐標分別為：的坐標分別為：),(000yxM4 t06sin3 2,4y 曲線在點曲線在點 的切線斜率為：的切線斜率為：),(000yxM由直線的點斜式方程，可得所求的切線方程為由直線的點斜式方程，可得所求的切線方程為33 2(2 2),2yx 即即36 20.2xy討論討論: 求一點處的切線需要知道什么？由求一點處的切線需要知道什么？由我們能知道什么？我們能知道什么？4t xyO0M目錄目錄上頁上頁下頁下頁解解 顯然所求夾角顯然所求夾角 的正切為的正切為 ，因此，因此 dxdy例例9 根據(jù)前面所給的拋射體的運動軌跡方程根據(jù)前面所給的拋射體的運動軌跡方程122,1,2xv

19、tyv tgt 試求拋射體在時刻試求拋射體在時刻t 時的運動方向與水平線間的夾角時的運動方向與水平線間的夾角 . . 222111()2()v tgtvgtdydxv tv 21arctanarctan().vgtdydxv 目錄目錄上頁上頁下頁下頁若若 皆二階可導(dǎo)，有皆二階可導(dǎo)，有( ),( )tt ),(),(tytx t設(shè)函數(shù)的參數(shù)方程為設(shè)函數(shù)的參數(shù)方程為 ，利用參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)利用參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)為參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)為( ),( )tyt dyydx ( )( )dtdxt ( )( )dtdtdttdx 對一階導(dǎo)數(shù)關(guān)于對一階導(dǎo)數(shù)關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo), ,其變量其變量t

20、 t應(yīng)看作中間變量應(yīng)看作中間變量, ,而按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，而按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法， ( )1( )( )dtdttt ( )( ).( )tttt y ( )( ).( )tttt dxdt( )1( )dtdxdttdt dxdt( ) t dt目錄目錄上頁上頁下頁下頁由于由于2( )( )( )( )( )(),( )( )ttttttt 因此因此223( )( )( )( ),( )d yttttdxt 在實際計算時，通常利用在實際計算時，通常利用22( )( ).( )ttd ydxt 不必刻不必刻意去記意去記公式公式.目錄目錄上頁上頁下頁下頁2cotcos1sin )sin( )co

21、s1(tttttatadxdy 解解 由于由于 ，因此因此例例10 求由擺線的參數(shù)方程求由擺線的參數(shù)方程 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(sin ),(1cos )xa ttyat )(xyy 22d ydx2211(1cos ).(1cos )2sin2attat cot2 (sin )ta tt 總結(jié)一下，求參數(shù)方程總結(jié)一下，求參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該注意什么呢？應(yīng)該注意什么呢？目錄目錄上頁上頁下頁下頁而而 與與 又都又都xy三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率設(shè)變量設(shè)變量y與與x之間存在著函數(shù)關(guān)系之間存在著函數(shù)關(guān)系y=f(x)，都是（對它們的自變量都是

22、（對它們的自變量 ）可導(dǎo)的，）可導(dǎo)的，)(tyy t這兩個相互依賴的變化率稱為這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率t( ).yy t )(txx 是第三個變量是第三個變量 的函數(shù)：的函數(shù)： ，)(txx 如果函數(shù)如果函數(shù) yx那么由于那么由于 與與tdtdxdtdy因此二者分別相對于因此二者分別相對于 的變化率的變化率 , ,之間存在依賴關(guān)系，之間存在依賴關(guān)系，之間也一定存在著依賴關(guān)系之間也一定存在著依賴關(guān)系目錄目錄上頁上頁下頁下頁 我們要研究的相關(guān)變化率問題就是要研究變化率我們要研究的相關(guān)變化率問題就是要研究變化率 , 之間的關(guān)系，從而利用其中的一個求出另外的一個之間的關(guān)系，從而利

23、用其中的一個求出另外的一個dtdxdtdy 若變量若變量x, ,y之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是y=f(x)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得得 , , 之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為dtdxdtdy,dydfdxdtdxdt即即( ).dydxfxdtdt 目錄目錄上頁上頁下頁下頁解解 已知梯子下端滑動的速率，欲求上端已知梯子下端滑動的速率，欲求上端下滑的速率我們必須首先建立梯子上端下滑的速率我們必須首先建立梯子上端下滑的位移與下端離開墻腳的位移之間的下滑的位移與下端離開墻腳的位移之間的關(guān)系關(guān)系例例11 有一長度為有一長度為5 5米的梯子鉛直的靠在墻上假設(shè)其下端沿米的梯子鉛直的靠在墻上假設(shè)其下端沿地板離開墻腳而滑動，當(dāng)其下端離開墻腳地板離開墻腳而滑動，當(dāng)其下端離開墻腳1.41.4米時，其下端米時，其