數(shù)學橢圓的幾何性質(zhì)與標準方程及針對性練習高三專題復習解析幾何專題

1、煙臺芝罘區(qū)數(shù)學橢圓的幾何性質(zhì)與標準方程及針對性練習2017 高三專題復習 - 解析幾何專題（ 1）第一部分：橢圓知識點一、橢圓的定義：（ 1 ）第一定義 :平面內(nèi)與兩定點 F1、 F2 距離和等于常數(shù) 2a (大于 F 1F2 ）的點的軌跡叫做橢圓 .（ 2 ）第二定義：平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e ，當 0 e 1時，點的軌跡是橢圓 . 橢圓上一點到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為到準線的距離.橢圓定義的表達式：PF1PF22a 2aF1F20 ; MP PF1PF22a, 2aF1 F20 .二、橢圓方程1. 橢圓的標準方程 :焦點在 x 軸 : x2y21 a b 0 ；焦點在 y

2、 軸: y2x 21 ab0 .a2b2a 2b2a 是長半軸長， b 是短半軸長，即焦點在長軸所在的數(shù)軸上，且滿足a2b2c 2 .2. Ax 2 By 2 C A、 B、 C均不為零，且 A B 表示橢圓的條件為：Ax2By 21 ， x2y21 .CCCCAB所以只有 A、B、C 同號，且 AB 時，方程表示橢圓；當 C C 時，橢圓的焦點在 x 軸上；A B當 CC 時，橢圓的焦點在 y 軸上 .AB三、橢圓的幾何性質(zhì)（以x2y 21a b0 為例）a2b21. 有限性 : xa, y b 說明橢圓位于直線 xa 和 yb 所圍成的矩形里（封閉曲線） .該性質(zhì)主要用于求最值、軌跡檢驗等

3、問題.2. 對稱性 :關于原點、 x 軸、 y 軸對稱。3. 頂點（橢圓和它的對稱軸的交點）有四個： A1a,0 、 A2 a,0 、 B1 0, b 、 B 2 0,b .4. 長軸、短軸、焦距：A1 A2 叫橢圓的長軸，A1 A22a, a 是長半軸長；B1B2 叫橢圓的短軸，B1 B22b,b 是短半軸長 .F1 F2 叫橢圓的焦距；為2c .5. 離心率（ 1）橢圓焦距與長軸的比cea（ 2222b2c2 .這是橢圓的特征三角形，并且） Rt OB2 F2 , B2 F2OB2OF2 ，即 a2cosOF2 B2 的值是橢圓的離心率 .（ 3）橢圓的圓扁程度由離心率的大小確定，與焦點所

4、在的坐標軸無關.當 e 接近于 1時， c 越接近于 a ，從而 ba 2c2越小，橢圓越扁；當 e 接近于 0 時，c 越接近于 0 ，從而 ba2c 2越大，橢圓越接近圓。26. 通徑（過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦） ， 2b .a7. 設 F1、 F2 為橢圓的兩個焦點，P 為橢圓上一點，當P、 F1、 F2 三點不在同一直線上時，P、 F1、 F2 構成了一個三角形焦點三角形. 依橢圓的定義知：PF1PF22a, F1F22c .第二部分：橢圓標準方程典例一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例 1 ：已知橢圓的焦點是F 1(0 ， 1)、F2 (0,1) ， P 是橢圓上一點，并

5、且PF1 PF 22F1 F2 ，求橢圓的標準方程。解：由 PF1PF22F1F22×24，得 2a4. 又 c1 ，所以 b 2 3.所以橢圓的標準方程是y2x 21.43練： 已知橢圓兩個焦點為F1(1,0) ，F(xiàn)2 (1,0) ，且 2a 10 ，求橢圓標準方程答：x2y21.2524二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例： 1.橢圓的一個頂點為A 2，0 ，其長軸長是短軸長的2 倍，求橢圓的標準方程解：（1 ）當 A 2，0 為長軸端點時， a2 ，b1，橢圓的標準方程為： x2y21；41（ 2 ）當 A 2，0 為短軸端點時， b2 ，a4，橢圓的標準方程為： x2

6、y21 ；416三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。x 2y 2例 求過點 ( 3,2) 且與橢圓941有相同焦點的橢圓的標準方程解：因為c2 9 4 5 ，所以設所求橢x 2y 2圓的標準方程為a2 a2 5 1.94由點 (3,2) 在橢圓上知 a2 a2 5 1 ，所以 a2 15.x 2y 2所以所求橢圓的標準方程為15101.四、與直線相結合的問題，求橢圓的標準方程。例：已知中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓與直線 xy10 交于 A 、B 兩點，M 為AB 中點， OM 的斜率為0.25 ，橢圓的短軸長為 2 ，求橢圓的方程解：由題意，設橢圓方程為x2y 21，a

7、2xy 102由，得 1 ax22x0 ，x2y22a1a 2 xMx1x21 a2，2a2yM 1 xM12，1akOMyM11 ， a24 ，xMa 24 x2y21為所求4五、求橢圓的離心率問題。例 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率解：a 212cc23 3c2a 2 ， e13 33練：已知橢圓x2y21 的離心率 e1 ，k892求 k 值答： k4 或 k5 4橢圓標準方程針對性練習1 、橢圓兩準線間的距離等于焦距的4 倍，則此橢圓的離心率e 等于（）A 1B. 1C. 1D.223442、橢圓的兩個焦點是 F1 (0, 3) 和 F2 (0,3) ，一條準線方

8、 程是 y16 ，則此橢圓方程是3（）A x 2y 21B. x 2y 21169167C. x 2y 21D. x 2y 219167163 、由橢圓 x2y 21 的四個頂點組成的菱形916的高等于：。4 、不論 k 為何實數(shù)值，直線 y=kx+1和焦點在 x 軸的橢圓 x 2y 21總有公共點，則5的取值范圍是：。5 、已知橢圓 mx23 y26m 0 的一個焦點為（ 0 ，2 ）求 m 的值 6 、已知橢圓的中心在原點， 且經(jīng)過點 P 3，0 ，a 3b ，求橢圓的標準方程7 、 已知 P 點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點 P 到兩焦點的距離分別為45 和 2 5 ，過33P 點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程8 、求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過A(3 ,2) 和 B( 2 3 ,1) 兩點的橢圓方程分析： 可設其方程為mx2ny21 (