靜電場的高斯定理PPT課件

1、1(3) 電荷連續(xù)分布的帶電體的電場)()(qqrrdqEdE0204)(體分布體分布dVdq )(面分布面分布dSdq )(線分布線分布dldq 電荷分布第1頁/共50頁2例題2 求均勻帶電細(xì)棒外一點(diǎn)的場強(qiáng)。設(shè)棒長為l ，帶電量q，電荷線密度為。解：建坐標(biāo)；dqdy 204dydEr dqxyr dE取電荷元dq ；確定 的方向dEcosxdEdE sinydEdE 確定 的大小dE將 投影到坐標(biāo)軸上dEP第2頁/共50頁3204dydEr ydqxr dE cosxdEdE sinydEdE 統(tǒng)一變量（r、y 是變量）若選 作為積分變量疊加sinxqEdE cosyqEdE sindE c

2、osdE tan()2yx 2cscdyxd 222cscrx sinxr cotx 第3頁/共50頁40sin4dx 0cos4dx 210sin4xEdx 210cos4yEdx 22xyEEE可求得:120coscos4x ()210sinsin4x ()dqxr dE2 1 sinxdEdE cosydEdE 第4頁/共50頁5討論中垂線上一點(diǎn)的場強(qiáng)120coscos4xEx ()210sinsin4yEx ()由對稱性，Ey= 02221coscos/24llx 則22044xlElxx 若 x l （無限長帶電線模型）120,xE02x 第5頁/共50頁6建坐標(biāo)；204dqdEr

3、取電荷元dq確定 的方向dE確定 的大小dE將 投影到坐標(biāo)軸上dE統(tǒng)一變量對分量疊加求電場強(qiáng)度的步驟cosxdEdE sinydEdE 合成第6頁/共50頁7例題3 求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。設(shè)圓環(huán)帶電量為q ，半徑為R解：建坐標(biāo)；dqdl 204dldEr 取電荷元dq ，確定 的方向dEcosdEdE sindEdE 確定 的大小dE將 投影到坐標(biāo)軸上dEdEr xRLdq第7頁/共50頁8cosqEdEdE 20cos4qEr 3223020244(1)qxqExRxx討論：當(dāng)x 遠(yuǎn)大于環(huán)的半徑時(shí)，方向在 x 軸上，正負(fù)由q 的正負(fù)決定。說明遠(yuǎn)離環(huán)心的場強(qiáng)相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場。由對稱性

4、可知，P點(diǎn)場強(qiáng)只有x 分量20cos4Ldqr 20cos4Ldqr 322204()qxRxdEr xRLdqP第8頁/共50頁9322204()xqxERx場強(qiáng)大小沿軸的分布情況：第9頁/共50頁1023220)( 4 RxxqE20 RqEdRRqd2dxPRRd2/122)(Rx 23220)( 4 ddRxxqEx23220)(d2RxRxRxyzo0R解 由例3例4 求均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。 圓盤面電荷密度為 ，半徑為 R第10頁/共50頁11xEEd)11(220220RxxxE0RxyzoEdRPRd002/3220)(d2RRxRRx23220)(d2dRxRxREx

5、第11頁/共50頁12 相當(dāng)于均勻無限大帶電平面附近的電場，場強(qiáng)垂直于板面，正負(fù)由電荷的符號(hào)決定。02E =用泰勒級(jí)數(shù)展開1222221()1xRRxx22022REx 22022Rx204qx在遠(yuǎn)離帶電圓平面處，相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場強(qiáng)。討論211()2Rx當(dāng)x R時(shí)當(dāng)x R時(shí))11(220220RxxxE第12頁/共50頁13例5 兩塊無限大均勻帶電平面，已知電荷面密度為，計(jì)算場強(qiáng)分布。解：由場強(qiáng)疊加原理 E E E E E E0022 EEE兩板之間：兩板之外： E = 0第13頁/共50頁14求一段均勻帶電圓弧所在圓心上的場強(qiáng)解：課后思考：dE 取 dq =dldE如圖示204dldER c

6、ossindEdEdEdEdE 由對稱性qEdE22002cos4RdR 0sin22R 取對稱軸第14頁/共50頁157.3 靜電場的高斯定理高斯，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家。 第15頁/共50頁16一、電場線和電通量 除此之外，還可以應(yīng)用電場線將場強(qiáng)分布形象地描繪出來。1.電場線(electric field line) 為了使電場的分布形象化，可用一簇空間曲線描述場強(qiáng)分布，通常把這些曲線稱為電場線又稱 線。E第16頁/共50頁17方向：曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的場強(qiáng)方向一致；E 電場線是按照下述規(guī)定在電場中畫出的一系列假想的曲線：大?。和ㄟ^電場中某點(diǎn)，垂直于場強(qiáng)的單位面積的電力線

7、根數(shù)，等于該點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小。dsEdSdNEdS電場線密集的地方場強(qiáng)大。電場線稀疏的地方場強(qiáng)小，第17頁/共50頁18 電場線的性質(zhì)電場線起始于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)， 終止于負(fù)電荷，不會(huì)在沒有電荷處中斷；兩條電場線不會(huì)相交；電場線不會(huì)形成閉合曲線。 電場線的這些性質(zhì)是由靜電場的基本性質(zhì)和場的單值性決定的?？捎渺o電場的基本性質(zhì)方程加以證明。第18頁/共50頁19點(diǎn)電荷的電場線正點(diǎn)電荷負(fù)點(diǎn)電荷2.電場線的形狀第19頁/共50頁20一對等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電場線第20頁/共50頁21一對等量正點(diǎn)電荷的電場線第21頁/共50頁22一對不等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電場線第22頁/共50頁23帶電平行板電容器的電場線

8、第23頁/共50頁242.電通量(electric flux)定義：通過電場中某一曲面的電場線的條數(shù)稱為通過該面的電通量，用 表示。均勻電場，平面S 與 垂直。SEeES 均勻電場，平面S的 法線方向與 成 角。SEESESecosEEeESSn第24頁/共50頁25非均勻電場，S 為任意曲面cosedEdS E dSSeEdScosdS有兩個(gè)法線方向，d可正可負(fù)。 為面元矢量nds第25頁/共50頁260E dS0E dSSSeSdEEdScosnnEE2 2 ，2 ，2 規(guī)定：閉合面上各面元的外法線方向?yàn)檎颉＜锤鱾€(gè)面元的 均是從曲面內(nèi)指向曲面外。n電力線穿出閉合面為正通量，電力線穿入閉合

9、面為負(fù)通量。S 為任意閉合曲面第26頁/共50頁27所以， 表示穿出與穿入閉合曲面的電場線的條數(shù)之差，也就是凈穿出閉合曲面的電場線的總條數(shù)。eSSeSdEEdScosnnEE2 2 第27頁/共50頁28第28頁/共50頁29在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以0二、靜電場的高斯定理 Gauss Law1.高斯定理的表述0qSdEiSe內(nèi)內(nèi)高斯定理可用庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理導(dǎo)出。閉合曲面稱為高斯面。第29頁/共50頁302.高斯定理的導(dǎo)出1）點(diǎn)電荷位于球面 中心r+qdS與球面半徑無關(guān)，即以點(diǎn)電荷q 為中心的任一球面，不論半徑大小如何，通過球面

10、的電通量都相等。E204rqE 022044qrrq0cosdSESdESSeSSdSrqdSE204SS第30頁/共50頁31 和 包圍同一個(gè)點(diǎn)電荷。由于電場線的連續(xù)性，通過兩個(gè)閉合曲面的電場線的數(shù)目是相等的，所以通過 的電通量：2）點(diǎn)電荷在任意閉合曲面 內(nèi)SSSee0qSdESRqESSS即：通過任一個(gè)包圍點(diǎn)電荷的閉合曲面的電通量與曲面無關(guān)，結(jié)果都等于0q/第31頁/共50頁32+q 因?yàn)橛袔讞l電場線穿進(jìn)面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電場線從面內(nèi)穿出來。3）點(diǎn)電荷在閉合曲面 之外 若將前幾例中等式右面的 q 理解為“封閉面內(nèi)的電荷”，此處的“0”可以和前面的結(jié)果統(tǒng)一起來。S0SeSdE第32頁/共5

11、0頁334）在點(diǎn)電荷系的電場中，通過任意閉合曲面的電通量nkkiiEEEEEE11面內(nèi)電荷面外電荷SeSdESiSdE00001qqk)(內(nèi)內(nèi)iq01)()(外外內(nèi)內(nèi)iSiSSdESdE 是指面內(nèi)電荷代數(shù)和)(內(nèi)內(nèi)iq)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01iq1q2q1kqnqESd第33頁/共50頁34高斯定理 (Gauss Law) )(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01 在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以iq1q2q1kqnqESd0第34頁/共50頁35)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01高斯定理幾點(diǎn)說明:1） 為高斯面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，是由所 有內(nèi)外電荷共同產(chǎn)生的總

12、電場強(qiáng)度。2）僅高斯面內(nèi)的電荷對高斯面的電場強(qiáng) 度通量有貢獻(xiàn)。5）高斯定理反映了靜電場的基本性質(zhì) 靜電場是有源場。E3）穿進(jìn)高斯面的電通量為正，穿出為負(fù)。4）源于庫侖定律 高于庫侖定律。第35頁/共50頁36 表明有電場線從閉合曲面內(nèi)穿出，所以正電荷是發(fā)出電通量的源。 表明有電場線穿入閉合曲面而終止于負(fù)電荷，所以負(fù)電荷是吸收電通量的源。說明靜電場是有源場.)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE0100 eiq)(內(nèi)內(nèi)若若00 eiq)(內(nèi)內(nèi)若若第36頁/共50頁37)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01思考？1）高斯面上的 與哪些電荷有關(guān)？E2）哪些電荷對閉合曲面的 有貢獻(xiàn)？e3）若通過一閉合曲面的 通量為零，則此閉合曲

13、面上的 一定：EE（1）為零，也可能不為零；（2）處處為零。第37頁/共50頁38例題 一點(diǎn)電荷位于邊長為 a 的立方體的頂角上（如圖），求過該立方體表面的電通量。解：顯然頂角所在的三個(gè)面上的通量為零其余三個(gè)面上直接計(jì)算困難考慮用 8 個(gè)這樣的立方體將點(diǎn)電荷擁在中心其外表面上的通量為由對稱性0324eq 0q SeSdE第38頁/共50頁394. 高 斯 定 理 的 應(yīng) 用)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01Applications of Gauss Law 高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用是：計(jì)算帶電體周圍電場的電場強(qiáng)度。常見的具有對稱性分布的源電荷有：求解的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)母咚姑妗?實(shí)際上，只有在場強(qiáng)分布具有

14、一定的對稱性時(shí)，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場強(qiáng)。第39頁/共50頁40 常見的對稱性電荷分布類型： 均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等；無限大的均勻帶電平面，平板等。球?qū)ΨQ分布：軸對稱分布：平面對稱分布：第40頁/共50頁41對稱性分析： 分析場強(qiáng)分布是否具有某種對稱性 （球?qū)ΨQ、軸對稱、面對稱等） 利用高斯定理求解。步驟： 根據(jù)對稱性選擇合適的高斯面； 計(jì)算電通量及 ； )(內(nèi)內(nèi)iq第41頁/共50頁42如何選取高斯面：1）高斯面必須通過所求的場點(diǎn)；2）高斯面的形狀必須簡單規(guī)則，以便于計(jì)算穿過該高斯面的電通量3）使高斯面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，方向與高

15、斯面法線方向一致?；蚋咚姑嫔夏骋徊糠指鼽c(diǎn)的場強(qiáng)方向與高斯面法線方向垂直，該部分的通量為零。而另一部分各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，方向與高斯面法線方向一致。第42頁/共50頁43例題 求均勻帶電球面的電場。（已知R、 q ）解：對稱性分析E具有球?qū)ΨQ性作高斯面球面rR面內(nèi)電量 0iq用高斯定理求解：2140Er 10ErE214Er SeSdE1SdSE01cosSdSE1R1） 高斯面第43頁/共50頁44rR qqi0224 qrE E204qR21rrROE224Er 2204qErrSeSdE2SdSE22）第44頁/共50頁45例題 求均勻帶電球體的電場。（已知 q、R）解：RqEr R電量 qqi由高斯定理024 qrE 場強(qiáng)204rqE 電通量RqEr24rESdESe第46頁/共50頁47RqorER204Rqo均勻帶電球體場強(qiáng)大小分布曲線204rqERr,304RqrERr ,第47頁/共50頁48解：Sqi內(nèi)