第六講周期性與指數(shù)函數(shù)

1、長沙市一中數(shù)學(xué)講義（內(nèi)部使用）第六講：函數(shù)的周期性與二次函數(shù)一知識點(diǎn)梳理1.周期性: 周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對定義 域內(nèi)的任意x,都有,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù), 稱T為這個(gè)函數(shù)的周期. 最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的 正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 2.周期性函數(shù)的性質(zhì): 函數(shù)周期性常用結(jié)論: 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x: 若，則T=2a(a>0);若 ,則T=2a(a>0).若，則，其中a>0,b>0且3. 二次函數(shù)的三種表示(1) 一般式:y=ax2+bx+c

2、(a0); (2) 兩點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0);(3) 頂點(diǎn)式: y=a(x-x0)2+n(a0).4. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象形狀主要由對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)值等是處理二次函數(shù)問題的重要依據(jù).5. 一元二次方程的根的分布問題二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根的分布問題是一個(gè)比較復(fù)雜的問題,給定一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0).(1) 若f(x)=0在(m,n)(m<n)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則需滿足f(m)·f(n)<0,或f(m)=0,另一根在(m,n)內(nèi),或f(n)=

3、0,另一根在(m,n)內(nèi).(2) 若f(x)=0在(m,n)(m<n)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,則需滿足(3) 設(shè)x1,x2為方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根:若x1<m<x2,則f(m)<0;若m<x1<n<p<x2<q,則需滿足(4) 若方程f(x)=0的兩根中一根小于m,另一根大于n(m<n),則需滿足(5) 若二次方程f(x)=0的兩根都大于r,則需滿足二考點(diǎn)突破1.函數(shù)周期性及其應(yīng)用 例1：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x) 是偶函數(shù),f(1-x)=f(1+x),若f(0.5)=9,則f(8.5)= (2)(2014·

4、四川高考)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x-1,1)時(shí), 則 . 總結(jié)：函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用 (1)判定:只需證明f(x+T)=f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T. (2)應(yīng)用:根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期. 變式練習(xí)：1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則() A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù) 2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足 f(x+2)

5、=f(x),若當(dāng)x0,1)時(shí), ,則 的值為 3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并 且 ,當(dāng)2x3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)= .4.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3x<-1時(shí),f(x)=-(x +2)2;當(dāng)-1x<3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2015)= 5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意 的xR,都有f(x+2)=f(x).當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x2.若直線y=x+a與函數(shù) y=f(x)的圖像在0,2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值是 2.求二次函數(shù)的解析式例2：已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)

6、系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3),且方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求二次函數(shù)f(x)的解析式.總結(jié)：二次函數(shù)、一元二次不等式和一元二次方程之間具有非常密切的關(guān)系.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是其對應(yīng)的一元二次方程的根,也就是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn).因而在解題時(shí)要充分利用它們之間的關(guān)系.變式練習(xí)：1. 已知某二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是(1,-3),且過點(diǎn)P(2,0),那么此函數(shù)的解析式是.2.已知二次函數(shù)f(x)=x2-2bx+a,滿足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求函數(shù)f(x)的解析式.3. 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a

7、0)滿足f(0)=-1,對任意的xR都有f(x)x-1,且f=f,求函數(shù)f(x)的解析式.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3：已知aR,函數(shù)f(x)=x2-2ax+5.(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若不等式f(x)>0對任意的x(0,+)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（3）若a>1,且函數(shù)f(x)的定義域和值域均為1,a,求實(shí)數(shù)a的值.變式練習(xí)：1. 已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在0,3上有最大值4和最小值1,求a,b的值.2. 已知函數(shù)在的最小值為，求的表達(dá)式4.一元二次方程實(shí)根的分布問題例4：已知函數(shù)f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2與x軸非負(fù)半軸至少

8、有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 變式練習(xí)：若關(guān)于x的方程x2+2kx-1=0的兩根x1,x2滿足-1x1<0<x2<2,求k的取值范圍.當(dāng)堂檢測1.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a+4的值域?yàn)?,+),那么實(shí)數(shù)a的值為.2.若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.3.設(shè)函數(shù)f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=0,則關(guān)于x的不等式f(x)1的解集為.4. 已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)x(-,-1)時(shí),它是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x(-1,+)時(shí),它是單調(diào)增函數(shù),那么實(shí)數(shù)m=.5. 函數(shù)f(x)=2x2-6x+1在區(qū)間-1,

9、1上的最小值為,最大值為.6.已知不等式ax2-bx-10的解集是2,3,那么不等式x2-bx-a<0的解集是.7.對于任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒為正值,則a的取值范圍是.8.已知滿足，且的兩個(gè)實(shí)根分別在和內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。9. 已知函數(shù)在區(qū)間有最小值3，求a的取值范圍.課后作業(yè)（函數(shù)的周期性與二次函數(shù)）一、填空題1. 若函數(shù)y=x2+mx+1的最小值為0,則實(shí)數(shù)m=.2. 函數(shù)f(x)=2x2-4x+1在區(qū)間-1,4上的最小值是,最大值是.3. 已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),B(0,-7),且對稱軸方程為x=2,那么該函數(shù)的解析式為.4. 若

10、函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,xa,b的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則實(shí)數(shù)b=.5. 若函數(shù)f(x)=x2-2x+2的定義域和值域均為1,b,則b=.6.若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù),且滿足f(1)=1,f(2)=2,則f(3)-f(4)等于 7.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,bR,cR),若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= 則F(3)+F(-4)的值為.8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)·f(x)=1對于xR恒成立,且 f(x)>0,則f(119)= . 9.若函數(shù)f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-,4)上是

11、增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x(0,1時(shí),f(x)=x2-x,那么當(dāng)x-2,-1時(shí),f(x)的最小值為.二、解答題11.已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x-2,a,求f(x)的值域.12. 已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+3在-1,1上有最小值,記作g(a).(1) 求g(a)的表達(dá)式 (2) 求g(a)的最大值.13. (2014·廉江模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a0)滿足條件f(x+1)=f(1-x),且方程f(x)=2x有等根.(1) 求f(x)的解析式.(2) 是否存在實(shí)數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為m,n和4m,4n?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,請說明理由.參考答案1. ±22. -1173. f(x)=-3x2+12x-74. 6 5. 2 6. 77. 5,+)8. - 9. 當(dāng)-2<a-1時(shí), f(x)的值域?yàn)閍2+2a,0;當(dāng)-1<a0時(shí), f(x)的值域?yàn)?1,0;當(dāng)a>0時(shí), f(x)的值域?yàn)?1,a2+2a.10.（1） g(a)=(2) 當(dāng)a-2時(shí),g(a)1;當(dāng)-2<a<2時(shí),g(a)(1,3;當(dāng)a2時(shí),g(a)1.故g(a)的最大值為3. 11.