隨機過程馬爾科夫過程PPT課件

1、馬爾可夫 (1856年6月14日1922年7月20日）馬爾可夫?qū)?shù)學的最大貢獻是在概率論領(lǐng)域作出的十九世紀后二十年，他主要是沿著切比雪夫開創(chuàng)的方向，致力于獨立隨機變量和古典極值理論的研究，從而改進和完善了大數(shù)定律和中心極限定理 二十世紀初，他的興趣轉(zhuǎn)移到相依隨機變量序列的研究上來，從而創(chuàng)立了以他命名的著名概率模型馬爾可夫鏈第1頁/共44頁王梓坤院士(1929年)江西吉安人,1952年大學畢業(yè)后，被分派到天津南開大學數(shù)學系任教. 是一位對我國科學和教育事業(yè)作出卓越貢獻的數(shù)學家和教育家，也是我國概率論研究的先驅(qū)和學術(shù)帶頭人之一。 1954年，他又以優(yōu)異的成績考取了赴蘇研究生。踏進世界著名學府莫斯科

2、大學，在這個學府世界概率論的奠基人柯爾莫哥洛夫院士正領(lǐng)導(dǎo)看一個強有力的概率研究集團。柯爾莫高洛夫慧眼識英才，非常信賴這位由中國選派的年輕人的能力，把他選作自己的研究生，去攻概率論的中心問題隨機過程理論。 當時中國近代數(shù)學才剛剛起步，大學也沒有概率課程。此時蘇聯(lián)的概率論水平已屆于世界最前列。王梓坤也根本不知道什么是概率，可他的研究方向又恰恰被定為概率論，著有概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用、隨機過程論、生滅過程與馬爾科夫鏈等9部數(shù)學著作 第2頁/共44頁馬爾可夫過程的定義馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率與概率分布齊次馬爾可夫鏈狀態(tài)的分類轉(zhuǎn)移概率的穩(wěn)定性能本章主要內(nèi)容第3頁/共44頁 引例(有限制隨機游動問題) 設(shè)質(zhì)點只能

3、在0，1，2，a中的各點上作隨機 游動，移動規(guī)則如下：11,2,1ia（）移動前處; 1, 0,rqprqp0000,0,1p rprii+1i-1pqr010p0r20i （ ）移動前處3ia（ ）移動前處a-1aqaar,0,1aaaaq rqr設(shè)Xn表示質(zhì)點在n時刻所處的位置第4頁/共44頁1馬爾可夫過程的定義一.一. 基本概念基本概念1馬爾可夫性馬爾可夫性通俗地說，就是在知道過程現(xiàn)在的條件下，其將來的條件分布不依賴于過去，則稱),(TttX具有馬爾可夫（Markov)性。定義設(shè)),(TttX是一個隨機過程，如果),(TttX在t0時刻所處的狀態(tài)為已知，它在時刻0tt 所處狀態(tài)的條件分布

4、與其在 t0 之前 所處的狀態(tài)無關(guān)。0tt現(xiàn)在0tt將來0tt過去第5頁/共44頁2. 馬爾可夫過程定義 設(shè)),(TttX的狀態(tài)空間為S,122,nntttT 如果對( ),1,2,1iiiX txxSin在條件下)(ntX的條件分布函數(shù)恰好等于11()nnX tx在條件下的條件分布函數(shù),即11221111( ),( ),()( )(,)()nnnnnnnnnP X txP X txX txX txX txXRtxx( ),X t tT馬爾則稱為可夫過程.第6頁/共44頁3.馬爾可夫鏈定義 參數(shù)集和狀態(tài)空間都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈。注 只討論馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為有限或可列無限.則

5、馬爾可夫性可表示為12122, , ,nnntttT i iiS 對11111122()( ),( )( )(),),nnnnnnnnnP X tiP X tixX tiX tiRX tiX ti有第7頁/共44頁特別對取T=0,1,2,的馬爾可夫鏈，記為0),(nnX或0,nXn此時的馬爾可夫性為011, , ,nni iiS 對有0111(1)(1)(0),(1( )( ),nnnnP X niPXiXiX niXX niin10110111,),()nnnnnnnnXP XiP XXiXiiXii或今后,記1,2,3,0,1,2,ST,0nXn 馬爾可夫鏈記為馬氏鏈也稱,或系統(tǒng)第8頁/共

6、44頁二 馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率1. 轉(zhuǎn)移概率定義 設(shè)0,nXn是馬爾可夫鏈,稱條件概率,0nXnni(它表示系統(tǒng)在 時處于狀態(tài)的條件下經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移,于n+k時到達狀態(tài)j的條件概率).( )( )(,0,)1kijn knpnP Xj Xi jS nik,0nXn 為在n時的k步轉(zhuǎn)移概率.( )( )kijipnj稱以為第 行底 列元素的矩陣)()()()(npnkijkP,0nXn 為系統(tǒng)在n時的k步轉(zhuǎn)移概率矩陣.第9頁/共44頁( )( )ijnp nP記為特別 當k=1時，(1)( )ijnpn 為系統(tǒng)在 時的一步轉(zhuǎn)移概率,(1)(1)( )( )ijnpnP為系統(tǒng)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣( )

7、ijpn記為第10頁/共44頁定義 稱可數(shù)維的矩陣)(ijpP 為隨機矩陣，如果0,(, )1,()ijijjpi jpi顯然，0,nXn在n時的k步轉(zhuǎn)移概率矩陣)()(nkP是一隨機矩陣.特別k時，約定(0)1,00ijijijpi jS nij(0)( )I.Pn 此時為單位矩陣第11頁/共44頁實際中常會碰到具有時齊性的馬氏鏈若對任意的狀態(tài)i, j和時刻n，均有( )(1)(2)ijijijpnpnpn則稱馬氏鏈X具有時齊性，或稱X為其次馬爾科夫鏈，簡稱齊次馬氏鏈.第12頁/共44頁 引理(有限制隨機游動問題) 設(shè)質(zhì)點只能在0，1，2，a中的各點上作隨機 游動，移動規(guī)則如下：11,2,1

8、ia（）移動前處; 1, 0,rqprqp0000,0,1p rprii+1i-1pqr010p0r20i （ ）移動前處3ia（ ）移動前處a-1aqaar,0,1aaaaq rqr第13頁/共44頁設(shè)Xn表示質(zhì)點在n時刻所處的位置，則其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為,00,1, nXnSa是以為狀態(tài)空間的齊次馬爾可夫鏈.aarqprqprqprqpr000000000000000000000000P第14頁/共44頁例(天氣預(yù)報問題) 如果明天是否有雨僅與今天的天氣(是否有雨)有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān). 并設(shè)今天下雨、明天有雨的概率為a，今天無雨而明天有雨的概率為b，又假設(shè)有雨稱為0狀態(tài)天氣，無雨稱為

9、1狀態(tài)天氣. Xn表示時刻n時的天氣狀態(tài)，則0,nXn是以1 , 0S為狀態(tài)空間的齊次馬爾可夫鏈.其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為bbaa11P第15頁/共44頁天氣的變化過程還可以用不同的馬爾科夫鏈來描述，假設(shè)任意一天的天氣與前一天的天氣有關(guān)，即如果昨天和今天都為晴天，明天為晴天的概率為，昨天和今天分別為晴天和陰天，明天為晴天的概率為，昨天和今天分別為陰天和晴天，明天為晴天的概率為，如果昨天和今天都為陰天，明天為晴天的概率為。如果將陰天和晴天分別記為0,10,1，則昨天和今天的所有天氣情況可以用數(shù)對表示為集合S=S=（1,11,1），（1,01,0），（0,10,1），（1,11,1） ，由此，將數(shù)對看

10、做狀態(tài)，天氣的變化過程可用狀態(tài)空間為S S上的其次馬爾科夫鏈描述，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：第16頁/共44頁100001100001P第17頁/共44頁練習天氣預(yù)報問題，其模型是：今天是否下雨依賴于前三天是否有雨（即一連三天有雨；前面兩天有雨，第三天晴天.),問能否把這一問題歸納為一馬爾科夫鏈，如果可以，問該過程的狀態(tài)有幾個？如果過去一連三天有雨，今天有雨的概率為0.8；過去連續(xù)為晴天，而今天有雨的概率為0.2；在其他天氣情況，今天的天氣和昨天相同的概率為0.6，求這個馬兒科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率.第18頁/共44頁例2 （埃倫菲斯特模型）設(shè)一個壇子中裝有m個球，它們或是紅色的，或是黑色的，從壇子中隨機的

11、摸出一球，并換入一個相反顏色的球.其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為01000001010000000202000001010000010mmmmmmmmmP,0nXn 是以, 1 , 0mS為狀態(tài)空間的齊次馬爾可夫鏈.設(shè)經(jīng)過n次摸換,壇中黑球數(shù)為Xn,則第19頁/共44頁例3（群體增長）某種生物群體的每個個體在其生存期內(nèi)彼此獨立地產(chǎn)生后代，假設(shè)每個個體都以概率pk產(chǎn)生k個后代，且有00,(1,2,)1kkkpkp用Xn表示第n代生物群體的總數(shù)，它是生物群體的第n-1代的每個個體的后代個數(shù)的總和，因此第n+1代的個體總數(shù)僅依賴于第n代的個體總數(shù)，所以X=Xn, n=0,1,2,是一個馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為S

12、=0,1,2，第20頁/共44頁則馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率為：1()nnP Xj Xi如果記第n代的生物群體個數(shù)nXi記i個個體各自產(chǎn)生的后代數(shù)分別記為隨機變量 ，且 有概率分布12,i (0,1, )lli(),0,1,2lkPkpk故一步轉(zhuǎn)移概率為112()()nniP Xj XiPj第21頁/共44頁例4（卜里耶模型）設(shè)一個壇子里有b個黑球和r個紅球，每次隨機地從壇子中摸出一個球后再放回去，并加入c個與摸出球同顏色的球。重復(fù)以上步驟將摸球進行下去，設(shè)Xn表示第n次摸球放回后壇子中的黑球數(shù)，試寫出其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和狀態(tài)空間1( )(),1,0,ijnnpnP Xj Xiijicbrnciji

13、brnc 其他第22頁/共44頁例5：設(shè) 是相互獨立同分布的隨機變量序列，且:0nn(1),(1)1,0,0nnPpPppn 令隨機序列：0,0nnkkXn驗證：隨機序列X=Xn: n0是一個齊次馬氏鏈.第23頁/共44頁例6（網(wǎng)頁瀏覽）用集合 表示因特網(wǎng)中的所有網(wǎng)頁，假設(shè)網(wǎng)頁 上的超級鏈接數(shù)為 ，對應(yīng)的網(wǎng)頁集合為 ，用戶進入網(wǎng)頁 后，按照以下規(guī)則進入新的網(wǎng)頁；以概率p進入網(wǎng)頁集合S中任何一個網(wǎng)頁或者以概率q進入 的任一個超級鏈接，令Xn表示用戶在n次選取后所在的網(wǎng)頁，問Xn是非是一馬氏鏈，若是的話，寫出其一步轉(zhuǎn)移概率.12=NS， ，i(1)iillN()iiS SSii+,=,jiiijj

14、iqpSlNppSN第24頁/共44頁. 馬爾科夫鏈的概率分布定理 (C-K方程)()( )()( )( )(),0, ,k mkmijilljlpnpn pnkn m ki jS或矩陣形式)()()()()()(knnnmkmkPPP（解決了k步轉(zhuǎn)移概率與一步轉(zhuǎn)移概率間的關(guān)系）證明()( )k mijn k mnpnP Xj Xi ,()n kmnln kPXjliXX ,)()n k mnn klPXj XliX,)()n k mnnlkPXj XiXl 第25頁/共44頁)(,)(nn k mnnn klkPXiP Xj XXlXil )()nn k mn kn klPXiPllXXj

15、X ( )()( )()kmilljlpn pnk系統(tǒng)在n 時從狀態(tài)i的出發(fā),經(jīng)過k+m步轉(zhuǎn)移,于n+k+m時到達狀態(tài)j,可以先在n時從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移于n+k時到達某種中間狀態(tài)l,再在n+k時從中間狀態(tài)l出發(fā)經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移于n+k+m時到達最終狀態(tài)j,而中間狀態(tài)l要取遍整個狀態(tài)空間S.C-K方程的直觀意義：第26頁/共44頁定理 馬爾可夫鏈的k 步轉(zhuǎn)移概率由其一步轉(zhuǎn)移概率 所完全確定.若取m=1,則由C-K方程的矩陣形式:)()()()()()(knnnmkmkPPP得(1)( )(1)( )( )()kknnnkPPP(1)( )(1)()knnknkPPP( )(1)(1)()nn

16、nknkPPPP分量形式11 212(1)( )( )(1)()kkkijijj jj jjjjpnpnpnpnk ( ,0)n k ( ,0, ,)n ki jS第27頁/共44頁齊次馬爾可夫鏈為方便，一般假定時間起點為零即對齊次馬爾可夫鏈，k步轉(zhuǎn)移概率也與起始時刻n無關(guān)記為( )kijp( )0(),0kijkpP Xj Xii jS k相應(yīng)的k步與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別記為(k)PP與第28頁/共44頁例：設(shè)Xn, n0是描述天氣變化的齊次馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為S=0,1,其中0,1分別表示有雨和無雨，X的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.70.30.40.6P試對任意的i, jS,計算三步轉(zhuǎn)移概率(

17、3)ijp20.610.390.520.48P320.5830.4170.5560.444PPP第29頁/共44頁1）初始分布(0)0(),iqP XiiS稱為馬爾可夫鏈的初始分布3.馬爾可夫鏈 的分布0,nXn稱 第i個分量為)0(iq的(行)向量)0(q為馬爾可夫鏈的初始分布向量. 即)()0()0(iqq2）有限維分布定理 馬爾可夫鏈0,nXn的有限維分布由其初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率所完全確定.證明12121, 0, , , ,nnnttt i ii iS 對第30頁/共44頁1212,ntttnP Xi XiXi12120,(),ntnittPXi XiXiiX12201,(),ntti

18、tnPXi XXiiXi12012(,)ntttniPXi XiXiXi121110200,()()()tttiXiXiPP XXiiP XiXi11110(,)nntnttnXiP XiXiXi12100121()()()tttiXiXiPP XiP Xi Xi11()nntntnP Xi Xi112111 21(0)11(0)( )().nninntttttiii iiiniqpptpt第31頁/共44頁又因為馬爾可夫鏈的k步轉(zhuǎn)移概率由一步轉(zhuǎn)移概率所完全確定.所以馬爾可夫鏈的有限維分布由其初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率所完全確定.第32頁/共44頁3）絕對分布( )(),0,njnqP XjnjS

19、稱為馬爾可夫鏈 的絕對分布0,nXn稱 第j個分量為)(njq的(行)向量)0(q為馬爾可夫鏈0,nXn的絕對分布向量. 即)()()(njnqq絕對分布、初始分布和n步轉(zhuǎn)移概率有如下關(guān)系：( )(0)( )(0)0, ,nnjiijiqqpni jS或矩陣形式)0()()0()(nnPqq第33頁/共44頁( )()njnqP Xj(0)( )(0)0, ,niijiqpni jS0(),)niPXiXj0(,)niPXi Xj0(,)niP Xi Xj00()()niP XiP Xj Xi第34頁/共44頁( )( )(0)(1),0;(2),0;(3) ,0kkkknkkXnPPqqP的

20、有限維分布由其初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率所完全確定齊次馬氏鏈有相應(yīng)的結(jié)果第35頁/共44頁例 設(shè)0,nXn是具有三個狀態(tài)0，1，2的齊次馬爾可夫鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為3104411142431044P初始分布, 2 , 1 , 0,31)0(iqi試求：022(1) (0,1);(2) (1).P XXP X第36頁/共44頁解020201(0,1)(0(10)P XXP XP XX（）)(2)0113p(2)01p其中為一個兩步轉(zhuǎn)移概率，在兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣中是第一行第二列的元素.22PP（ ）5181 65131 621 63911 611 6645(2)01516p02(0,1)P XX15

21、53 1648第37頁/共44頁(0)(2)21(2)(1)iiiP Xqp(2)(2)(2)0111211()3ppp1 519()3 162161124第38頁/共44頁例：如果將社會家庭中個體的收入分為低收入、中等收入和高收入三個等級，則早在20世紀50年代，社會學研究者發(fā)現(xiàn)個體收入的等級在很大程度上取決于其父代收入的等級。如果令Xn表示一個家庭第n代個體的收入等級，并用1,2,3分別表示低收入，中等收入和高收入，則一個家庭中相繼的后代收入等級的變化可以用其次馬爾科夫鏈來描述，狀態(tài)空間為S=1,2,3，并且有以下的轉(zhuǎn)移的概率矩陣0.650.280.070.150.670.180.120.360.52P第39頁/共44頁如果當前收入等級為3，試分析經(jīng)過三代后個體收入等級轉(zhuǎn)變?yōu)?的可能性，進一步分析經(jīng)過n代后個體收入等級的概率分布，并具體計算n=10時個體收入等級的概率分布。(3)3032(23)0.49P XXp(10)(10)