第十章Stokes公式

1、stokesstokes 公式公式一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式 前面所介紹的前面所介紹的 gauss 公式是公式是 green 公式的推廣公式的推廣下面我們下面我們 從另一個(gè)角度來推廣從另一個(gè)角度來推廣green 公式。公式。 green 公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系， stokesstokes公式則是把曲面上的曲面積分與沿曲面的邊界曲線公式則是把曲面上的曲面積分與沿曲面的邊界曲線上的曲線積分聯(lián)系起來上的曲線積分聯(lián)系起來定理定理 設(shè)設(shè) 為分段光滑的空間有

2、向閉曲線為分段光滑的空間有向閉曲線, , 是以是以 為邊界的分片光滑的有向曲面為邊界的分片光滑的有向曲面, , 的正向與的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則的側(cè)符合右手規(guī)則, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxp, ,),(zyxq, ,),(zyxr在包含曲面在包含曲面 在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdxn 右手法則右手法則 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 證明證明如圖如圖設(shè)設(shè)與與平平行行于于z軸軸的的直直線線相相交交不不多多于于一一點(diǎn)點(diǎn), , 并

3、并取取上上側(cè)側(cè), ,有有向向曲曲線線 c c 為為的的正正向向邊邊界界曲曲線線 在在xoy的的投投影影. .且且所所圍圍區(qū)區(qū)域域xyd. .xyzo),(:yxfz xyd cn思路思路曲面積分曲面積分1二重積分二重積分2曲線積分曲線積分dsypzpdxdyypdzdxzp)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yfdsfzpypdxdyypdzdxzpy cos)( dxdyfzpypdxdyypdzdxzpy)( 即即yfzpypyxfyxpy ),(,),(,dxdyyxfyxpydxdyypdzdxzpxyd 1根椐格林公式根椐格林公式 cddxyxfyxpdxdyy

4、xfyxpyxy),(,),(,dxyxfyxpdxdyypdzdxzpc ),(,即即平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxpdxdyypdzdxzp 空間有向曲線空間有向曲線同理可證同理可證,),(dyzyxqdydzzqdxdyxq ,),(dzzyxrdzdxxrdydzyr dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx.故有結(jié)論成立故有結(jié)論成立.便于記憶形式便于記憶形式 rdzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydz另一種形式另一種形式 rdzqdypdxdsrqpzyx coscoscoscos,cos,cos n其中其中stoke

5、sstokes公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì): : 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系. .( (當(dāng)是當(dāng)是xoy面的平面閉區(qū)域時(shí)面的平面閉區(qū)域時(shí)) )斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線積積分分ydzxdyzdx , , 其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界, ,它它的的正正向向與與這這個(gè)個(gè)三三角角形形上上側(cè)側(cè)的的法法向向量量之之間間符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則. . 解解0 xyd

6、xyzn111按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz弦都為正，弦都為正，的法向量的三個(gè)方向余的法向量的三個(gè)方向余由于由于 再由對(duì)稱性知：再由對(duì)稱性知： dxdydzdxdydz xydd3如圖如圖xydxyo11xyddzyxdyzdx 23 例例2 計(jì)算計(jì)算 dzyxdyxzdxzy)()()(1,222 bzaxayx為橢圓為橢圓其中其中 從從 x 軸正向看去，橢圓取逆時(shí)針方向軸正向看去，橢圓取逆時(shí)針方向解一解一用用 stokes stokes 公式公式 rdzqdypdx rqpzyxdxdydzdxdydzxyzo dxdydzdxdydz

7、)11()11()11( dxdydzdxdydz2坐標(biāo)面垂直坐標(biāo)面垂直與與 zox 0dzdx面面的的投投影影為為一一橢橢圓圓在在 yoz 1222bzaxayx消去消去 x 得得1)(2222 aybbz yzdabdydzdydz（橢圓面積橢圓面積）222ayxxoy ：面的投影面的投影在在 xydadxdydxdy2（圓面積圓面積） )(2baardzqdypdx解二解二化為參變量的定積分計(jì)算化為參變量的定積分計(jì)算 tytxsincos令令)cos1()1(tbaxbz 則則 20)sin)(cos1(sintatbtai tbtatatatatbsinsincoscoscos)cos

8、1( )(2baa 解三解三 投影方法投影方法 1:222bzaxayx 將將投影到投影到 xoy 面得投影曲線面得投影曲線222:ayxc （逆時(shí)針方向）（逆時(shí)針方向）記記 c 所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)?d rdzqdypdxi cdyxaxbdxaxby)1()1()1()(axbdyx cdyxabbdxbyab)1()1( ddxdyab)1(2green公式公式)(2baa 三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 前面我們利用前面我們利用green公式得到了平面曲線積分公式得到了平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，完全類似地，利用與路徑無關(guān)的條件，完全類似地，利用st

9、okes stokes 公公式可推得空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件式可推得空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 空間一維單連域：若空間一維單連域：若 g 內(nèi)任一閉曲線總可以內(nèi)任一閉曲線總可以張一張完全屬于張一張完全屬于 g 的曲面，則稱的曲面，則稱 g 為空間一維為空間一維單連域，或稱單連域，或稱 g 為按曲面是單連通區(qū)域?yàn)榘辞媸菃芜B通區(qū)域內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在）的的充充要要條條件件是是為為任任一一閉閉曲曲線線的的曲曲線線積積分分內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)（或或沿沿在在間間曲曲線線積積分分一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則空空內(nèi)內(nèi)具具有有在在是是空空間間一一維維單單連連域域，設(shè)設(shè)定定理理gzpxryr

10、zqxqypggrdzqdypdxgrqpg ,0, 應(yīng)用上述定理，并仿照以前的證明方法可得到應(yīng)用上述定理，并仿照以前的證明方法可得到內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在的的全全微微分分的的充充要要條條件件內(nèi)內(nèi)是是某某一一函函數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則內(nèi)內(nèi)具具有有在在是是空空間間一一維維單單連連域域，設(shè)設(shè)定定理理gzpxryrzqxqypzyxugrdzqdypdxgrqpg ,),(, ),(),(000),(zyxzyxrdzqdypdxzyxu xxyydyzyxqdxzyxpzyxu00),(),(),(000 zzdzzyxr0),(oxyzm0m1m2m四、物理意義四、物理意義

11、-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度1. 1. 環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義: :.),(),(),(),(按所取方向的環(huán)流量按所取方向的環(huán)流量沿曲線沿曲線稱為向量場(chǎng)稱為向量場(chǎng)上的曲線積分上的曲線積分中某一封閉的有向曲線中某一封閉的有向曲線則沿場(chǎng)則沿場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng)cardzqdypdxsdacakzyxrjzyxqizyxpzyxacc 利用利用stokesstokes公式公式, , 有有sdrqpzyxkjisdac 環(huán)流量環(huán)流量2. 2. 旋度的定義旋度的定義: :. )(arotrqpzyxkji為向量場(chǎng)的旋度為向量場(chǎng)的旋度稱向量稱向量 rqpzyxkjiarot 旋度旋度.)()()(kypxq

12、jxrzpizqyr 斯托克斯公式的又一種形式斯托克斯公式的又一種形式dsypxqxrzpzqyrcos)(cos)(cos)( dsrqp)coscoscos( 其中其中,coscoscoskjin 的的單單位位法法向向量量為為kjit coscoscos 的的單單位位切切向向量量為為斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstadsnarot其中其中 cos)(cos)(cos)()(ypxqxrzpzqyrnarotarotn coscoscosrqpnaat dsasdarott環(huán)流量環(huán)流量stokes公式的物理解釋公式的物理解釋:向向量量場(chǎng)場(chǎng)a沿沿有有向向閉閉曲曲線線 的的環(huán)

13、環(huán)流流量量等等于于向向量量場(chǎng)場(chǎng)a的的旋旋度度場(chǎng)場(chǎng)通通過過 所所張張的的曲曲面面的的通通量量. .( ( 的的正正向向與與 的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手法法則則) )例例4 設(shè)一剛體繞過原點(diǎn)的某個(gè)軸設(shè)一剛體繞過原點(diǎn)的某個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為 321, 剛體在每一點(diǎn)的線速度構(gòu)成一線剛體在每一點(diǎn)的線速度構(gòu)成一線速場(chǎng)，則向量速場(chǎng)，則向量 zyxomr, 在點(diǎn)在點(diǎn) m 處的線速度場(chǎng)的旋度處的線速度場(chǎng)的旋度等于角速度的等于角速度的 2 倍倍mv lo解解由力學(xué)知道點(diǎn)由力學(xué)知道點(diǎn) 的線速度為的線速度為m rv zyxkji321 觀察旋度觀察旋度vrot .22,2,2321 由此可看出速由此可看

14、出速度場(chǎng)的旋度與度場(chǎng)的旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系關(guān)系.五、向量微分算子五、向量微分算子kzjyix -hamilton 算子算子graduu graduuu 2)()(kzujyuixukzjyix uzuyuxu 222222-laplace算子算子krjqipa divazryqxpa rotarqpzyxkjia 若若 p，q , r 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)， 即得即得0)( rotadiv-即旋度場(chǎng)是無源場(chǎng)即旋度場(chǎng)是無源場(chǎng)0)( gradurot-即梯度場(chǎng)是無旋場(chǎng)即梯度場(chǎng)是無旋場(chǎng)六、小結(jié)六、小結(jié)斯托克斯公式斯托克斯公式 dsrqpzyxcoscoscos r

15、dzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydz dstadsnarot斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 計(jì) 算計(jì) 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圓 周是 圓 周2,222 zzyx若從若從z軸正向看去軸正向看去, ,這圓周是這圓周是逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向 . . 二、二、 計(jì) 算計(jì) 算 dzxdyzdxy222, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和園柱面和園柱面axyx 22的交線的交線)0,0( za, ,從從x軸正向看去軸正向看去, ,曲線為逆時(shí)針方曲線為逆時(shí)針方向向 . . 三、三、 求向量場(chǎng)求向量場(chǎng)jyxziyza)cos()sin( 的旋度的旋度 . . 四四、利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式把把曲曲面面積積分分 dsnarot化化成成曲曲 線線積積分分, ,并并計(jì)計(jì)算算積積分分值值, ,其其中中a, , 及及n分分別別如如下下: : kxzjxyiya 2, , 為為上上半半個(gè)個(gè)球球面面 221yxz 的的上上側(cè)側(cè), , n