學位統考科-工程力學復習課件

1、q學習與應該掌握的內容v材料力學的基本知識v基本變形的主要特點v內力計算及內力圖v應力計算v二向應力狀態(tài)及強度理論v強度、剛度設計q材料力學的研究模型v材料力學研究的物體均為變形固體，簡稱“構件”；現實中的構件形狀大致可簡化為四類，即桿、板、殼和塊。v桿-長度遠大于其他兩個方向尺寸的構件。桿的幾何形狀可用其軸線（截面形心的連線）和垂直于軸線的幾何圖形（橫截面）表示。軸線是直線的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。各橫截面相同的直桿，稱為等直桿；v材料力學的主要研究對象就是等直桿。q變形v 構件在載荷作用下，其形狀和尺寸發(fā)生變化的現象；變形固體的變形通常可分為兩種：l 彈性變形-載荷解除后變

2、形隨之消失的變形l 塑性變形-載荷解除后變形不能消失的變形v 材料力學研究的主要是彈性變形，并且只限于彈性小變形，即變形量遠遠小于其自身尺寸的變形q變形固體的基本假設v 連續(xù)性假設l 假設在固體所占有的空間內毫無空隙的充滿了物質v 均勻性假設l 假設材料的力學性能在各處都是相同的。v 各向同性假設l 假設變形固體各個方向的力學性能都相同q材料的力學性能v-指變形固體在力的作用下所表現的力學性能。q構件的承載能力：v強度-構件抵抗破壞的能力v剛度-構件抵抗變形的能力v穩(wěn)定性-構件保持原有平衡狀態(tài)的能力q內力的概念v構件在外力作用時，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內部質點之間的相互作用力也將隨之改變，這

3、個因外力作用而引起構件內部相互作用的力，稱為附加內力，簡稱內力。其中：Mx、My、Mz為主矩在x、y、z軸方向上的分量。FNx、FQy、FQz為主矢在x、y、z軸方向上的分量。 F FN Nx x使桿件延x方向產生軸向拉壓變形，稱為軸力 F FQ Qy,Fy,FQ Qz z使桿件延y,z方向產生剪切變形，稱為剪力 Mx 使桿件繞x軸發(fā)生扭轉變形，稱為扭矩 My、Mz使得桿件分別繞y z軸產生彎曲變形，稱為彎矩利用力系簡化原理，截面m-m向形心C點簡化后，得到一個主矢和主矩。在空間坐標系中，表示如圖q截面法求內力步驟v將桿件在欲求內力的截面處假想的切開；v取其中任一部分并在截面上畫出相應內力；v

4、由平衡條件確定內力大小。例：左圖左半部分：Fx=0 FP=FN右半部分：Fx=0 FP,=FN,q已知小型壓力機機架受力F的作用，如圖，試求立柱截面m-n上的內力解：1、假想從m-n面將機架截開（如圖）；2、取上部，建立如圖坐標系，畫出內力FN，MZ （方向如圖示）。（水平部分/豎直部分的變形？）3、由平衡方程得：Fy=0 FP-FN=0FN=FPMo=0 Fp a - Mz=0Mz =Fp a載荷特點：受軸向力作用變形特點：各橫截面沿軸向做平動內力特點：內力方向沿軸向，簡稱 軸力FN軸力正負規(guī)定：軸力與截面法向相同為正FN=P載荷特點：作用力與截面平行（垂直于軸線）變形特點：各橫截面發(fā)生相互

5、錯動內力特點：內力沿截面方向（與軸向垂直），簡稱 剪力剪力FQ剪力正負規(guī)定：左下（右上）為正左下：指左截面（左半邊物體）剪力向下載荷特點：受繞軸線方向力偶作用（力偶作用面平行于橫截面）變形特點：橫截面繞軸線轉動內力：作用面與橫截面重合的一個力偶，稱為扭矩T正扭矩的規(guī)定：其轉向與截面外法向構成右手系T=M基本變形-彎曲（平面）載荷特點：在梁的兩端作用有一對力偶，力偶作用面在梁的對稱縱截面內。變形特點：梁的橫截面繞某軸轉動一個角度。中性軸（面）內力：作用面垂直橫截面的一個力偶，簡稱彎矩M彎矩的正負規(guī)定：使得梁的變形為上凹下凸的彎矩為正。（形象記憶：盛水的碗）q應力的概念v單位面積上內力的大小，稱為

6、應力v平均應力Pm，如圖所示FAPm=正應力 單位面積上軸力的大小，稱為正應力；切應力 單位面積上剪力的大小，稱為切應力應力單位為：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡)常用單位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2A截面面積對于一個單元，在其相互垂直的兩個面上，沿垂直于兩面交線的切應力必成對出現，且大小相等，方向均指向或背離兩面的交線，此關系稱為切應力互等定律或切應力雙生定律。 在研究變形體內某一點的應力時，通常圍繞該點作一個無限小的正六面體，簡稱 單元（體）；此單元的各截面分別代表該點在不同方向截面的應力。 單元受力最基本也是最簡單的形式有兩種：單向拉壓和純剪切-簡稱單向應力狀

7、態(tài)（如圖）q構件在外力作用下，其變形的大小用位移和應變來度量。q如圖：vAA連線稱為A點的線位移v角度稱為截面m-m的角位移，簡稱轉角v注意，單元K的形狀也有所改變q分析單元Kv單元原棱長為x，u為絕對伸長量，其相對伸長u/ x的極限稱為沿x方向的正應變。u x即： x=limx2. a點的橫向移動aa，使得oa直線產生轉角，定義轉角為切應變=aaoa=aax)q實驗證明：v 當正應力小于某一極限值時，正應力與正應變存在線性關系，即：=稱為胡克定律，E為彈性模量，常用單位：Gpa（吉帕）v 同理，切應變小于某一極限值時，切應力與切應變也存在線性關系即：=此為剪切胡克定律，G為切變模量，常用單位

8、：GPa鋼與合金鋼E=200-220GPaG=75-80GPa鋁與合金鋁E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡膠E=0.008GPaq第5章桿件的內力v14-1軸向拉伸或壓縮桿件的內力v14-2扭轉圓軸的內力q定義v 以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉伸或壓縮q內力的計算v 截面法l 如左圖q內力的表示v 軸力圖-形象表示軸力沿軸線變化的情況q例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 畫桿件軸力圖。解：1)截面法求AC段軸力，沿截面1-1處截開，取左段如圖14-1-2所示Fx=0 FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段軸力，從

9、2-2截面處截開，取右段，如圖14-1-3所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN（負號表示所畫F FN2N2方向與實際相反）3)圖14-1-4位AB桿的軸力圖q為了表示軸力沿軸線的變化，我們用軸線方向的坐標軸表示桿截面的位置，其垂直方向的另一個坐標軸表示軸力的大小，這樣得到的圖形稱為軸力圖。q扭轉變形的定義v橫截面繞軸線做相對旋轉的變形，稱為扭轉v以扭轉為主要變形的直桿，通常稱為軸v本課程主要研究圓截面軸q功率、轉速和扭矩的關系vM=9549 q扭矩圖v仿照軸力圖的畫法，畫出扭矩沿軸線的變化，就是扭矩圖。 nP其中：M為外力矩(N.m)P為功率(kW)n轉速(r/m

10、in)v如圖，主動輪A的輸入功率PA=36kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉速n=300r/min.試畫出傳動軸的扭矩圖解：1)1)由扭矩、功率、轉速關系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)2)分別求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即為BC,CA,AD段軸的扭矩（內力）如圖a)、b)、c);均有Mx=0 得：T1+MB=0T1=-MB= -350N.mMB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3)3)畫出扭矩圖如

11、d)v14-3彎曲梁的內力v14-4彎曲梁的內力圖-剪力圖和彎矩圖q彎曲梁的概念及其簡化v桿件在過桿軸線的縱向平面內，受到力偶或受到垂直于軸線的橫向力作用時，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，桿件的這種以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎曲；以彎曲為主要變形的桿簡稱為梁。q常見梁的力學模型簡支梁一端為活動鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座外伸梁一端或兩端伸出支座支外的簡支梁懸臂梁一端為固定端，另一端為自由端的梁。q梁的內力v剪力FQv彎矩MCq梁內力的正負規(guī)定內力方向梁的變形例14-3 簡支梁如左圖，已知a、q、M=qa2；求梁的內力FAyFBy12 3aqF65AYaqF61BY2）1-1截面內力：(0 x

12、1 a)3）2-2截面內力： (ax22a)解：1）求得A、B處反力FAY,FBY；1651AY1xaqxFMaqFF65AyQ122AYQ2xqaq611a)(xqFF222222AY2a)(xq21-xaq65a)(xq21-xFM4）3-3截面內力：(0 x3 a，此處x3的起點為B點，方向如圖)aq61FFBYQ3323BY3xaq61aqxFMM1.當：0 x1a 時AC段 FQ1=5q.a/62.當：ax22a 時,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直線x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ）x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）3.當：

13、0 x3a (起點在B點）FQ3=-q.a/6v當：0 x1a 時，M1=5q.a.x1/6為直線2651C11A1aqMax點：C0；M0 x點：A2672D22652C2q.a M, a2 xD q.a M, a xC點：點：MaqM, 0 xBMaqM, axD2B33D2267D33點：點：v當：ax22a 時，為二次曲線；M2=5qax2-q(x2-a)2/2v當： 0 x3a時（原點在B點，方向向左），M3為直線M3=qa2+q.a.x3/6; q已知：G,a,b,l,畫梁AB內力圖解：1求A,B支座反力( a+b=l )lGbAyFlGaByF2求x截面內力a) 0 xalGbA

14、yQFF1xxFMlGbAy1b) axa)（或CB,ab）段Qmax=Gb/ll最大彎矩在C截面處Mmax=Gab/l本例中，剪力和彎矩的表達式與截面的位置形式上構成了一種函數關系，這種關系稱為剪力方程和彎矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x)q簡支梁受力偶作用1.求支座反力FAY,FBY得：FAY=- FBY =M/l2.AC段X截面處剪力FQ=Fay,3.同理可求得BC段剪力與AC段相同，剪力圖如左4.AC段彎矩方程M1M1=FAYx=M x /L5.BC段彎矩方程M2M2=FAY x-M=M(x - L)/L懸臂梁作用均布載荷q，畫出梁的剪力圖和彎矩圖寫出A點x處截面的剪力方程和彎

15、矩方程剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在B點，且xqFQ221xqM221maxmaxqlMqlFQv設梁上作用任意載荷，坐標原點選在A點（左端點形心），現分析剪力、彎矩與載荷集度的關系。取x處一小段dx長度梁，如圖，由平衡方程得：Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a)MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b)在上式中略去高階微量后，得q(x)dx(x)dFQ(x)FQdxdMq(x)dxdFQdxMd22q(x)=0的區(qū)間q(x)=C的區(qū)間集中力F作用處力偶M作用處FQ 圖水平線q(x)0,斜直線，斜率0q(x)0,斜直線，斜率0,斜直線，斜率

16、0FQ 0,斜直線，斜率0,拋物線，上凹q(x)0,拋物線，下凹FQ =0,拋物線有極值斜率由突變圖形成折線有突變突變量=MvM=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B處支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力圖：如圖，將梁分為三段AC：q=0,FQC= FAYCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直線,MC=7KN.MCB：q0,拋物線,FQ=0,MB=6.04BD：q0;MBC|x=3a/4=021289aqA、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2AB段：q0；斜直線（左上右下）A點：FQA=FA=qa/2；B點：FQB=FA-2qa=-3qa/2D點：FQ

17、AB=0；x=a/2BC段：q=0；直線（水平）C點：FQC=F=qa=FQB彎矩圖：AB段：q0；拋物線，上凸A點： MC=0，D點： MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8B點： MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0 直線（左下右上）MC=0,MB=-F.a=-qa2Dq第一講v拉壓桿件的應15-1軸向力與變形q第二講v15-2扭轉圓軸的應力與應變q第三講v15-3彎曲梁的正應力q第四講v15-4彎曲梁的切應力v15-5彎曲梁的變形q15-1軸向拉壓桿件的應力與變形v桿件軸向拉壓時橫截面上的應力v桿件軸向拉壓時的軸向變形與變形公式v橫向變形與泊松比q平面假設v桿件的

18、橫截面在變形后仍保持為平面，且垂直于桿的軸線。1.橫截面上各點只產生沿垂直于橫截面方向的變形，故橫截面上只有正應力。2.兩橫截面之間的縱向纖維伸長都相等，故橫截面上各點的正應變都相等；根據胡克定律，其正應力也相等，即橫截面上的正應力均勻分布。v桿件軸向拉壓時橫截面上正應力計算公式AFNFN軸力A-橫截面面積的正負號與FN相同；即拉伸為正壓縮為負v一中段開槽的直桿如圖，受軸向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；試求桿內的最大正應力解：求軸力FN;FN=-F=-20kN=-20 x103N求橫截面面積：A1=bh=20 x25=500mm2A2=b(h-h0)

19、=20 x(25-10)=300mm2求應力由于1-1，2-2截面軸力相同，所以最大應力應該在面積小的2-2截面上=FNA=-20X103300=-66.7MPa （負號表示為壓應力）設等截面直桿原長l0，截面面積A0，在軸力F作用下，其長度變?yōu)閘1，截面面積變?yōu)锳1；其軸向絕對變形l和軸向（相對變形）線應變分別為：l=l1-l00010lllll直桿橫截面上的正應力：AFAFN當應力不超過某一值時，正應力與線應變滿足胡克定律：=E由以上可以得到：EAlFlN式中EA稱為桿件的抗拉壓剛度此式稱為拉壓變形公式如果等直桿在變形前后的橫向尺寸為：b0、b1； 那么其橫向絕對變形和橫向線應變分別為b和

20、;b=b1-b0= b /b0實驗表明：桿件軸向拉伸時，橫向尺寸減小， 為負 ；桿件軸向壓縮時，橫向尺寸增大， 為正；可見， 軸向線應變和橫向線應變恒為異號實驗還表明：對于同一種材料，當應力不超過某一極限時，桿件的橫向線應變與軸向線應變之比為一負常數：即：,或,比例系數稱為泊松比，是量剛為一的量q一板狀試樣如圖，已知：b=4mm，h=30mm，當施加F=3kN的拉力時，測的試樣的軸向線應變=120 x10-6,橫向線應變=-38x10-6；試求試樣材料的彈性模量E和泊松比解：求試件的軸力FN=F=3kN;橫截面面積A=bh=120mm2,橫截面上的應力=F/A)(251201033MPaxAF

21、N根據胡克定律=E得：泊松比：316701203810120103866.xx,(GPa)3320812102500101202536.Exx鋼制階梯桿如圖所示；已知軸向力F1=50kN，F2=20kN，桿各段長度l1=120mm，l2=l3=100mm，桿AD、DB段的面積A1、A2分別是500和250mm2，鋼的彈性模量E=200GPa，試求階梯桿的軸向總變形和各段線應變。解：畫出桿件的軸力圖求出個段軸向變形量AC段：CD段：DB段：mmEALFlN3331111036500102001201030mmEALFlN3333331040250102001001020總變形：l=(-36+20

22、+40)x10-3=0.024mm由=L/L得：1= -300 x10-62= 200 x10-63= 400 x10-6mmEALFlN3332221020500102001001020q一、圓軸扭轉時橫截面上的應力v切應變、切應力v切應力分布v圓軸的扭轉變形計算公式v截面的幾何性質q二、圓軸扭轉時的變形v應力計算 例15-4q平面假設：圓周扭轉變形后各個橫截面仍為平面，而且其大小、形狀以及相鄰兩截面之間的距離保持不變，橫截面半徑仍為直線v橫截面上各點無軸向變形，故橫截面上沒有正應力。v橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉式的相對錯動，故橫截面上有剪應力存在。v各橫截面半徑不變，所以剪應力方向與截面徑向垂

23、直推斷結論：q橫截面上任意一點的切應變與該點到圓心的距離成正比由剪切胡克定律可知： 當切應力不超過某一極限值時，切應力與切應變成正比。即：dxdGGdxddxdR橫截面上任意一點的切應力的大小與該點到圓心的距離成正比，切應力的方向垂直于該點和轉動中心的連線q根據以上結論：v扭轉變形橫截面上的切應力分布如圖a)所示扭矩和切應力的關系： TdA如圖b)所示：微面積dA上內力對o點的矩為dM=dA整個截面上的微內力矩的合力矩應該等于扭矩即：由推導的結論式TIGdAGdApdxddxd2dxdGG TdA可以得到：或：pGITdxd變形計算公式于是有：PIT扭轉變形橫截面任意點切應力計算公式外邊緣最大

24、切應力計算公式ppWTrITmaxq極慣性矩p扭轉截面系數pdAdAIAp22rIWpp4164322.01.044dWdIdpdp434164443212 .0111 .0134DWDIDpDpDd其中d為圓截面直徑（d、D為圓環(huán)內外徑）dxGITdp由扭轉變形計算公式可以計算出，兩個相距dx的橫截面繞軸線的相對角位移，即相對扭轉角drad對于相距L的兩個橫截面間的相對扭轉角可以通過積分求得：dxdllGITp0rad對于等截面圓軸，若在長度為l的某兩個截面之間的扭矩均為T，那么該兩截面的相對扭轉角為pIGlTrad單位長度相對扭轉角pIGTlrad/m在圖示傳動機構中，功率從B輪輸入，再通

25、過錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW，水平軸E和H的轉速n1=n2=120r/min，錐齒輪A和D的齒數分別為z1=36，z2=12，圖中d1=70, d2=50, d3=35.求各軸橫截面上的最大切應力.分析：此機構是典型的齒輪傳動機構，各傳動軸均為扭轉變形。欲求各傳動軸橫截面上的切應力，必須求得各軸所受的扭矩，即各軸所受到的外力偶矩。由題意可知，E、H、C軸所傳遞的功率分別為：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H軸轉速為120r/min,由傳動比可計算出C軸的轉速為：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min再通過公式：

26、nWM9549可以求得各軸所受到的外力矩M1M2M3解：1、求各軸橫截面上的扭矩：)(111412014954995491111mNnPMTE 軸：)(5571207954995492222mNnPMTH 軸：)(7.1853607954995493333mNnPMTC 軸：2、求各軸橫截面上的最大切應力：)(24.16702 .01011143311maxMPaWTPEE 軸：)(28.22502 .0105573322maxMPaWTPHH 軸：)(66.21352 . 0107 .1853333maxMPaWTPCE 軸：如圖所示,已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8k

27、Nm;AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此軸的最大切應力2、C截面相對于A截面的扭轉角CA；3、相對扭轉角AB、 BC；解：1、求最大切應力扭矩圖如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根據切應力計算公式MPaWTABABAB83.48802 . 010536maxMPaWTBCBCBC72502 . 0108 . 136max2、求C截面相對A截面的扭轉角扭轉角計算公式：)(1005. 310801 . 0108010200105343933radGILTpABABABBA)(10510501.0108010250108.13

28、43933radGILTPBCBCBCCB)(1005. 810)505. 3(33radCBBACAC截面相對A截面的扭轉角為：3、相對扭轉角為：)/(100 .210250105)/(10525.1102001005.3233233mradLmradLBCBCCBABBAAB扭轉圓軸的切應力計算公式：pIT最大切應力公式pWTmax扭轉圓軸的橫截面上切應力分布規(guī)律相對扭轉角dxGITdp單位長度相對扭轉角)(mradpGITlpGITl)(180180mpGITlq第三講 彎曲梁正應力v彎曲正應力公式v彎曲梁截面的最大正應力v慣性矩的平行軸定理v平行軸定理應用舉例1v平行軸定理應用舉例2v

29、彎曲正應力計算 習題15-14p271v作業(yè)平面彎曲橫力彎曲純彎曲剪力FQ0彎矩M 0剪力FQ=0彎矩M 0純彎曲：平面假設：梁變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉動了一個角度純彎曲正應力公式推導：如上圖1、2得縱向變形：ydddydxdxbb)(根據胡克定律，可知：yEE由圖3得：幾何關系物理關系MdAy即zEIdAyEdAyM2對照以上各式，得：yIMz其中：Iz為截面對z軸的慣性矩由正應力公式可知，彎曲梁截面上的最大正應力應該在其上下邊緣：即|y|的最大值處.maxmaxyIMz引入彎曲截面系數Wz=Iz/ymax，最大正應力公式為：zWMmax慣性矩計算：A

30、 定義式：dAyIz2B 積分式：AzdAyI2矩形截面Iz的計算： 如圖12)(32222bhbdyydAyIAzhh622maxbhIyIWhzzz由慣性矩的定義式可知：組合截面對某軸的慣性矩，等于其組成部分對同一軸慣性矩的代數和即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi設某截面形心在某坐標系的坐標為(a,b),如圖，則其對坐標軸的慣性矩為：AbIIzcz2對于z軸的慣性矩：AaIIycy2對于y軸的慣性矩：工字形截面梁尺寸如圖，求截面對z軸的慣性矩。解：可以認為該截面是由三個矩形截面構成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3（-）（+）（+）)(10243310912904012444333

31、1mmbhIz)(1067.1703108128040124443332mmbhIz)(1053.8610812802124433333mmbhIz123Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)平行軸定理應用舉例2求圖示截面對z軸的慣性矩解： 截面可分解成如圖組合，A1=300 x30=9000mm2A2=50 x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mmyc2=135-75=60mmA1、A2兩截面對其型心軸的慣性矩為：I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4I2cz=50 x2703/12=8

32、2.0125x106mm4 由平行軸定理得：I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1A2p271已知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm求：1) B, D ；2) max(拉）解：A=40MPa(拉),y1=10mm; 由公式： AzAyIMAAzyIM由于A點應力為正，因此該梁上半部分受拉，應力為正，下半部

33、分受壓，應力為負，因此有： maxmaxyyyyIMDDBBAAz32MPa40108yyAABBMPa120-401030yyAADD最大拉應力在上半部邊緣MPa60401015yyAAmaxmaxq15-4 彎曲梁的切應力q15-5 彎曲梁的變形q橫力彎曲時，梁的橫截面上切應力分布。q橫力彎曲時，梁的橫截面上切應力計算公式如圖所示，已知6120柴油機活塞銷的外徑D=45mm，內徑d=28mm，活塞銷上的載荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，連桿作用力F=88.4kN。求活塞銷的最大正應力和最大切應力。解：活塞銷所受的載荷簡化為均布載荷，其均布集度為mkNbFq3311027.210394

34、 .88mkNaFq3321030. 1103424 .88剪力圖如例15-11 b）FQmax=44.2kN彎矩圖如例15-11 c)Mmax=1.18kN.m363445283431075. 76 .7746)(1451 . 0)(11 . 0mmmDWDdz已知活塞銷截面為薄壁圓環(huán)，那么：2222268.9744/ )2845(4/ )(mmdDA活塞銷的最大正應力為彎矩最大處，即銷子中心點：MPaWMz32.1526 .77461018.16maxmax由切應力近似計算公式可以得出，活塞銷的最大切應力為：MPaAF7 .9068.974102 .44223maxmaxq梁彎曲變形的概念

35、撓度-梁的橫截面形心在垂直雨量軸線方向的位移稱為撓度，用w表示。正負規(guī)定：圖示坐標中上正下負轉角-梁的橫截面相對于變形前后初始位置轉過的角度，用表示。正負規(guī)定：逆時針為正，反之為負撓曲線-梁在彈性范圍彎曲變形后，其軸線變成一條光滑連續(xù)曲線，稱為撓曲線，其表示式為轉角與撓度w的關系如圖所示：tan =dw(x)/dx=w即：橫截面的轉角近似等于撓曲線在該截面處的斜率w=w(x)q積分法求梁的變形撓曲線公式簡單推導zEIxMx)()(1由前可知：而在數學中有：232) (1 )(1wwx略去高階無窮小，得到：zEIxMw)( 撓曲線近似微分方程積分后：CdxEIxMdxxdwz)()( DxCdx

36、EIxMwz)(式中的積分常數C、D由梁的邊界條件和連續(xù)條件確定習題15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；解：求A,B支座反力FA=FB=ql/2=8kN寫出梁的彎矩方程（如圖b)：M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1)CqxqlxwEIz6/4/32積分后得到:DCxqxqlxwEIz24/12/43)(1065. 71016601021024210824489333maxradEIqlz)(1078. 41662138464010166010210384210853845489434max

37、mEIqlwzFINE邊界條件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24由（1）可知： max 為 M(x)=0的點；即 x=0 和 x=l 處（A,B端點）max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz)w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)；w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz)q疊加法求梁的變形v疊加法l當梁受多個載荷作用時，梁的變形是每個獨立載荷作用時變形的疊加。v理論基礎l（略）參見教材P261v常見簡單載荷作用下梁的變形l教材P261。q用疊加法求圖示梁B截面的轉角和C截面的撓度zbzBbEIMlwEI

38、Mll16;322zczBcEIFlwEIFll48;16322疊加結果為)316(48FlMEIlzBcBbB)3(482FlMEIlwwwzCcCbC查表q16-1材料拉壓時的力學性能q16-2軸向拉壓時斜截面上的應力q低碳鋼拉伸時的力學性能v 試件v 儀器l 壓力實驗機l 游標卡尺q應力應變曲線v比例極限pv彈性極限ev屈服極限sv抗拉強度b滑移線頸縮q伸長率q斷面收縮率v塑性材料： 5% v脆性材料：5%100001LLLq鑄鐵拉伸v鑄鐵等脆性材料在拉伸時，變形很小，應力應變曲線圖沒有明顯的直線部分，通常近似認為符合胡克定律。其抗拉強度b是衡量自身強度的唯一指標。%100001AAA時

39、衡量材料塑性的一個重要指標q低碳鋼壓縮q鑄鐵壓縮q對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，在工程上常以卸載后產生0.2%的殘余應變的應力作為屈服應力，稱為名義屈服極限，用P0.2來表示q冷作硬化v對于這種對材料預加塑性變形，而使其比例極限或彈性極限提高，塑性變形減小的現象稱之為冷作硬化。q軸向拉壓橫截面正應力計算公式v=F/Aq對于和橫截面有夾角的斜截面，其面積之間有關系式A=Acos如圖2：p=F/ A=cosq將p向斜截面法向和切向分解，可得到：=pcos=psin如圖3所示圖1圖2圖3q即斜截面上應力公式為：)2cos1 (2cos2正應力公式為：2sin2sincos切應力公式為：q由以上公式

40、可以看出：v在橫截面上，即=00 時=max=；=0對于如鑄鐵這種脆性材料，其抗拉能力比抗剪能力差，故而先被拉斷對于低碳鋼這種塑性材料，其抗拉能力比抗剪能力強，故而先被剪斷；而鑄鐵壓縮時，也是剪斷破壞。v當=450 時：=/2；=max=/2q單元體v 圍繞某研究點所截取的一個微小六面體，其三個對應面上的應力情況，就是該點在空間的應力情況。v 主平面l 切應力等于零的平面v 主應力l 主平面上對應力的正應力； 1 2 3;q應力狀態(tài)v 單向應力狀態(tài)l 三個主平面上只有一對主應力不等于零。v 二向應力狀態(tài)v 三向應力狀態(tài)q胡克定律v當正應力不超過某一極限值時： =E; = -；q廣義胡克定律v設

41、三向應力狀態(tài)下主應力1方向的伸長應變1；主應力2 、3引起1方向的應變?yōu)? 、1，結合上式并利用疊加原理則有： 1=1- (2 +3)/E；即：)(1);(1)(1213313223211EEE；這就是廣義胡克定律q如圖為二向應力狀態(tài)：考慮平衡可得到：2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyxq強度理論v就是關于材料在不同的應力狀態(tài)下失效的假設q第一強度理論（最大拉應力理論）v只要有一個主應力的值達到單向拉伸時 b，材料就發(fā)生屈服；即： 1 b；引入安全系數后，其強度設計準則（強度條件）為： r1 1，v式中： r1稱為第一強度理論的相當應力； 為單向拉伸時的許用應力v實驗證明，該

42、強度理論較好地解釋了石料、鑄鐵等脆性材料沿最大拉應力所在截面發(fā)生斷裂的現象；而對于單向受壓或三向受壓等沒有拉應力的情況則不適合。q第二強度理論（最大伸長線應變理論）v這一理論認為，最大伸長線應變1達到單向拉伸的極限值1jx ，材料就發(fā)生脆性斷裂；即： 1=1jx ；或： 1-（ 2 + 3 ）/E = b/E；v引入安全系數：其強度設計準則為： r2= 1-（ 2 + 3 ） 式中： r2 為第二強度理論的相當應力。v實驗證明，該強度理論較好地解釋了石料、混凝土等脆性材料受軸向拉伸時，沿橫截面發(fā)生斷裂的現象。但是，其實驗結果只和很少材料吻合，因此已經很少使用。q第三強度理論（最大切應力理論）v

43、材料無論處在什么應力狀態(tài)下，只要最大切應力max達到了單向拉伸時切應力屈服極限s (= s /2)；材料就出現屈服破壞，即： max (13)/2;s=s/2其強度設計準則為： r3 =1 3式中： r3 稱為按第三強度理論計算的相當應力v實驗證明，這一理論可以較好的解釋塑性材料出現塑性變形的現象。但是，由于沒有考慮2的影響，故按這一理論設計構件偏于安全。q第四強度理論（形狀改變比能理論）v這一理論認為，形狀改變比能Ux是引起材料發(fā)生屈服破壞的原因。也就是說，材料無論處在什么應力狀態(tài)下，只要形狀改變比能Ux達到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能Uxs，材料就發(fā)生屈服破壞。即：(p291)Ux=

44、Uxs其強度條件為：式中： r4是按第四強度理論計算的相當應力。v實驗證明，第四強度理論比第三強度理論更符合實驗結果，因此在工程中得到廣泛的應用。 2132322214)()()(21rq在三向拉伸應力狀態(tài)，無論是脆性材料還是塑性材料，都會發(fā)生斷裂，應采用最大拉應力理論，即第一強度理論。q在三向壓縮應力狀態(tài)，無論是脆性材料還是塑性材料，都會屈服破壞裂，適于采用形狀改變比能理論或最大切應力理論，即第四或第三強度理論。q一般而言，對脆性材料宜采用第一、第二強度理論。q一般而言，對塑性材料宜采用第三、第四強度理論。q17-1桿件的強度設計準則v 強度失效判斷l(xiāng) 當構件承受的載荷達到一定的大小時，其材

45、料就會在應力狀態(tài)最危險的一點處發(fā)生強度失效。其表現形式如：鑄鐵拉伸和扭轉時的突然斷裂、低碳鋼拉伸、壓縮、扭轉時產生的較大的塑性變形等。l 建立材料的失效判據，是通過對材料的有限試驗完成的。如低碳鋼材料在拉伸和壓縮時，以出現顯著塑性變形的屈服極限s或以出現斷裂的抗拉強度 b作為材料的失效判據；而鑄鐵材料在拉伸和壓縮時，以出現破壞的抗拉強度 b作為材料的失效判據。v許用應力l在工程實際中，為了保證受力構件的安全，用大于1的系數除以失效極限應力，做為構件工作應力的極限值，成為許用應力，記做： bbssnn；或 bbn l對于塑性材料：l對于脆性材料： bbssnn；或l對于扭轉時強度失效判斷則有：其

46、中ns、nb稱為塑性材料和脆性材料的安全系數v 桿件的強度設計l 危險截面：可能最先出現強度失效的截面稱為危險截面。l 危險點：可能最先出現強度失效的點稱為危險點。l 強度設計的計算內容： 校核強度 選擇截面尺寸 確定許可載荷q拉壓桿的強度設計準則為v拉壓桿橫截面上的正應力是均勻分布的，而且各點均為單向應力狀態(tài)，根據材料的失效判據，拉壓桿的強度設計準則為：)(maxmaxAFN式中vmax為拉壓桿橫截面上的最大工作應力v為材料的許用應力1.對于塑性材料= s/ns2.對于脆性材料拉= b拉/nb; 1.壓= b壓/nb；q對于等截面桿，其強度準則可以寫成maxmaxAFN1、強度校核max2、

47、選擇截面尺寸maxNFA 3、確定許可載荷max AFN某銑床工作臺的近給液壓缸如圖示，缸內工作壓力p=2MPa，液壓缸內徑D=75mm，活塞桿直徑d=18mm，已知活塞桿材料的許用應力=50MPa，試校核活塞桿的強度。解：求活塞桿的軸力：NdDpApFN3221033.8)(4橫截面上的應力為：7.32181033.8243MPaAFN活塞桿強度足夠注：在工程中，允許工作應力大于許用應力但不可超出5。習題173，已知：h=2b，F=40kN，=100MPa；試設計拉桿截面尺寸h、b。解：求出拉桿的軸力FN;FN=F=40kN拉桿的工作應力 FN/A根據強度準則，有 , 即 AFN/；而A=h

48、b=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm考慮安全，可以取 b=15mm，h=30mm結束如左圖，已知：木桿面積A1=104mm2， 1=7MPa鋼桿面積A2=600mm2，2=160MPa,確定許用載荷G。解：1、求各桿的軸力如圖b)列平衡方程，得Fx=0 FN1FN2cos300=0Fy=0 FN2sin300G=0求解上式，得：FN1= 1.73G, FN2=2G2、用木桿確定G由強度準則： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73=40.4kN3、校核鋼桿強度即： 2 =FN2/A2= 2G/A2=80.81

49、03/600 =134.67MPa2 強度足夠，故許可載荷G=40.4kN結束q梁在彎曲變形時，其截面上既有正應力也有切應力，故有：)(maxmaxzWM和max對于等截面梁，可以寫成：maxmaxzWM對于脆性梁，其抗拉、抗壓性能不等時，應分別予以設計。maxmaxzIyMmaxmaxzIyM通常在設計計算時，先以彎曲正應力強度準則設計出截面尺寸，然后按照彎曲切應力強度準則進行校核。q彎曲正應力圖示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應力30MPa，許用壓應力60MPa，截面尺寸如圖。截面對形心軸z的慣性矩Iz763mm4，且y1=52cm。試校核梁的強度。分析：1、畫出梁的彎矩圖（確定最大彎矩及其

50、所在截面）2、求出梁的最大拉應力和最大壓應力值3、校核強度解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，畫出彎矩圖如 b)，最大正彎矩在C點，最大負彎矩在B點，即：C點為上壓下拉，而B點為上拉下壓FAFB2、求出B截面最大應力最大拉應力（上邊緣）：最大壓應力（下邊緣）：27.26MPa1076352104461zBBIyMMPa13.641076388104462zBBIyM3、求出C截面最大應力最大拉應力（下邊緣）：最大壓應力（上邊緣）：MPa83.821076388105 .2462zCCIyMMPa04.171076352105.2461zCCIyM由計算可見：最大拉應力在C

51、點且Cmax=28.83MPa=30MPa最大壓應力在B點且Bmax=46.13MPa60MPa故梁強度足夠簡支梁AB如圖所示，已知：=160MPa，=100MPa，a=0.2m，l=2m，F=200kN，試選擇工字鋼型號。FAFB解：1、計算梁的約束力FA、FB;由于機構對稱，所以FA=FB=210kN2、畫出梁的剪力圖可以看出FQmax=FA=FB=210kN3、畫出梁的彎矩圖，其最大彎矩在梁的中點，計算得：Mmax=45kN.m4、應用梁的彎曲正應力準則選擇截面尺寸：max(Mmax/Wz)變形可以得出：336625.2811028125.01601045cmmmMWz查附錄C選取22a

52、工字鋼，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm；t=12.3mm。校核梁的切應力強度：工字鋼腹部切應力最大，對應面積A1=(h-2t)d；則有：100MPa143.3MPa5.7)3.122220(1021031maxmaxAFQ由于切應力大出其許用應力很多，故再選大一號，選22b并校核其切應力強度。相應尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：100MPa93.75MPa10)132250(1021031maxmaxAFQ切應力強度足夠，故選22b號工字鋼fineq如圖所示為一臺鉆床，分析其立柱上截面m-m的內力。截面法：將立柱假想從m-m處截開；分析可知，截面m-m上有內力

53、：FN軸力和 M彎矩稱此變形為拉（壓）彎組合變形。拉彎組合變形強度計算對于如上所述的組合變形，通常其強度計算采用疊加原理。即橫截面上任意一點的正應力為：zNIyMAFmax彎拉注意：塑性材料脆性材料q上鉆床的鉆削力F=15kN，偏心距e=0.4m，立柱為鑄鐵材料，其直徑d=125mm，許用拉應力35MPa，許用壓應力120MPa，試校核立柱強度解：2.最大拉應力：3.最大壓應力：求立柱m-m截面的軸力FN和彎矩M：FN=F=15kN；M=F.e=150.46kN.m則有：30.72MPa1251 .01061.22MPa125101536max243zNWMAF彎拉MPaMPa3594.312

54、2. 172.30max拉彎MPaMPa1205 .2922. 172.30max拉彎立柱強度足夠鋼板如圖所示，試校核強度（不考慮應力集中影響）已知：F80kN,b=80,t=10,=10,=140MPa解：如圖b)；FNF=80kN,eb/2(b-t)/2=80/2(80-10)/2=5M=FNe=400kN.mmFN引起的應力114.3MPa)1080(101080)(3tbFAFNFM引起的應力48.98MPa6)1080(10510806)(232tbeFWMzM因此，最大拉應力為（上缺口最低點）：MPaMPaMF1403 .16398.483 .114max下邊緣應力為：)(3 .6

55、598.483 .114max拉應力MPaMF討論：顯然，鋼板的強度不夠；引起應力增大的原因是偏心距造成的。因此，解決此類問題就是消除偏心距，如左：正應力分布圖如下：MPaMPatbFAFN1403 .133)10280(101080)2(3maxq純扭圓軸橫截面切應力分布q圓軸扭轉的強度設計準則q等截面圓軸扭轉的強度設計準則maxmaxPWTmaxmaxPWT為許可切應力；通常，對于塑性材料 （0.50.6) ；對于脆性材料： （0.81.0) q某傳動軸所傳遞的功率P=80kW，其轉速n=580prm，直徑d=55mm，材料的許可切應力=50MPa，試校核軸的強度。解：傳動軸的外力偶矩為：

56、1317.1N.m5808095499549nPM工作切應力的最大值：50MPa39.58MPa552 . 0101 .13172 . 0333maxdMWpT強度足夠！q汽車傳動軸由45無縫鋼管制成。已知：=60MPa，若鋼管的外徑D90mm，管壁厚t=2.5mm，軸所傳動的最大扭矩M=1.5kN.m.試：1、校核傳動軸的強度；2、與同性能實心軸的重量比。解：1、校核強度)(12.0105.1)1(2.0423643maxDtDPDDMWT帶入數據后得：max50.33MPa60MPa;強度足夠2、設計實心軸直徑D1（兩軸的最大工作切應力相等)mmTDDTWTP03.533 .502 . 0

57、105 . 12 . 02 . 0363max3max；即3、兩軸重量比21. 3859053222222121dDDLALAGG空心軸實心軸傳動機構傳動軸如圖17-13e為軸CE段橫截面的應力分布；邊緣上a點為截面的危險點，a點的應力狀態(tài)為二向應力狀態(tài)，如圖f）q強度公式推導：v由應力公式（參考教材P287 ）22minmax)2(2xyxyx得：2231421q第三強度理論：vr3 =1-3 得： 2234rq第四強度理論：v. 2132322214)()()(21r得： 2243r通?？紤]到：;2;WzWpWTWMpZ則：75.0224223WzTMWzTMrr其中：222275. 0T

58、MTM和稱為應用第三和第四強度理論進行強度計算時所對應的相當彎矩應用第三強度理論時：應用第四強度理論時：注意：q傳動軸為塑性材料q傳動軸為中心對稱的圓軸圖示為圓軸AB，在軸的右端聯軸器上作用有一力偶M。已知：D=0.5m，F1=2F2=8kN, d=90mm, a=500mm,50MPa，試按第四強度理論設計準則校核圓軸的強度。解：簡化機構如圖b)，計算相應值：M1=(F1-F2)D/2=1kN.m分別畫出軸的扭矩圖和彎矩圖c),d)可以看出C截面為危險界面。由第四強度準則，；強度足夠！MPaMPaWzTMr5083.42901 . 0)101 (75. 0)103(75. 032626224

59、；強度足夠！MPaMPaWzTMr5043.4901 . 0)101 ()103(32626223已知：F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,d0=100,D=160,=200;=80MPa;按第三強度理論設計軸的直徑。解：1、畫出受力圖如b)2、空間力系投影法 xy面：如 c),畫出彎矩圖如d)求得：MCz=35N.mMBz=420N.mxz面：如圖e),畫出彎矩圖如f)求得：MCy=480N.m3、扭矩圖如圖h)T=240N.m4、危險點為C點：mNTTmNMMMCCZCYC.240.3 .4813548022225、設計軸徑：由第三理論得：)(1023.67801 . 0)1

60、0240()103 .481(1 . 0332323223mmTMdCC所以：42mmd;7 .401023.6733?。簃mdq軸向拉伸桿件：lEAlFlN式中：l為軸向拉伸的許可伸長量或縮短量q平面彎曲梁：maxmax式中：為許用撓度；為許用轉角。q扭轉變形圓軸：)(180)(maxmaxmaxmaxmPmradPGITGIT。；或式中：max為許用扭轉角。q飛機系統中的鋼拉索，其長度為l=3m，承受拉力F=24kN，彈性模量E=200GPa，需用應力=120MPa，要求鋼拉索在彈性范圍內的許用伸長量l=2mm，試求其橫截面面積至少應該為多少？解：鋼拉索發(fā)生軸向拉伸變形，其軸力為FN=F=