第9節(jié)最小二乘估計(jì)

1、§9 最小二乘估計(jì)(田文亭 陜西師范大學(xué) 710062)【教材版本】 北師大版【教材分析】 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)3第1章§9 相關(guān)性，是本章的最后一節(jié)，教學(xué)課時(shí)為1課時(shí). 統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科在現(xiàn)代信息社會(huì)，人們往往面對(duì)大量的數(shù)據(jù)、信息，為了做出合理決策，以抓住信息社會(huì)給我們帶來的諸多機(jī)會(huì)，我們常常需要對(duì)這些大量的紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)、信息進(jìn)行收集和分析，它可以為人們制定決策提供依據(jù)，因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來公民的必備常識(shí)最小二乘法作為統(tǒng)計(jì)的一項(xiàng)基本組成部分, 對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)新的內(nèi)容在本章前面的內(nèi)容中學(xué)生學(xué)習(xí)了用隨機(jī)抽樣的方法科學(xué)地收集

2、數(shù)據(jù)、用樣本估計(jì)總體的方法分析所得數(shù)據(jù)等統(tǒng)計(jì)內(nèi)容， 并且體會(huì)了用不同估算方法刻畫兩個(gè)變量線性關(guān)系的過程，所以教材自然而然的引入介紹了最小二乘法的思想教科書首先通過給出具體問題讓學(xué)生思考交流，由具體到抽象概括得出最小二乘法的思想用一條直線來擬合兩個(gè)變量之間的關(guān)系，要求所有點(diǎn)相對(duì)于該直線的偏差平方和達(dá)到最小其次，由于本節(jié)課乃至本章主要介紹的是初步的統(tǒng)計(jì)知識(shí)與方法，目的是讓學(xué)生形成統(tǒng)計(jì)思想，體會(huì)統(tǒng)計(jì)在現(xiàn)實(shí)生活中的作用，所以教材直接給出了最小二乘法的公式，而沒有給出其繁雜的推導(dǎo)過程，這樣學(xué)生就會(huì)把主要精力放在體會(huì)最小二乘法的思想乃至統(tǒng)計(jì)思想上，并根據(jù)給出的公式求線性回歸方程最后，教材通過具體的例子讓學(xué)

3、生經(jīng)歷用最小二乘法解決問題的過程，以使其理解最小二乘法的思想，以及用樣本數(shù)據(jù)擬合結(jié)果的隨機(jī)性本節(jié)內(nèi)容為學(xué)生學(xué)習(xí)選修1或2作了鋪墊教學(xué)時(shí)，教師可以不向?qū)W生講述最小二乘法公式的具體推導(dǎo)過程，不要求學(xué)生記憶線性回歸方程的系數(shù)公式，但要求能夠用圖像直觀地說明最小二乘法的思想教師盡可能的引導(dǎo)學(xué)生利用這種思想解決一些簡單的問題，并鼓勵(lì)他們?cè)诖诉^程中盡量運(yùn)用計(jì)算器對(duì)線性回歸方程系數(shù)公式的由來感興趣的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)他們嘗試推導(dǎo)【學(xué)情分析】學(xué)生在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)上，通過實(shí)際問題情景，學(xué)習(xí)隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體、變量的相關(guān)性等內(nèi)容后，通過解決實(shí)際問題，系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程，并對(duì)線性

4、相關(guān)直線用不同方法進(jìn)行近似描述， 他們已經(jīng)對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)及相關(guān)內(nèi)容有了一定的基礎(chǔ)，所以學(xué)生已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)本節(jié)的基礎(chǔ)，但學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和抽象概括能力還有待進(jìn)一步提高本節(jié)課是前面內(nèi)容的深化，對(duì)學(xué)生來說是新的內(nèi)容， 因此，在教學(xué)中應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生多多思考交流，親自體驗(yàn)，以理解最小二乘法思想，鍛煉學(xué)生的抽象概括能力，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，減少重復(fù)勞動(dòng)，增加趣味性學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)對(duì)回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關(guān)系的理解和最小二乘法的公式的由來及最小二乘法思想的理解可能存在困難【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能（）了解最小二乘法思想（）能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程2過程與方法 運(yùn)用多媒體輔

5、助工具作出圖示，使得課程內(nèi)容更加直觀，容易理解運(yùn)用計(jì)算器進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理，采用合作交流、分組討論的方式對(duì)最小二乘法及其特點(diǎn)進(jìn)行抽象概括，再利用它解決現(xiàn)實(shí)問題3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過本課的學(xué)習(xí)，應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)到統(tǒng)計(jì)并不只是數(shù)據(jù)的簡單收集與整理，還要通過在數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律，并依據(jù)科學(xué)的方法進(jìn)行推測，才能解決現(xiàn)實(shí)問題，在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，增強(qiáng)學(xué)生的反思意識(shí)，提高與改進(jìn)自己的數(shù)據(jù)處理能力，培養(yǎng)學(xué)生說理有據(jù)的優(yōu)良品質(zhì)，通過與現(xiàn)實(shí)問題相結(jié)合，培養(yǎng)了他們的理性精神和和創(chuàng)新能力發(fā)展學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念，培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)意識(shí)，理解統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，進(jìn)而通過對(duì)數(shù)據(jù)處理的整個(gè)過程，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)（統(tǒng)計(jì)）與社會(huì)的密切聯(lián)系，了

6、解數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)）的價(jià)值，增進(jìn)了對(duì)數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心【重點(diǎn)難點(diǎn)】本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn):（）知道最小二乘法的思想.（）使學(xué)生學(xué)會(huì)利用線性回歸方程系數(shù)公式,建立線性回歸方程.本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn):（）使學(xué)生建立回歸思想,對(duì)回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關(guān)系的理解（）回歸系數(shù)公式的推導(dǎo)【教學(xué)環(huán)境】1坐標(biāo)紙2多媒體教室3計(jì)算器【教學(xué)過程】一、課堂導(dǎo)入老師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了變量的相關(guān)性，對(duì)不確定函數(shù)關(guān)系的變量用散點(diǎn)圖觀察了它們的相關(guān)關(guān)系，并且重點(diǎn)探究了變量的線性相關(guān)關(guān)系，通過上節(jié)課的探究，我們確定了有幾種不同方法來刻畫線性關(guān)系，是哪幾種？學(xué)生：回憶上節(jié)課內(nèi)容，回答老師:那么哪一種方法更好的說明了變量的關(guān)系呢，今天我們

7、就學(xué)習(xí)一種新的確定線性方程的方法-最小二乘法設(shè)計(jì)意圖：回顧舊課，導(dǎo)入新課二、新知探究（一）溫故知新老師：在我們上一節(jié)課的新知探究中，我們引入了一個(gè)關(guān)于10名男網(wǎng)球選手的身高（x）與體重（y）關(guān)系的例子，大家回憶一下 （教師呈現(xiàn)上節(jié)課所講內(nèi)容，溫故知新）上一節(jié)課的例子：下面是世界上10名男網(wǎng)球選手的身高（x）與體重（y）情況身高(x)/cm190196175185186180198188194193體重（y)/kg82886379807596759286你能分析選手的身高與體重有怎樣的關(guān)系嗎？ 散點(diǎn)圖如右 老師：從散點(diǎn)圖中，我們可以看出，身高與體重近似成什么關(guān)系？學(xué)生：（回憶后）它們近似成線性關(guān)

8、系 老師：你是怎么畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系的？（教師可讓學(xué)生拿出上節(jié)課所畫的坐標(biāo)紙，或提問兩個(gè)學(xué)生所畫直線的依據(jù)）學(xué)生：(回答)經(jīng)過直線的點(diǎn)數(shù)最多老師：有一個(gè)直觀的想法，我們不難理解，我們所畫出的直線必須“最貼近”上述散點(diǎn)圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么，我們?nèi)绾握业剿? 怎樣表達(dá)“最貼近”呢？學(xué)生：思考老師：(結(jié)合圖示進(jìn)行講解)像右圖這樣， 假設(shè)一條直線的方程為： ,任意給定一個(gè)樣本點(diǎn),我們用來刻畫這個(gè)樣本點(diǎn)與這條直線的“距離”，用它來表示二者之間的接近程度（結(jié)合圖示，重點(diǎn)讓學(xué)生理解，從而為下面抽象概括學(xué)習(xí)最小二乘法作鋪墊） （二）思考交流: （1） 如果有5個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為, , ,

9、 ,怎樣刻畫這些樣本點(diǎn)與直線的接近程度？(2) 如果有10個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為: , ，怎樣刻畫這些樣本點(diǎn)與直線的接近程度？ 抽象概括什么是最小二乘法、線性回歸方程，并給出最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式（公式的推導(dǎo)過程不討論）設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生體驗(yàn)由特殊到一般、由具體到抽象的思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納能力和用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力 （三）應(yīng)用舉例例1 在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表：氣溫（xi)/261813104-1杯數(shù)202434385064（1）試用最小二乘法求出線性回歸方程（2）如果某天的氣溫是-3，請(qǐng)

10、預(yù)測這天可能會(huì)賣出熱茶多少杯本題可在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生合作交流完成，通過親自體驗(yàn)用最小二乘法解決問題的過程，加深對(duì)最小二乘法的理解 教師總結(jié)：利用最小二乘法估算時(shí)，要先作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖設(shè)計(jì)意圖：熟悉用最小二乘法解決問題的過程和方法，增進(jìn)對(duì)最小二乘法的理解（四）動(dòng)手實(shí)踐 參見上一節(jié)北京市某中學(xué)學(xué)生關(guān)于身高與右手一拃長之間的數(shù)據(jù)，用最小二乘法估計(jì)二者之間的線性回歸方程 （1） 任意選取其中的5個(gè)數(shù)據(jù)；（2） 任意選取15個(gè)數(shù)據(jù)；（3） 利用所有數(shù)據(jù)；（4） 比較這三個(gè)方程，說說你的看法在實(shí)踐的過程中，可把學(xué)生分成A、B、C、D三組，A組選取樣本中的5個(gè)數(shù)據(jù)，B組選取樣本中的另外不同的5個(gè)數(shù)據(jù)，C組

11、選取樣本中的15個(gè)數(shù)據(jù)，D組利用所有數(shù)據(jù)，分組后每組根據(jù)所選數(shù)據(jù)，分別根據(jù)最小二乘法估計(jì)線性回歸方程最后，由每組的一名代表帶黑板上板書，然后由老師引導(dǎo)，對(duì)結(jié)果作比較總結(jié)：利用數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，所用數(shù)據(jù)的多少直接影響擬合的結(jié)果從理論上來說，數(shù)據(jù)越多，擬合的效果越好通過A組和B組做比較，即使我們選取相同的樣本數(shù)，得到直線的方程也可能是不相同的，這是由樣本的隨機(jī)性造成的設(shè)計(jì)意圖：通過分組對(duì)照,相同之處與不同之處顯而易見，使學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力三、反思所學(xué)例子：下面是兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)：X12345678y1491625364964（1）請(qǐng)用最

12、小二乘法求出這兩個(gè)變量之間的線性回歸方程（2）從我們提供的數(shù)據(jù)中很容易看出;,而我們用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)時(shí)得出的是線性方程，顯然這樣的估計(jì)已經(jīng)失去了意義，你覺得問題出在哪兒？應(yīng)當(dāng)怎樣避免？總結(jié)：使學(xué)生了解到利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)時(shí)，要先做出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，我們?cè)俑鶕?jù)這個(gè)規(guī)律性進(jìn)行擬合如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系，我們可以用最小二乘法估計(jì)出線性回歸方程；如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系，我們就要利用其他的工具進(jìn)行擬合設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生在小結(jié)與反思中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們結(jié)合圖示和具體例子主要學(xué)習(xí)了用最小二乘法求線性回歸方程，本節(jié)課的主要目的是了解最小二乘法思想，

13、會(huì)用系數(shù)公式求線性回歸方程本節(jié)是必修3統(tǒng)計(jì)這一章的最后一節(jié)，學(xué)完本章，我們基本上對(duì)統(tǒng)計(jì)的過程有了清晰的認(rèn)識(shí)，即“收集數(shù)據(jù)-整理數(shù)據(jù)-分析數(shù)據(jù)-作出推斷”在課下，對(duì)于統(tǒng)計(jì)這一章的復(fù)習(xí)，我們要注重動(dòng)手實(shí)踐，而不要機(jī)械記憶理論，對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)算要用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，把注意力放在統(tǒng)計(jì)過程上，以培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)意識(shí)，了解統(tǒng)計(jì)對(duì)于現(xiàn)實(shí)的作用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)在選修課中還要學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們?yōu)橐院蟮膶W(xué)習(xí)認(rèn)真復(fù)習(xí)體會(huì)五、鞏固練習(xí)參見上節(jié)課中北京市某中學(xué)學(xué)生關(guān)于身高與右手一拃長之間的數(shù)據(jù)（1）作出女生數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，看是否成線性關(guān)系如果是，用最小二乘法估計(jì)二者之間的線性回歸方程（2）作出男生數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，看是否成線性關(guān)系如果是，用最小二乘法估計(jì)二者之間的線性回歸方程(3) 比較這兩個(gè)方程，說說你的看法六、作業(yè) 第70頁習(xí)題19【專家點(diǎn)評(píng)】本教學(xué)設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)是：（1）通過舊知，引入新課；（2）通過對(duì)典型例題的分析，直截了當(dāng)，切入關(guān)鍵點(diǎn)和核心內(nèi)容（最小二