年全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)試卷

1、2021 年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（i 卷）2021.6理科數(shù)學(xué)一、挑選題：此題共12 小題，每道題 5 分，共 60 分；在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有哪一項(xiàng)符合題目要求的；1. 已知集合 m x |4x2， n x | x 2x60 ，就 mina. x |4x3b. x |4x2c. x |2x2d. x | 2x32. 設(shè)復(fù)數(shù) z 滿意 | zi |1 ，z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 x,y，就a. x1 2y21b. x1 2y 21c. x2 y121d. x2 y1 213. 已知 alog 2 0.2， b20.2， c0.20.3 ，就a. abcb. acbc. cabd

2、. bca4. 古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底長(zhǎng)度之比是51 （51220.618 ，稱為黃金分割比例） ，聞名的 “ 斷臂維納斯 ” 便是如此；此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是51 ；2如某人滿意上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，就其身高可能是a. 165 cmb. 175 cmc. 185 cmd. 190 cm5. 函數(shù)f xsin xx在, 的圖像大致為cos xx2文科數(shù)學(xué)第1 頁(yè)（共 4 頁(yè)）a. b.c.d.6. 我國(guó)古代典籍周易用卦描述萬(wàn)物的變化；每一“重卦” 由從下到上排列的6 個(gè)

3、爻組成，爻分為陽(yáng)爻 “” 和陰爻 “”，右圖就是一重卦；在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，就該重卦恰有3 個(gè)陽(yáng)爻的概率是a. 5 16b. 1132c. 21 32d. 11167. 已知非零向量 a，b 滿意|a| = 2|b|，且a - bb，就 a 與 b 的夾角為a. b.c. 2d.563368. 右圖是求21 的程序框圖，圖中空白框應(yīng)填入1212a. a12ab. a21 ac. a1d. a12 a112 a9. 記 sn 為等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和；已知 s4 = 0， a5 = 5，就文科數(shù)學(xué)第2 頁(yè)（共 4 頁(yè)）a. an2 n5b. an3n10c. sn2 n28nd. s

4、n1 n 22n210. 已知橢圓 c 的焦點(diǎn)為f11,0，f2 1,0 ，過 f2 的直線與 c 交于 a、b 兩點(diǎn)，如| af2 |2 | f2 b |，| ab | | bf1 |，就 c 的方程為2a. xy21x2y2b. 1x2y 2c. 1x2y 2d. 1232435411. 關(guān)于函數(shù)f xsin | x | sinx | 有下述四個(gè)結(jié)論：f x 是偶函數(shù)f x 在區(qū)間 ,2 單調(diào)遞增f x 在 , 有 4 個(gè)零點(diǎn)f x 的最大值為 2a. b. c. d. 12. 已知三棱錐 p-abc 的四個(gè)頂點(diǎn)在球 o 的球面上， pa = pb = pc，abc是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形

5、，e、f 分別是 pa、ab 的中點(diǎn)，cef90，就球 o 的體積為a. 86b. 46c. 26d. 62、填空題：此題共4 小題，每道題 5 分，共 20 分；13. 曲線 y3 x2xex 在點(diǎn)0,0處的切線方程為 ；14. 記 sn 為等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，如 a112， a43a6 ，就 s5 ；15. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，實(shí)行七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)成功時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽終止）；依據(jù)前期競(jìng)賽成果，甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主 ”；設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，就甲隊(duì)以4:1 獲勝的概率是 ；16. 已知雙曲線x

6、2c : a22y1a b20, b0 的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，過 f1 的直線與 c 的兩條漸近線分別交于 a、b 兩點(diǎn)，如f1 aab，f1b·f2 b0 ，就 c 的離心率為 ；3、解答題：共 70 分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟；第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答；第22、23 題為選考題，考生依據(jù)要求作答；文科數(shù)學(xué)第3 頁(yè)（共 4 頁(yè)）（ 1）必考題：共 60 分；17.（12 分）abc 的內(nèi)角 a、b、c 的對(duì)邊分別為 a、b、c，設(shè)sin bsin c 2sin2 asinb sin c ；（1）求 a；（2）如2ab2c，求sin c；

7、18.（12 分）如圖，直四棱柱abcd-a1b1c1d1 的底面是菱形，aa1 = 4， ab = 2，bad60，e、m、n 分別是 bc、bb1、a1d 的中點(diǎn)；（ 1）證明： mn / 平面 c1de；（ 2）求二面角 a-ma1-n 的正弦值；19.（12 分）已知拋物線c : y 23x 的焦點(diǎn)為 f，斜率為3 的直線 l 與 c 的交點(diǎn)為 a、b，與 x 軸的交點(diǎn)為 p；2（1）如 | af | bf |4 ，求 l 的方程；（2）如 ap3pb，求 | ab | ；文科數(shù)學(xué)第4 頁(yè)（共 4 頁(yè)）20.（12 分）已知函數(shù)f xsin xln1x，f' x為f x的導(dǎo)數(shù)；

8、證明：（1） f' x在區(qū)間 1, 存在唯獨(dú)極大值點(diǎn)；2（2） f x有且僅有 2 個(gè)零點(diǎn)；21.（12 分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，期望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)；試驗(yàn) 方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥， 另 一只施以乙藥，一輪的治療成效得出后，再支配下一輪試驗(yàn)；當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種 藥治愈的白鼠多 4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效；為了便利描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，如施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈就甲藥得1 分，乙藥得-1分；如施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈就乙

9、藥得1 分，甲藥得-1 分；如都治愈或都未治愈就兩種藥均得0 分；甲、乙兩種藥的治愈率分別記為為 x；（1）求 x 的分布列；和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記（2）如甲藥、乙藥在試驗(yàn)開頭時(shí)都給予4 分，pi i0,1,l,8 表示“ 甲藥的累計(jì)得分為i 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，就 p00， p81， piapi 1bpicpi1i1,2,l,7 ，其中ap x1， bp x0， cp x1 ；假設(shè)0.5，0.8 ；（i）證明： pi 1pi i0,1,2,l,7為等比數(shù)列；（ii ）求p4 ，并依據(jù)p4 的值說明這種試驗(yàn)方案的合理性；文科數(shù)學(xué)第5 頁(yè)（共 4 頁(yè)）（二）選考題：共10 分；請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答；假如多做，就按所做的第一題計(jì)分；22. 選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）2x1t在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為1t 2y4t1t 2t為參數(shù) ；以坐標(biāo)原點(diǎn) o 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l 的極坐標(biāo)方程為 2cos3