實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算

1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù) ，即，即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù) ，即，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù) ，即，即積的乘方，等于各因式冪的積，即：積的乘方，等于各因式冪的積，即：冪冪aaaan.底數(shù)底數(shù)指數(shù)指數(shù)n個(gè)個(gè)a(1)冪的概念冪的概念:(2)冪的運(yùn)算法則冪的運(yùn)算法則:nmnmaaanmnmaaamnnmaa)(mmmbaba )(), 0(*，、nmNnma在運(yùn)算法則中，若去掉在運(yùn)算法則中，若去掉mnmn會(huì)怎樣？會(huì)怎樣？3333 aaa0a5353 aaa2 a121annaaa110）（0a），（Nna0將將正

2、整數(shù)正整數(shù)指數(shù)冪推廣到指數(shù)冪推廣到整數(shù)整數(shù)指數(shù)冪指數(shù)冪m=nm1,且且nN* *. 24=16(- -2)4=1616的的4次方根是次方根是2.(- -2)5=- -32- -32的的5次方根是次方根是- -2.2是是128的的7次方根次方根.27=128即即 如果一個(gè)數(shù)的如果一個(gè)數(shù)的n次方等于次方等于a (n1，且，且nN* *)，那么這個(gè)數(shù)叫做，那么這個(gè)數(shù)叫做 a 的的n次方根次方根. 【1】試根據(jù)試根據(jù)n次方根的定義分別求出下次方根的定義分別求出下列各數(shù)的列各數(shù)的n次方根次方根.(1)25的平方根是的平方根是_;(2)27的三次方根是的三次方根是_;(3)- -32的五次方根是的五次方根

3、是_;(4)16的四次方根是的四次方根是_;(5)a6的三次方根是的三次方根是_;(6)0的七次方根是的七次方根是_.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :求一個(gè)數(shù)求一個(gè)數(shù)a的的n次方根就是求出次方根就是求出哪個(gè)數(shù)哪個(gè)數(shù)的的n次方等于次方等于a.53- -220a223=8(- -2)3=- -8(- -2)5=- -32 27=1288的的3次方根是次方根是2.- -8的的3次方根是次方根是- -2.- -32的的5次方根是次方根是- -2.128的的7次方根是次方根是2.奇次方根奇次方根 1.正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù), 2.負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).nana的的 次

4、次方方根根( (奇奇用用符符號(hào)號(hào)次次) )表表示示. .382. 記記作作：382. 記記作作：5322. 記記作作：71282. 記記作作：72=49(- -7)2=4934=81(- -3)4=8149的的2次方根是次方根是7，- -7.81的的4次方根是次方根是3，- -3.偶次方根偶次方根 2.負(fù)數(shù)的偶次方根沒(méi)有意義負(fù)數(shù)的偶次方根沒(méi)有意義 1.正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù) 記記作作：497 記記作作：4813 (nanan 正正數(shù)數(shù) 的的 次次方方根根用用符符號(hào)號(hào)表表示示為為偶偶數(shù)數(shù)）26=64(- -2)6=6464的的6次方根是次方根是2，- -

5、2.記記作作：6642. 正數(shù)的奇次方根是正數(shù)正數(shù)的奇次方根是正數(shù).負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù).零的奇次方根是零零的奇次方根是零.(1) 奇次方根有以下性質(zhì)：奇次方根有以下性質(zhì)：,21,N ,0,2 ,N .nnankkxnaak k 那那么么如如果果, axn(2)偶次方根有以下性質(zhì)：偶次方根有以下性質(zhì)：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且是相反數(shù)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且是相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，零的偶次方根是零零的偶次方根是零.na 根指數(shù)根指數(shù)根式根式被開(kāi)被開(kāi)方數(shù)方數(shù) 由由xn = = a 可知，可知，x叫做叫做a的的n次方根次方根.233( 9)_, (8)_. 9

6、-8 當(dāng)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)是奇數(shù)時(shí), 對(duì)任意對(duì)任意a R都有意義都有意義.它表它表示示a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)唯一的一個(gè)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)唯一的一個(gè)n次方根次方根.()nnaa na 當(dāng)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)是偶數(shù)時(shí), 只有當(dāng)只有當(dāng)a0有意義有意義,當(dāng)當(dāng)a0,m,nN*,且且n1) 注意：注意：底數(shù)底數(shù)a0這個(gè)條件不可少這個(gè)條件不可少. 若無(wú)此條件會(huì)若無(wú)此條件會(huì)引起混亂，例如，引起混亂，例如，(-1)1/3和和(-1)2/6應(yīng)當(dāng)具有同樣應(yīng)當(dāng)具有同樣的意義，但由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得出不同的的意義，但由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得出不同的結(jié)果：結(jié)果： =-1； =1. 這就說(shuō)明這就說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于0時(shí)無(wú)意義時(shí)

7、無(wú)意義.3311)1( 662621)1()1( 用語(yǔ)言敘述用語(yǔ)言敘述：正數(shù)的：正數(shù)的 次冪次冪(m,nN*,且且n1)等于這個(gè)正數(shù)的等于這個(gè)正數(shù)的m次冪的次冪的n次算術(shù)根次算術(shù)根.nm負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義回憶負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：回憶負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：an= ( a0,nN*).na1正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和正數(shù)的負(fù)整正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和正數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，就是：數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，就是： (a0,m,nN*,且且n1).nmnmnmaaa11 規(guī)定：規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義數(shù)冪沒(méi)有意義.注意：注意：

8、負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下，總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù),負(fù)號(hào)只是出現(xiàn)負(fù)號(hào)只是出現(xiàn)在指數(shù)上在指數(shù)上.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)我們規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指我們規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)從整數(shù)指數(shù)推廣到推廣到有理數(shù)指有理數(shù)指數(shù)數(shù). 上述關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)上述關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于有理指數(shù)冪也同樣適用，于有理指數(shù)冪也同樣適用，即對(duì)任意有即對(duì)任意有理數(shù)理數(shù)r，s，均有下面的性質(zhì)：，均有下面的性質(zhì)： aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)；

9、(ab)r=ar br (a0,b0,rQ).說(shuō)明：說(shuō)明：若若a0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)一個(gè)確定的實(shí)數(shù). 上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用. 即當(dāng)指數(shù)的即當(dāng)指數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)集范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)集R后，冪的運(yùn)算性質(zhì)仍然后，冪的運(yùn)算性質(zhì)仍然是下述的是下述的3條條. 34132633252533333888）（ba8852534282231）（933333326131211613121432341332baba）（）（練習(xí)練習(xí)2212121212121）（）（bababababa221221）（）

10、（21212baba思考思考2:2:我們知道我們知道 1 1414 21356,414 21356,那么那么 的大小如何確定？我們又應(yīng)如何的大小如何確定？我們又應(yīng)如何理解它呢？理解它呢？2522252思考思考1:1:上面，我們將指數(shù)的取值范圍由整數(shù)推廣上面，我們將指數(shù)的取值范圍由整數(shù)推廣 到了有理數(shù)，并且整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理到了有理數(shù)，并且整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理指數(shù)冪都適用指數(shù)冪都適用. .那么，當(dāng)指數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)呢？那么，當(dāng)指數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)呢？ 的過(guò)剩近似值的過(guò)剩近似值 的過(guò)剩近似值的過(guò)剩近似值1.51.511.180 339 8911.180 339 891.421.429.829 63

11、5 3289.829 635 3281.4151.4159.750 851 8089.750 851 8081.414 31.414 39.739 872 629.739 872 621.414 221.414 229.738 618 6439.738 618 6431.414 2141.414 2149.738 524 6029.738 524 6021.414 213 61.414 213 69.738 518 3329.738 518 3321.414 213 571.414 213 579.738 517 8629.738 517 8621.414 213 5631.414 213 5

12、639.738 517 7529.738 517 752225252 的不足近似值的不足近似值 的不足近似值的不足近似值9.518 269 6949.518 269 6941.41.49.672 669 9739.672 669 9731.411.419.735 171 0399.735 171 0391.4141.4149.738 305 1749.738 305 1741.414 21.414 29.738 461 9079.738 461 9071.414 211.414 219.738 508 9289.738 508 9281.414 2131.414 2139.738 516 76

13、59.738 516 7651.414 213 51.414 213 59.738 517 7059.738 517 7051.414 213 561.414 213 569.738 517 7369.738 517 7361.414 213 5621.414 213 562例例1.求值：求值：52 674 36 4 2. 解：解：222( 32)(23)(22) 原原式式| 32|23|22| )22()32()23( 223223 2 2. 例例2如果化簡(jiǎn)代如果化簡(jiǎn)代數(shù)式數(shù)式24412|2|.xxx22520,xx解：解：22520,xx解之，得解之，得12.2x 所以所以210,20.xx 24412|2|xxx 2(21)2|2|xx |212|2|xx 2(2)21xx 2214xx 3. 22520,xx平方差公式平方差公式:完全平方式完全平方式:立方和公式立方和公式: :立方差公式立方差公式: :和的立方公式：和的立方公式：差的立方公式：差的立方公式：222222