14生活中的優(yōu)化問題

1、14生活中的優(yōu)化問題舉例1. 要制做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm,要使其體積最大，則高為（）羽16羽2麗A.*"cmB. cmC. cmD一cmI答案D2. 用總長為6m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的 相鄰兩邊長之比為3： 4,那么容器容積最大時，高為（）A. 0.5m B. Im C. 0.8m D. 1.5mI答案A亠 6 - 1- 1 6a 丫 3懈析設容器底面相鄰兩邊長分別為3g 亦，則咼為5二匕-7xJ（m）,容積 V = 3r 4r （弓 _ 7x1 = 18x2 - 84.if Oov訂）,V' = 36x - 252x2 ,由

2、W 二。得 x 二扌或 x 二 0（舍去）.xg| 0 , *時，W >0 z xe|j , 令時V <0 , 所以在x二*處，有最大值，此時高為0.5m.3. 內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為（）43A. R B. 2RC.亍RD. &RI答案C解析設圓錐高為h ,底面半徑為r f則R? = （hR）2 +宀 "=2Rh - h2 ,.'.V = jjirh =為（2Rh _ h2）=和Rh，- ?/?3 , V1'二扌兀/? -祀卩.令 V 二 0 得力二扌/?. 當0</7<|/?時 f >0 ；當-y</?&

3、lt;2/?時 V <0.因此當二扌R時，圓錐體積最大.4. 福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x 小時時，原油溫度（單位：。C）為/=|v3-a2 + 8（0a<5）,那么，原油溫度的瞬 時變化率的最小值是（）20A. 8B.可C1 D8答案C解析瞬時變化率即為廠 二壬-2x為二次函數,且/ ' (a) = (x-l)2-l ,又X曰0,5，故 X = 1 時，廠(X)min = 1.25. 某廠生產某種產品x件的總成本：C(x)= 200+刼X 乂產品單價的平方與 產品件數x成反比，生產100件這樣的產品的單價為50元，總利潤最大時，產 量

4、應定為件.I答案25I解析設產品單價為“元,又產品單價的平方與產品件數X成反比，即心二k ,由題知 a = 總利潤y = 500/a-卻3 - 1 200(a>0) ,y' =-虧r2，由 y' =0 ,得x = 25 t xG(0,25)時 f yz >0 f xG(25 f + 呵時 f<0 f 所以x = 25時,y取最大值.6如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長最小時，x與力的比為【答案1： 1解析設窗戶面積為S ,周長為L ,則S二護+ 211X , =>二窗戶周長L2S7TS. 7C*S ./戸= 7lx +

5、2x + 2h 二x + 2x + ;.厶="+ 2 p- m L = 0 # j§ x =0,2S H 時/ <0 , A-e2S市2時 z Z/ >0 ,當 x =h 2S - TUT 2$ TT 兀 + 4 jrL取最 '值/此時7二飛廠=4-4 = 4=1-7. 永泰某景區(qū)為提高經濟效益，現(xiàn)對某一景點進行改造升級，從而擴大內需， 提高旅游增加值，經過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x(x10)萬元之間滿 足：y=/(x)=or2+豊x”ln話，a, b為常數.當x=10萬元時，y=19.2萬元； 當 x=30 萬元時，>'=50.5

6、 萬元.(參考數據：ln2=0.7, ln3= 1.1, ln5=1.6).求用)的解析式；（2）求該景點改造升級后旅游利潤八勸的最大值.（利潤=旅游增加值一投 入）.|解析由條件可得1必3。2 +而X30 - bln3 二 50.5 ,則/W =-益+帶兀-In希(心10).x2 51 xei ,-x 511(2)T(x) =J(x) -x = - fo5 + 50x ' lnW(A>10) 貝IT (x) = 0 + 50 _ x =- (x - l)(x - 50)50x，令廠(x) = 0,Wx=l(舍)或兀二 50 ,當 xG(10,50)時，廠(x)>0,因此

7、7V)在(10,50) 上是增函數；當止(50 , + °°)時,V (a)<0 ,因此心)在(50 , + I上是減函數， .當 x = 50 時,T(x)取最大值.7(50)=-益 + |gX50 - In誥二 24.4(萬元).8. 若一球的半徑為廠，作內接于球的圓柱，則圓柱側面積的最大值為()答案A解析設內接圓柱的底面半徑為門，高為/,則 S 二 2nnf = 2n門2y卩 _ r?二 4gJ.S = 卄-沖.令（rM -沖）'二 0 得9. 某廠生產某種電子元件，如果生產出一件正品，可獲利200元，如果生產出 一件次品，則損失100元.已知該廠制造電

8、子元件過程中，次品率p與日產量x 的函數關系是：=4匸3衛(wèi)刊+）.寫出該廠的日盈利額T(元)用日產量x(件)表示的函數關系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產量應定為多少件？I解析由意可知次品率廠日產次品數/日產量，每天生產x件次品數為® , 正品數為Hl -P)因為次品率廠三土，當每天生產x件時，有上三士件次3x )3x/ 4x + 32zX/件正品所以2 200彳1 -4x+32y品，有X64x - X2-100.V = 254x + 32 x + 8(xGN + )(x+ 32)(x - 16),(2)廠 =-25 # 由廠 二0 得 x= 16 或 x=-32(舍去)當 0

9、<xW16(x + 8)2時，廠20 ；當& 16時，廠W0 ；所以當A = 16時，卩最大.即該廠的日產量 定為16件，能獲得最大日盈利.10. 時下，網校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經成為學生們課外學習的 一種趨勢，假設某網校的套題每日的銷售量)，(單位：千套)與銷售價格x(單位： 元/套)滿足的關系式)=住+4(*6尸，其中2<v<6, /n為常數.已知銷售價格 為4元/套時，每日可售出套題21千套.(1) 求m的值；(2) 假設網校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出 的套數)，試確定銷售價格x的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大

10、.(保 留1位小數)懈析(1)因為x = 4時，)=21，代入關系式y(tǒng) = + 4(x - 6)2 '得號+ 16 = 21 , X - 22解得“7二10.由可知，套題每日的銷售量y二£ + 4(% - 6)2 ,所以每日銷售套題所獲得x - 2的利潤幾¥)=(X - 2)+ 4(x - 6)2 = 10 + 4(x - 6)2(x - 2)二 4x3 - 56/ + 240x - 278(2<v<6),從而 fr (X)= 12%2 - 112x + 240 二 4(3x - 10)(x - 6)(2<v<6)令 f (x)二 0 得 x

11、 =平, 且在(0 ,學上,ff (a)>0 ,函數他單調遞增；在閉，6)上，廠(A)<0 ,函數妙 單調遞減，所以*弓是函數/在(2,6)內的極大值點，也是最大值點,11. 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池(平面圖如 圖所示).如果池四周圉墻建造單價為400 7C/m2,中間兩道隔墻建造單價為248 7C/m2,池底建造單價為80 7C/m2,水池所有墻的厚度忽視不計.(1) 試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2) 若由于地形限制，該地的長和寬都不能超過16m,試設計污水處理池的 長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.懈析設

12、污水處理池的長為Am ,則寬為攀m ,再設總造價為y元，則有200200259200(l)y = 2xX400 + X2X400 + 248X2X +8OX2OO = 8OOx + : +.X.XX259200800x- "920()+ 16000 = 2X14400 + 16000 = 44800 #當且僅當800人=亠計'即兀二18(m)時f y取得最小值1 AA當污水處理池的長為18m ,寬為七-m時總造價最低，為44800元.(2)v0<xl6.0<16125WxW16 , xH18 ,X由(1)知，y=0(x)=8OO(x+¥)+16OOO(1

13、2.5WxW16)=© (x)=800(l當a2 - 324125WxW16時$ 二800 k v0八y在12.5,上為減函數 從而 沁&颯16)二45000.當長為16m、寬為12.5m時，總造價最低,最低造價為45000元.12. 如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少?設箱子的底邊長為x cm,cm.箱子容積 V(x)=x1h = 60 X (0<v<60).3求V(x)的導數，得Wa)=60x尹2 = 0,解得X1=O(不合題意,舍去)

14、,"2=40.當兀在(0, 60)內變化時，導數W(x)的正負如下表:X(0, 40)40(40, 60)%)+0因此在a=40處，函數gr)取得極大值，并且這個極大值就是函數U(x)的最 大值.將x=40代入H(x)，60-40：得最大容積 V=402X=16 000(cm3).所以，箱子底邊長取40 cm時，容積最大，最大容積為16 000 cm3.13. 某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩 端橋墩之間的橋面和橋墩.經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離 為X米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+&)x萬元.假設橋墩等距離分 布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關于x的函數關系式；當加= 640米時，需新建多少個橋墩才能使)，最?。拷庠O需新建"個橋墩，則(+l)x=加，即 n= 1 .所以 y=f(x) = 256“+(“ +1 )(2+x)x=A25