逆矩陣的計算

1、逆矩陣的概念逆矩陣的概念矩陣可逆的條件矩陣可逆的條件逆矩陣的求法逆矩陣的求法3 逆逆 陣陣 矩陣之間沒有定義除法，而數(shù)的運(yùn)算有矩陣之間沒有定義除法，而數(shù)的運(yùn)算有除法，本節(jié)相對于實數(shù)中的除法運(yùn)算，引入除法，本節(jié)相對于實數(shù)中的除法運(yùn)算，引入逆矩陣的概念。逆矩陣的概念。則說方陣則說方陣 A 是是可逆的可逆的，并把方陣，并把方陣 B 稱為稱為 A 的的逆矩陣逆矩陣。逆陣的概念逆陣的概念注意：只有方陣才有逆矩陣的概念。注意：只有方陣才有逆矩陣的概念。 由定義即得：當(dāng)由定義即得：當(dāng)B為為A 的逆矩陣時，的逆矩陣時，A也是也是B 的逆的逆矩陣。矩陣。例如例如,110632421,112212023 BA設(shè)設(shè)

2、 因為因為AB = BA = E，所以，所以B是是A的逆矩陣，同樣的逆矩陣，同樣A 也也是是B 的逆矩陣。的逆矩陣。定義定義7 7 對于對于n階方陣階方陣A，如果有一個，如果有一個n 階階方陣方陣B，使，使AB = BA = E，B = A -1-1 。 如果方陣如果方陣A是可逆的，則是可逆的，則 A 的逆陣一定是的逆陣一定是唯一唯一的。的。 這是因為：設(shè)這是因為：設(shè) B、C 都是都是 A的逆矩陣，的逆矩陣， 則有則有B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，所以所以 A 的逆陣是唯一的。的逆陣是唯一的。A的逆陣記作的逆陣記作A -1-1。 即若即若AB = BA = E，則

3、，則例如例如,110632421,112212023 BA設(shè)設(shè)因為因為AB=BA=E，所以，所以B是是A的逆陣，即的逆陣，即 A -1-1 = B 定理定理1 1 若方陣若方陣 A 可逆，則可逆，則 A 的行列式不等于的行列式不等于 0 。 證證 A 可逆，即有可逆，即有 A -1-1 ，使，使 AA -1-1 = = E，故故 | |A|A -1-1 |=|=|E| = 1| = 1，所以所以| |A| 0 | 0 。矩陣可逆的條件矩陣可逆的條件例如例如,3275,5273 BA設(shè)設(shè)易見易見AB=BA=E，即即A可逆?？赡?。 此時此時|A| = 1 0。 定理定理1表明，可逆陣的行列式一定不

4、等于零。這表明，可逆陣的行列式一定不等于零。這個結(jié)論反過來也成立。請看下面的定理個結(jié)論反過來也成立。請看下面的定理2。 定理定理2 2 若若A的行列式不等于的行列式不等于0 0 ，則，則A可逆，且可逆，且.,1*1的的伴伴隨隨陣陣為為方方陣陣其其中中AAAAA 證證 由例由例 9 9 知知AA* * = = A* *A = | = |A| |E，,)1()1(, 0*EAAAAAAA 故故有有因因.1,*1AAA 有有所所以以 當(dāng)當(dāng) | |A| = 0 | = 0 時，時，A 稱為稱為奇異方陣奇異方陣，否則稱為，否則稱為非非奇異陣奇異陣。 B = E B =（A -1-1 A）B = A -1

5、-1 （AB）= A -1-1 E = A -1-1 。 由定理由定理1 1和定理和定理2 2可得：矩陣可得：矩陣A 是可逆方陣的充是可逆方陣的充分必要條件是分必要條件是 | |A| 0 | 0 。推論推論 若若 AB = E（或（或 BA = E），則），則B = A -1-1 。證證 因為因為|A| |B| = |E| 1，故故| |A| 0| 0，因而因而 A -1-1存在，存在， 于是于是注：定理注：定理2可用來求一些矩陣的逆矩陣。可用來求一些矩陣的逆矩陣。例如例如,3221 A設(shè)設(shè)01| A則則故故A可逆。可逆。,1223* A因因為為.1223122311|1*1 AAA所以所以

6、需要說明的是：通常利用伴隨陣需要說明的是：通常利用伴隨陣A* * 來計算來計算A的逆的逆矩陣的方法只限于階數(shù)不超過矩陣的方法只限于階數(shù)不超過3 3的矩陣，否則計算量可的矩陣，否則計算量可能很大。能很大。 對于階數(shù)高于對于階數(shù)高于3 3 的矩陣，以后將介紹用初等變換的矩陣，以后將介紹用初等變換的方法來求逆矩陣。的方法來求逆矩陣。方陣的逆陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：方陣的逆陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：.)(,).1(111AAAA 且且也可逆也可逆則則可逆可逆若若.1)(, 0,).2(11 AAAA 并并且且也也可可逆逆則則數(shù)數(shù)可可逆逆若若.)(,).3(111 ABABABBA且且也可逆也可逆則則是同階可逆方

7、陣是同階可逆方陣若若證證 .)()(11111EAEAABBAABAB .)()(,).4(11TTTAAAA 且且也也可可逆逆則則可可逆逆若若證證.)()(11EEAAAATTTT 其中其中 k 為正整數(shù)。為正整數(shù)。,0|時時當(dāng)當(dāng) A,)(,10kkAAEA .)( , AAAAA 定義定義有有為為整整數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng), 0| A.343122321的逆陣的逆陣 AA1111= 2= 2，A2121= 6= 6，A3131= =4 4，A1212= =3 3，A2222= =6 6，A3232=5=5，A1313= 2= 2，A2323= 2= 2，A3333= =2 2，例例9 9,22256

8、3462* A得得.111253232311*1 AAA所以所以解解經(jīng)計算可得：經(jīng)計算可得：| |A| = 2 0| = 2 0，知，知A可逆。可逆。求方陣求方陣,130231,3512,343122321 CBA求矩陣求矩陣X使?jié)M足使?jié)M足AXB = C。例例1010 設(shè)設(shè) 若若A-1-1 ，B -1-1 存在，則由存在，則由A-1-1左乘左乘AXB = C，又，又用用B-1-1右乘右乘AXB = C，有有 A-1-1 AXBB-1-1 = = A-1-1 CB-1-1 ，即即 X = = A-1-1 CB-1-1 。分析：分析：,2513,1112532323111 BA11 CBAX于是于

9、是 2513202011解解 251313023111125323231.41041012 矩陣的運(yùn)算小結(jié)矩陣的運(yùn)算小結(jié)一、已定義過的運(yùn)算：一、已定義過的運(yùn)算：矩陣與矩陣的加、減法；矩陣與矩陣的加、減法；矩陣與數(shù)的乘積；矩陣與數(shù)的乘積；矩陣與矩陣的乘積；矩陣與矩陣的乘積；方陣的行列式；方陣的行列式；逆矩陣；逆矩陣；矩陣的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置。二、不允許出現(xiàn)的二、不允許出現(xiàn)的“運(yùn)算運(yùn)算”：矩陣與數(shù)的加、減法；矩陣與數(shù)的加、減法；矩陣與矩陣相除；矩陣與矩陣相除；數(shù)除以矩陣。數(shù)除以矩陣。矩陣的運(yùn)算中矩陣不能出現(xiàn)在矩陣的運(yùn)算中矩陣不能出現(xiàn)在“分母分母”中。這與中。這與行列式是根本不同的。因為行列式是行列式

10、是根本不同的。因為行列式是“數(shù)數(shù)”，當(dāng)這個，當(dāng)這個數(shù)不等于零時，就可以出現(xiàn)在分母中，因此行列式可數(shù)不等于零時，就可以出現(xiàn)在分母中，因此行列式可以出現(xiàn)在分母中。以出現(xiàn)在分母中。三、矩陣運(yùn)算中要注意的地方三、矩陣運(yùn)算中要注意的地方以下運(yùn)算都只有以下運(yùn)算都只有方陣方陣才有：才有： (1). 逆矩陣；逆矩陣； (2). 方冪；方冪； (3). 矩陣的行列式。矩陣的行列式。矩陣的乘法通常沒有矩陣的乘法通常沒有交換律交換律、消去律消去律。兩個非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣。兩個非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣。 用一個數(shù)去乘以矩陣與用一個數(shù)去乘以行列用一個數(shù)去乘以矩陣與用一個數(shù)去乘以行列即當(dāng)兩個矩陣的乘積為

11、零矩陣時，不能推即當(dāng)兩個矩陣的乘積為零矩陣時，不能推出其中必有一個為零矩陣。出其中必有一個為零矩陣。式是不同的。式是不同的。.,400030002的的逆逆矩矩陣陣求求設(shè)設(shè)AA ., 024|可可逆逆故故因因AA 解解,1211 A又又, 822 A, 633 A), 3 , 2 , 1,( 0jijiAij 且且Ex.4,6000800012* A所以所以于是于是*1|1AAA 6000800012241.410003100021 ),0(000000000,2121 nnaaaaaaA設(shè)設(shè)由由上上例例可可推推得得.100000010001211 naaaA則則也可以直接按定義來驗證這一結(jié)論。

12、也可以直接按定義來驗證這一結(jié)論。.,4228555013323114,10021121012110111 AABBA并求并求計算計算設(shè)設(shè),1010000010000010000010EAB 容容易易計計算算出出解解,101EBA 即即.1011BA 于于是是由由推推論論知知Ex.5.,3,23,1010201012BEBAEBABA求求階階單單位位陣陣是是其其中中滿滿足足等等式式階階方方陣陣又又設(shè)設(shè) ,2222BABAEBAEBA 可可得得由由解解),(22AEBAE 或或Ex.6 .)(212 AEAEB即即 12)(2 AEAEB121010201011000100011010201011

13、000100012 1001010100002040200200020002 1001010100202020202 001010100202020202.202020202 1001010100002040200200020002 設(shè)給定一個設(shè)給定一個線性變換：線性變換：)7(,22112222121212121111 nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay它的系數(shù)矩陣是一個它的系數(shù)矩陣是一個 n 階方陣階方陣A，,2121212222111211 nnnnnnnnyyyYxxxXaaaaaaaaaA則線性變換則線性變換(7)(7)可記為可記為Y = AX. (8).

14、 (8)記記按克拉默法則，若按克拉默法則，若| |A|0|0，則由（，則由（7 7）可解出）可解出 ,12211nniiiiyAyAyAAx 即即x1 1 , , x2 2 , . , . , xn 可用可用y1 1 , ,y2 2 , , , yn 線性表示為：線性表示為：)9(,22112222121212121111 nnnnnnnnnnybybybxybybybxybybybx.,1的的并并且且這這個個表表示示式式是是唯唯一一其其中中jiijAAb 從從(8)(8)、(10)(10)兩式分析變換所對應(yīng)的方陣兩式分析變換所對應(yīng)的方陣A與逆與逆變換所對應(yīng)的方陣變換所對應(yīng)的方陣B之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： 將將(10)(10)代入代入(8)(8)，可得，可得線性變換線性變換(9)(9)稱為線性變換稱為線性變換(7)(7)式的式的逆變換逆變換。若把若把(9)(9)的系數(shù)矩陣記為的系數(shù)矩陣記為B，則，則(9)(9)也可寫成也可寫成X = BY (10) (