2020年江蘇卷(含答案)

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)I注意事項(xiàng)考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 .本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時(shí)間 為120分鐘。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2 .答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題 卡的規(guī)定位置.3 .請認(rèn)真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4 .作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律無效.5 .如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須

2、加黑、加粗.參考公式：柱體的體積V =其中S是柱體的底面積，是柱體的高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 .己知集合A = -1,0,1,2,3 = 0,2,3,則.2 .己知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z = (1 + i)(2-i)的實(shí)部是3 .已知一組數(shù)據(jù)4,2”,3 “,5,6的平均數(shù)為4,則。的值是4 .將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是5 .如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出 的值為-2,則輸入工的值是/輸曲/6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線二-t=l(a>0)的一條漸近線方程為y=1

3、%則該雙曲線的離心 cr 52率是一.7 .已知)=")是奇函數(shù)，當(dāng)后0時(shí)，=,則長8)的值是.8 .已知sin2(2+e)則sin2a的值是.439.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm, 高為2 cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm.10.將函數(shù))=3sin(2.吟 的圖象向右平移看個(gè)單位長度,則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是11.設(shè)如是公差為，/的等差數(shù)列，4是公比為4的等比數(shù)列.已知數(shù)列為+-的前項(xiàng)和 =，/一 + 2' 一 1( e N，),貝ij的值是.12,已知5x2y2 + y

4、4 = l(x y w H),則f f的最小值是.13.在ABC 中，AB = 4, AC = 3, NA4C=90。,。在邊 3c上，延長 AO 到 P,使得 AP=9,若 3>PA=mPB + (m)PC (小為常數(shù)),則。的長度是.則以B而積的最大值是.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15 .在三棱柱ABCASG中，AB±AC,叢C_L平而ABC, E,尸分別是AC, &C的中點(diǎn).(1)求證：EF平面ASG：（2 ）求證：平而A8】C_L平面16 .在ABC中，角A, B, C的對邊分別為

5、“，b, c,已知“ = 3,c = JI.3 = 45。.（1）求sinC的值；4（2）在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cos"OC =一，求tanNDAC的值.17 .某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截而圖如圖所示：谷底。在水平線MN上、橋AB與MN 平行，。為鉛垂線（O'在AB上）.經(jīng)測量，左側(cè)曲線A。上任一點(diǎn)D到MN的距離九（米）與D到OOf的距 離”（米）之間滿足關(guān)系式4 =白，/：右側(cè)曲線8。上任一點(diǎn)尸到MN的距離為（米）與產(chǎn)到。'的距離僅米） 之間滿足關(guān)系式色=-工/+6.已知點(diǎn)B到OOf的距離為40米.oOO（1）求橋A8的長度：（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)

6、建造平行于OO'的橋墩C。和上凡 且CE為80米，其中C, E在A8上（不包括端點(diǎn)）.橋墩石尸每米造價(jià)k(萬元)、橋墩co每米造價(jià)(萬元)(心>0) .問。名為多少米時(shí)，橋墩。與七廠的總造價(jià) 2最低？2218,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓石：二十二=1的左、右焦點(diǎn)分別為后，點(diǎn)A在橢圓E上且在 43第一象限內(nèi)，AFiLFxFi，直線AH與橢圓上相交于另一點(diǎn)股(1)求AQFz的周長：(2)在x軸上任取一點(diǎn)P,直線AP與橢圓上的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)。，求加中的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記QA8與的面積分別為$, S2,若S2=3$,求點(diǎn)M的坐標(biāo).19 .已知關(guān)于 x 的函數(shù) y

7、= /(x), y = g(x)與 h(x) = kx+b(k,b e R)在區(qū)間 D 上恒有 f(x) > h(x) > g(x).(1)若/(x) =/+2x, g(*)= -x2+2k, O = (yc, + 8),求/心)的表達(dá)式；(2)若 f(x)= x2 -x+L g(x) = kInx, h(x) = kx-k,D= (0, + 8),求女的取值范南：(3)若/。)=/-2/，g")=4一8 h(x) = 4(/2-r)x- 3八+ 2/2(O<|/|>/2), D=在幾可=一立，求 證：20 .已知數(shù)列”(£%*)的首項(xiàng)"尸

8、1,前項(xiàng)和為S”.設(shè)九與女是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有5 ：7>一"成立，則稱此數(shù)列為數(shù)列.(1)若等差數(shù)列4是。-1"數(shù)列，求入的值；(2)若數(shù)列同是“乎-2'微列，且s>0,求數(shù)列色“的通項(xiàng)公式：(3)對于給定的入，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列q為。-3”數(shù)列，且a0?若存在，求入的取值范圍：若不 存在，說明理由.數(shù)學(xué)11（附加題）【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修42：矩陣與變換a 121.平而上點(diǎn)42I）在矩陣對應(yīng)的變換作用下

9、得到點(diǎn)8（3T）.（1）求實(shí)數(shù)4，8的值：（2）求矩陣M的逆矩陣M-LB.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22 .在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)4自,勺在直線/：Q8s6 = 2上，點(diǎn)5（分今在圓C：夕= 4sin8上（其中。之0, 3o0<6><2"）.求Pl，夕2的值（2）求出直線/與圓C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).C.選修45：不等式選講23 .設(shè)解不等式2lx + ll + lx«4.【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24 .在三棱錐ABCD中，已知CB=CD=&BD=2, O為

10、BD的中點(diǎn),從。_1_平而8。，AO=2, E為AC的中點(diǎn).（1）求直線A8與3E所成角的余弦值：（2）若點(diǎn)、F在BC上,滿足BF=；BC,設(shè)二而角FDEC的大小為6,求sin6的值. 425 .甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放 入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X”，恰有2個(gè)黑球的概率為“，恰有1個(gè)黑球 的概率為qn.（1）求 prgi 和 P2,q2：（2）求2+%與2小什5”的遞推關(guān)系式和尤的數(shù)學(xué)期望印G（用表示）.2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)參考答案數(shù)學(xué)I一、填空題(共計(jì)70分)131.0,2

11、2.33.24.-5.-36.-7.-414.1069.12>/3 10.x = 11.412.13.0 或心224551.【解析】A = T,0,L2,5 = 0,2,3 AD8 = 0,2,故答案為：62.2 【解析】:復(fù)數(shù) z=(l + i)(2 -I)； z = 2T + 2i=3+i，復(fù)數(shù)的實(shí)部為3.故答案為：3.3.【解析】:數(shù)據(jù)4,北,3。,5,6的平均數(shù)為4 ，4+勿+3-。+5+6 = 20,即a = 2.故答案為：2.4.【解析】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為6x6 = 36個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有(1,4),(4,1), (2,3), (3,2)共4個(gè).41/出現(xiàn)向上

12、的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為P = = .故答案為: 36 95.【解析】由于2、0,所以y = x+l = -2,解得x = 3.故答案為：一36 .【解析】雙曲線v2/一7故=喬,由于雙曲線的一條漸近線方程為y =c 33所以c = J”?+/=J4+5 =3,雙曲線的離心率為：=5.故案為：5,7.【解析】"8) = 1=4,因?yàn)?quot;X)為奇函數(shù)，所以/(-8)= -八8)=Y.故答案為：-48.【解析】VJ2 . J1 2 lrl . 9 ,sm (+ a)=(sin 6/4-cosa) = (l + sm2a)42221 211(1 + sin 2a) = z. sin 2

13、a = ,故答案為：一23339.【解析】正六棱柱體積為6x正x2?x2=126,圓柱體積為/了。二 22所求幾何體體積為126故答案為：126_且 2210【解析】y = 3sin2(x- ) + = 3sin(2x-)6412 /F 7T . z.、7 7T A 7Z z.f9、2x = + k7r(k e Z)/ x = + (k e Z)12 2242當(dāng) =1時(shí)x = ±二故答案為：工=一些2424ii.【解析】設(shè)等差數(shù)列也的公差為，等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)題意夕hl等差數(shù)列q的前，項(xiàng)和公式為P = na +等比數(shù)列也的前項(xiàng)和公式為=hx-q依題意S =匕+Q，即2-I+ 2

14、,r-l = -n2+ /一21i-q通過對比系數(shù)可知，-=12d t4 一 一 = -11 2夕=2=><d = 2eq = 0故" + g = 4 .故答案為：44 = 2仄=1 = -1i-q12"解析】+ -。且妥 廠 + y號. X2表弋，即x'Q'E時(shí)取等13.【解析】尸三點(diǎn)共線可設(shè)兩段0),V PAmPB -m PC t A APD=mPB4 -/? PC,UU )即所號叫"z3若團(tuán)力0且加工大，則用2。三點(diǎn)共線,2m i, 2 '"),即 = 3, I + = 12V AP = 9, ：. AD = 3

15、/： AB = 4.AC = 3,ZBAC = 90°, ：. BC=5.設(shè) CO = x,4 CDA = 8,則 BD = 5-x,乙BDA = 7r-e.根據(jù)余弦定理可得cose =AD2 CD2-AC22 AD CD -cos（7r-8）=2AD BD（5-"-76（5 x）； cosJ+cos（萬一8） = 0,*：;=0,解得X = g.S的長度為與.66（5r）55當(dāng)7 = 0時(shí)，PA = |pc, C,。重合，此時(shí)C£>的長度為0,當(dāng)機(jī)=；時(shí)，pa = PB, &。重合，此時(shí)24 = 12,不合題意，舍去.1 Q故答案為：0或丁.14.

16、【解析】: PA = PB，： PC上AB設(shè)圓心C到直線A8距離為",則L48=2PC 1=居=1所以 S： q2/36 1（" + 1）=人36-/）（" +1尸令），=（36一"2）（" +1）2（0<6/<6） . / = 2（4 + 1）（-2J2 -d + 36） = 0/.d = 4 （負(fù)值舍去） 當(dāng)09/<4時(shí)，/>0；當(dāng)4«d<6時(shí)，y<0,因此當(dāng)d =4時(shí)，S取最大值，即5»用取最大值為10遙,故答案為：106二、解答題（共計(jì)90分）6【解析】（1）由于分別是AC,8c的

17、中點(diǎn)，所以E尸AB由于EFU平面月片G, A用u平而ABC，所以EFH平面48c.（2）由于4。_L平面ABC, 48U平而ABC,所以8c_LA8.由于48J,4C,ACc8c = C,所以平面AqC,由于ABU平面ABB1，所以平而AqCJ_平而A8耳.16.【解析】（1）由余弦定理得 =/+c22ccosB = 9 + 2 2x3xJ?xY = 5,2所以=的.由正弦定理得/一= -A_ = sinC = Z4 = .sinC sin Bb 54zr(2)由于cos/AOC =-一，ZADCe ,/r52 所以sinZADC = Jl-cos2 ZADC = j.由于NAOCe 

18、3; 2冗，所以 Ce 0, j,所以cos以=Jl - sin，C =二£/ /5所以 sinZDAC = sin(7一ZDAC) =sin(ZA£>C + ZC)= sin ZADC - cos C+cos ZADC - sin C = -x- + 55x=525由于 ND4Ce 0.- 2，所以 cos N£>4 C = Jl - sin 2 NQA C =25sinZZMC 2所以 tan ZDAC =.cos ADAC 1117.【解析】(1)由題意得-IOR|2=-Lx403+6x40z.IOfA= 8040800/. AB 1=1 O&#

19、39;AI +10'B 1=80 + 40 = 120 米（2）設(shè)總造價(jià)為了（X）萬元，|OOI=-Lx8（）2 = 160,設(shè)IO'EI=x,40f(x) = k(60 +800.31ox3-6x) + -/l160- -(80-x)2L(0<a<40):.f(x) = k(16O+x 一x 80080)»*' f '(x) = k(x x) = 0x = 20 (0 舍去)80080當(dāng)0<x<20時(shí)，r（x）<0；當(dāng)20Vx<40時(shí)，fM > 0,因此當(dāng)x = 20時(shí)，/*）取最小值，答：當(dāng)。'石=

20、20米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低.18.【解析】（1） :橢圓E的方程為三+二= l,，"（T0），E（l,0）43由橢圓定義可得：4月+ AA =4.，A44E的周長為4 + 2 = 6（2）設(shè)P（Xo，。），根據(jù)題意可得與。1.點(diǎn)4在橢圓E上，且在第一象限，45,可心,人（1?）準(zhǔn)線方程為x = 4,Q（4,），o）A OP QP = (x(),0). (x0 -4,) = (a0 -4)x0 = (x0 -2)2 -4> -4 ,當(dāng)且僅當(dāng) % = 2 時(shí)取等號.歷齊的最小值為T.設(shè)點(diǎn)M到直線A8的距離為小耳(一1,0),直線"的方程為 y = 3(x + l

21、)< 2 /43點(diǎn)。到直線A8的距離為二，$2=3。13 19工 S、=35j =3x -x|AB|xy = / =44=,，聯(lián)立解得<X, = 23=012-L 了,.何(2,0)或，,，一巧 /19【解析】(1)由題設(shè)有一犬+2工工乙對任意的reR恒成立.令x = 0,則0<Z?<0,所以 =0.因此乙KF + 2x即爐+(2-女戶之。對任意的_1<恒成立，所以 = (2 攵<0,因此攵=2.故力(x) = 2x.(2)令尸(x) = /?(x)g(x) = t(x-llnx)(x>0),尸(1) = 0.又尸=-.若kvO,則尸(X)在0,1上遞

22、增，在(.用)上遞減，則F(x)<F(l) =。，即力(x)-g(x)«0,不符合題意.當(dāng)& =0時(shí)，F(xiàn)(x) = h(x)-g(x) = 0,h(x) = g(x),符合題意.當(dāng)攵>0時(shí)，/(刈在0上遞減，在(2)上遞增，則尸(工)之尸(1) = 0,即(x)-g(x)N0,符合題意.綜上所述，k>0.由/(X)-/?(/)=工21+1(左一4)=W ( + 1)犬+ (& +1)之0當(dāng)x = <。，即攵<一1 時(shí)，y一( + l)x+A + l在(oxo)為增函數(shù)，乙因?yàn)?）/?（0） = + 1<0,故存在不40,”），使力一

23、力（工）<0,不符合題意.當(dāng)工=: =0,即4=1時(shí)，/（" 力（力=爐之0,符合題意. 乙左+ 17當(dāng) x = ->。，即攵 >一1 時(shí)，則需 = （% + l）-4（A + l）K。，解得一 1<A«3. 乙綜上所述，k的取值范圍是4$0,3.（3） /一2/之4（/一/卜一3+2產(chǎn)之4/一8對任意xe?,u-，&恒成立,x4 - 2x2 >4（t3-t）x-3t4+ 2產(chǎn)對任意x e 叫u -V2, JT恒成立，等價(jià)于（X）2，+ 2tx + 3C-2）> 0對任意x eu -四,犯恒成立.故/ + 2 + 3/一 2 2

24、0對任意x e 6,n u-0, JJ恒成立令 M (x) = x2 + 2tx+3t2 - 2,110 < < 1» = 8廣+8 > 0,1 v r v 1,此時(shí) 一7 4 V+川 v1 <，當(dāng) 1W產(chǎn) K2，A = -8r2+8<0,但4x2-824,3一。入一3+2/對任意的工£7,匚一",>/?恒成立.等價(jià)于4/一4（/一卜+（3/+4）（一-2）4。對任意的x e 加,川u JI JT恒成立.4x2-4（f3-/）x+（3f2 +4乂產(chǎn) 2）= 0的兩根為苦,占，則一一 4所以一?=|內(nèi) 引=Ja +占)2 -452

25、 = "一5/4+3/2+8 .令/2=%/Ul,2,則卜一?| = J/13 二522 + 34 + 8 .構(gòu)造函數(shù)。()=萬一5無+34+8(；1£1,2), (2) = 322-102+3 = (2-3)(32-1),所以彳£1,2時(shí)，P(4<0, P(為遞減，P(A)nm=P(l) = 7.所以（一?）m” =近9 即一?20.【解析】(1) .* S+1 - Sn = Aan ：.=幾41: 4 = 1 /.。+1 壬。，X = 1.ZAO".'"%'''*，1_51_V3 _s 聲J+12 J2

26、 - q 2+i J浦1 1K/)s).1. S“j=2S/ .-. S e=4S ,- S =41e $ = % = 1, S“ = 4”.an = 4J -4"2 = 3.4"-2, 221, = 1 凡=<、"34"-2,N2（3）假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列也為“4 3”數(shù)列.sjs） = AaJ '.（sj-s）y =萬（S向一S”）. sj = /或J 一小了=萬j+sj+s/J）52=5"或（萬一電"+（萬一）5/+（/13+2）5向”,=。對于給定的幾，存在三個(gè)不同的數(shù)列也為“4 3”數(shù)列，且為之。1, = 1

27、221.也=%,之2或（萬-1況/+（萬-1）5j+（2+2況/5j=0（行1）有兩個(gè)不等的正根 2211（萬一1電/ + （萬一1»+（萬+2）S,*S =0（2豐1）可轉(zhuǎn)化為肉-吁/+57+心平/= 0（21）,不妨設(shè)ss則（43 -1）/ +（/P +2）x + （/P _1） =0（/ ¥ 1）有兩個(gè)不等正根，設(shè) /（X）=（43 - 1）/ + （%3 + 2）x+（43-1）= 0（21）.當(dāng)彳<1 時(shí)，A = （23 + 2）2-4（23-l）2 >0=>0<23<4,即此時(shí)/（0）=萬 一1 <0 ,滿足題意.當(dāng)義>

28、1時(shí)，=（無+ 2尸一 4（無一1）2>0 = 0<萬<4,即1Vzi澗，此時(shí)/（0）=萬一1>。,啊=/<_+2） <0,此情況有兩個(gè)不等負(fù)根，不滿足題意舍去.2（2-1）數(shù)學(xué)11(附加題)【選做題】A.選修42：矩陣與變換2L【解析】(1)丁平面上點(diǎn)4(2,-1)在矩陣M =a 1-1 b對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)3(3,T)a 1一1 b2-13-42。一1=3c ,，解得 -2-/? = -4,則 MA/T2m + c一7 + 2c2m + c = 12 + 4 = 0一? + 2c = 0一 + 2" = 11 c =-5d = -525 &

29、#163; ,5工525 .B.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.【解析】(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為入軸的正半軸，建立平而直角坐標(biāo)系,九C4/ Pi cos-y = 2,/,月=4 ,因?yàn)辄c(diǎn)4為直線夕=*上，故其直角坐標(biāo)方程為)，= £x，又f=4sin 0對應(yīng)的圓的直角坐標(biāo)方程為：/ +),2 一4), = 0 ,"一:或 y = 0，=正-3上 解得x2 + y2 - 4y = 0對應(yīng)的點(diǎn)為(0,0),(01)，故對應(yīng)的極徑為2=?；?=2.(2)*cos。= 2,夕=4sin 0,：. 4sin cos6 = 2,sin 2, = 1,。£0,24),夕=£,二，4 4當(dāng)夕=二時(shí)夕=2戊：當(dāng)8 =當(dāng)時(shí)夕=一2點(diǎn)0(舍):44即所求交點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)（2"?x>0或<