周期信號的傅里葉變換ppt課件

1、3.9 3.9 周期信號的傅里葉周期信號的傅里葉變換變換l 正弦正弦/ /余弦信號的傅里葉變換余弦信號的傅里葉變換l 普通周期信號的傅里葉變換普通周期信號的傅里葉變換正弦正弦/ /余弦信號的傅里葉變換余弦信號的傅里葉變換)()()sin()()()cos()(21111111jtt普通周期信號的傅里葉變換普通周期信號的傅里葉變換ntjnneFtfT1)(.,11其傅里葉級數(shù)為角頻率為令周期信號周期為dtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(小結(jié)小結(jié):1.由一些沖激組成離散頻譜由一些沖激組成離散頻譜.2.位于信號的諧頻處位于信號的諧頻處.3.大小

2、不是有限值大小不是有限值,而是無窮小頻而是無窮小頻帶內(nèi)有無窮大的頻譜值帶內(nèi)有無窮大的頻譜值.周期信號的傅立葉變換存在條件周期信號的傅立葉變換存在條件 1.1.周期信號不滿足絕對可積條件周期信號不滿足絕對可積條件. .2.2.引入沖激信號后引入沖激信號后, ,沖激的積分是有意沖激的積分是有意義的義的. .3.3.在以上意義下在以上意義下, ,周期信號的傅立葉變周期信號的傅立葉變換是存在的換是存在的. .4.4.周期信號的頻譜是離散的周期信號的頻譜是離散的, ,其頻譜密其頻譜密度度, ,即傅立葉變換是一系列沖激即傅立葉變換是一系列沖激. .dtetfFtGtftfdtetfTFeFtfFTtGtf

3、FStftjTTTtjnTTnntjnnT220022111111111)()()()()()(1)(:)()()(令之間的關(guān)系形成的非周期信號的與取其一個周期的周期信號1111)(1)(1:)(221010ntjTTnnndtetfTFTFFF之間關(guān)系為與則103147)()()(1111例變換：周期單位序列的傅里葉pnnTttnnT3.10 3.10 抽樣信號的傅里抽樣信號的傅里葉變換葉變換l 時域抽樣時域抽樣l 頻域抽樣頻域抽樣抽樣量化編碼延續(xù)信號f(t)抽樣信號fs(t)數(shù)字信號抽樣脈沖p(t)問題：問題：1 1抽樣后離散信號的頻譜是什么樣的？它與未抽樣后離散信號的頻譜是什么樣的？它與

4、未被抽樣的延續(xù)信號的頻譜有什么關(guān)系？被抽樣的延續(xù)信號的頻譜有什么關(guān)系？2 2延續(xù)信號被抽樣后，能否保管了原信號的一延續(xù)信號被抽樣后，能否保管了原信號的一切信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號切信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號無失真的復(fù)原原始信號？無失真的復(fù)原原始信號？)(2)(snnnPP22)(1sssTTtjnsndtetpTP*時域抽樣時域抽樣)(*)(21)(PFFs)()(snnsnFPF)()()(tptftfs2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss矩形脈沖抽樣矩形脈沖抽樣-自然抽樣自然抽樣)(2)(snsssnFnSaTEF上式闡明上式闡明: :信號

5、在時域被抽樣后信號在時域被抽樣后, ,它的頻譜它的頻譜Fs()Fs()是延是延續(xù)信號的頻譜續(xù)信號的頻譜F()F()以抽樣頻率以抽樣頻率ss為間隔為間隔周期地反復(fù)而得到的周期地反復(fù)而得到的. .在反復(fù)過程中在反復(fù)過程中, ,幅度幅度被抽樣脈沖被抽樣脈沖p(t)p(t)的傅立葉系數(shù)所加權(quán)的傅立葉系數(shù)所加權(quán), ,加權(quán)加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的外形系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的外形. .-mmF()1抽樣前抽樣前E sFs()ms抽樣后抽樣后sTTtjnsnTdtetpTPsss1)(122nsssnFTF)(1)(沖激抽樣沖激抽樣-理想抽樣理想抽樣上式闡明上式闡明: :由于沖激序列的傅里葉系數(shù)由于沖激序

6、列的傅里葉系數(shù)PnPn為為常數(shù)常數(shù), ,所以所以F()F()是以是以ss為周期等為周期等幅地反復(fù)幅地反復(fù), ,如以下圖所示：如以下圖所示：F()- mm抽樣前抽樣前Fs()1/Tss- s抽樣后抽樣后nsssnFTF)(1)(nnFFFtf)()()()()()()(11其其中中*頻域抽樣頻域抽樣nnTtftf)(1)(111上式闡明：上式闡明： 假設(shè)假設(shè)f(t)f(t)的頻譜的頻譜F()F()被間隔被間隔為為11的沖激序列在頻域中抽樣，的沖激序列在頻域中抽樣，那么在時域中等效于那么在時域中等效于f(t)f(t)以抽樣間以抽樣間隔為周期而平移。從而也就闡明了隔為周期而平移。從而也就闡明了“周期

7、信號的頻譜是離散的這一周期信號的頻譜是離散的這一規(guī)律。規(guī)律。nnTtftf)(1)(1113.11 3.11 抽樣定理抽樣定理l 時域抽樣定理時域抽樣定理l 頻域抽樣定理頻域抽樣定理一個帶限信號一個帶限信號f(t),f(t),假設(shè)頻譜假設(shè)頻譜|m,|m,那那么信號么信號f(t)f(t)可以獨(dú)一地由其均勻時間間隔可以獨(dú)一地由其均勻時間間隔Ts1/(2fm)Ts1/(2fm)上的抽樣值上的抽樣值f(nTs)f(nTs)確定確定. .且抽樣頻率且抽樣頻率fs2fm(s2m). fs2fm(s2m). 而而fs=2fmfs=2fm稱為奈奎斯特稱為奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)頻率頻率;

8、;Ts=1/(2fm)Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔稱為奈奎斯特間隔. .時域抽樣定理時域抽樣定理Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷積卷積Fs()m s1cH()相相乘乘F()m一個時限信號一個時限信號f(t),f(t),假設(shè)集中于假設(shè)集中于|t|tm,|t|tm,那么其頻譜那么其頻譜F()F()可以獨(dú)可以獨(dú)一由其均勻頻率間隔一由其均勻頻率間隔fs fs (fs1/(2tm)(fs1/(2tm)上的抽樣值上的抽樣值F(ns)F(ns)確定確定. .頻域抽樣定理頻域抽樣定理時域抽樣與頻域抽樣的對稱性時域抽樣與頻域抽樣的對稱性f(t)f(t)F() F() 以以ss為周期反復(fù)為周期反

9、復(fù)TsTsF()F()f(t) f(t) 以以TsTs為周期反為周期反復(fù)復(fù)ss假設(shè)假設(shè)f(t)f(t)被等間隔被等間隔T T取樣取樣, ,將等效于將等效于F()F()以以s=2s=2 /T/T為周期反復(fù)為周期反復(fù); ;而而F()F()被等間隔被等間隔ss取樣取樣, ,那么等效于那么等效于f(t)f(t)以以T T為周期反復(fù)為周期反復(fù). .因此因此, ,在時域中進(jìn)展抽樣的過程在時域中進(jìn)展抽樣的過程, ,必然導(dǎo)必然導(dǎo)致頻域中的周期函數(shù)致頻域中的周期函數(shù); ;在頻域中進(jìn)展抽樣的在頻域中進(jìn)展抽樣的過程過程, ,必然導(dǎo)致時域中的周期函數(shù)。必然導(dǎo)致時域中的周期函數(shù)。作業(yè)作業(yè): : 3-41 3-41 改改

10、)1000()(2tSatf下次課包括下次課包括4.1-4.54.1-4.5節(jié)的內(nèi)容，節(jié)的內(nèi)容，請預(yù)先做好聽課預(yù)備。請預(yù)先做好聽課預(yù)備。第三章總結(jié) 及習(xí)題課知識點(diǎn)回想知識點(diǎn)回想: :周期信號傅里葉級數(shù)分析周期信號傅里葉級數(shù)分析非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 典型周期信號的典型周期信號的FSFS 典型非周期信號的典型非周期信號的FTFT 傅里葉變換根本性質(zhì)傅里葉變換根本性質(zhì) 抽樣信號的抽樣信號的FTFT 抽樣定理抽樣定理,.)2, 1(sin)(2:,.)1 ,0(cos)(2:)sincos(2)(:10010011111110ntdtnt

11、fTbntdtntfTatnbtnaatfTttnTttnnnn正弦分量幅度余弦分量幅度三角形式傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)(FS)為所有的整數(shù)其中指數(shù)形式ndtetfTFnFenFtfTtttjnnntjn10011)(1)()()(:111函數(shù)函數(shù)f(t)的對稱性與的對稱性與FS系數(shù)關(guān)系系數(shù)關(guān)系20111101cos)(4cos2)(:)(1)TnnntdtntfTatnaatftf為偶函數(shù)2011111)sin()(4)sin()(:)(2)TnnndttntfTbtnbtftf為奇函數(shù)為所有的奇數(shù)且公式同上和為奇諧函數(shù)nbatnbtnatftfnnnnn,)sincos()(:)(3)111傅

12、里葉變換的定義傅里葉變換的定義deFtfdtetfFtjtj)(21)(:)()(:反變換正變換典型信號的典型信號的FTjatueat1)(22|2aaeta)2()(SatGjt2)sgn(1)(t)(21jtu1)()()()(cos000t)()(sin000 jtnTnt)()(111非周期信號的非周期信號的FT的性質(zhì)的性質(zhì))(2)(:ftF對稱性)()(Ftf已知)()(:11niiiniiiFatfa線性)(|1)(:aFaatf尺度變換偶函數(shù)奇函數(shù)虛函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)實(shí)函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇偶虛實(shí)性)(,)(:)(,)(:)(,| )(:|XRXRF)()()( :)()()(:)()

13、(nnnnFtfjtFjtf頻域微分時域微分dFtfjttfFjFdft)()()0()(:)()0()()(:頻域積分時域積分0)()(:0tjeFttf時移)()(:00 Fetftj頻移dFdffFdttfParseval222| )(|21| )(|)(:定理)()()()(:2121FFtftf時域卷積)()(21)()(:2121FFtftf頻域卷積普通周期信號的普通周期信號的FTdtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(周期信號的周期信號的FS與其單周期信號的與其單周期信號的FT之間的關(guān)系之間的關(guān)系1)(101nnFTF)()(s

14、nnsnFPF時域抽樣信號的時域抽樣信號的FT)(2)(:snsssnFnSaTEF自然抽樣nsssnFTF)(1)(:理想抽樣nnTtftf)(1)(111頻域抽樣信號的頻域抽樣信號的FT頻域抽樣定理頻域抽樣定理時域抽樣定理時域抽樣定理msmsmfTff212|或msmsmtftTtt212|或.)sin()cos()()sin()cos()()sin()cos()(,)()(:111100111021110121的波形畫出且如圖和已知周期信號例題nnnnnnnnntndtnacatftndtncctftnbtnaatftftf)(1tft0T1)(2tft0T11)(tftT21)()()

15、(:21tftftf由函數(shù)對稱性可知解%.95),/(,)(00總能量的分量的能量貢獻(xiàn)為信號以下所有頻譜使得在秒弧度頻率并確定的能量試求信號例題tueat:2ajFadtedttfEat1)(,21)(,:022因?yàn)樵撔盘栍袕念l域計(jì)算從時域中計(jì)算由定義解)/(706.12)(1295.0%95,021)(111|)(|1000002220sradaarctgaaaaarctgadadFEParseval則有的能量包含當(dāng)定理根據(jù)?0,:).()(),(,)(,6100|0100|1)(:,:3nnantftytytfaTHS才保證值對于什么樣的問且的輸出為濾波器輸入到濾波器時的信號為其傅里葉級數(shù)

16、系數(shù)當(dāng)基波周期為其頻率響應(yīng)是波器一連續(xù)時間理想低通濾例題. 0,8|8|100|12|100|.12,)(.)(,)(12)(1將恒為值的即對于因此有其高次諧波可表示為是周期信號在低通濾波器的通帶內(nèi)所有頻率分量都這意味著是其本身輸出的通過理想低通濾波器后的基波頻率解nannnnntftftftf2:).(),()(:4Ftf求如圖為周期信號已知例題)(tft01441.2)() 1(24sin4)() 1(24sin2)1(2)(4212)(11)( :21232121nnnFnndtetGtGTdtetfTFFSnnntjnTtjnn求解利用周期信號的方法解)() 1(24sin4)(2)(

17、)(2)()()()24(4sin2)1(2)(4)()(.)(2)( :1211nnnFTtTttftfetttGtftnnTTjT的卷積求解與號將信號轉(zhuǎn)換為主周期信方法解tdfttfbatfdtdFTFtf)1(2)3(sin)()2()() 1 (:),()(:502求下列信號的已知例題abjabjeaFajbatfdtdeaFabatfaFaatf)(|)()(|1)()(|1)() 1 ( :解)() 0(2)2(21)1( 2)2(21)1( 2)() 1() 3 ()()()(4sin)()()(21)() 2( :00022FeFjdfeFtfeFtfFFFjttfFFtfjt

18、jj解dxxxdxxxFT20)sin()2(2sin) 1 (:6及其性質(zhì)證明下式利用例題002sin2)()0(2)()(21)0()(21)(21)()()(221)()(21)()1(:dxxxdSafdSadSafdeSadeFtfSaSatftGtftjtj即義根據(jù)傅里葉反變換的定則設(shè)證dxxxdSadSadtdFdttfParsevalSatftGtf22211222)sin()()(4211|)(|21)()(2)()()()2(:即定理根據(jù)則設(shè)證.),()().()(),()(),3()3()()()()(:7的值和并求出性質(zhì)證明的利用是的是的且和已知例題BABtAytgFT

19、HFTthFFTtfthtftgthtfty3,31)3(31)()3(3131)3(91)()(91)()(91)3()3()3(91)()()()(:BAtytgYYGYHFGHFGHFY即由時域卷積和尺度性質(zhì)解)()()()()()()( )()(:8ffjFtfFtf試證明若例題)()()()( )()(2)(| )()( )()(2)()()( )()2(1)( )( )()()( )()()( )()()()()()()(:ffjfjffdejfdeffdejfdtefdtdetufdtefdtufdtefdfFtffdftfjjjtjtjtjtjtt證明kHzfkHzfkHzfkHzfkHzfFFKFFtytfccccc2 . 0)5(5 . 0)4(1)3(2)2(2) 1 (?.),(,5.1.,)(),(,:92121低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器高通濾波器理由該如何選擇出端盡量恢復(fù)原信號使輸每種濾波器只能用一次及作為分別種濾波器中