高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件2 蘇教版選修2-1

1、一、引入一、引入結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點f f1 1，f f2 2的距離之和等于常的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡為橢圓。數(shù)的點的軌跡為橢圓。常數(shù)必須大于兩定點的距離常數(shù)必須大于兩定點的距離1 1、橢圓的定義：、橢圓的定義： 平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個定點個定點f1、f2的距離之的距離之和和等于等于常數(shù)常數(shù)（大（大于于|f1f2|）的動點）的動點m的軌跡叫做的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距|f1f2|=2c 。1f2fm幾點說明：幾點說明：1、橢圓定義式：橢圓定義式：|mf1| + |mf

2、2| = 2a |f1f2|=2c.則則m點的軌跡是點的軌跡是橢圓橢圓.2、若、若|mf1| + |mf2| = 2a = |f1f2|=2c ，則，則m點的軌跡是點的軌跡是線段線段f1f2.3、若、若|mf1| + |mf2| = 2a |f1f2|=4，故點，故點m的軌跡為橢圓。的軌跡為橢圓。(2)因因|mf1|+|mf2|=4=|f1f2|=4，故點，故點m的軌跡不是橢的軌跡不是橢圓圓(是線段是線段f1f2)。(3)因因|mf1|+|mf2|=32c)2a2c)的動的動點點m m的軌跡方程。的軌跡方程。解：以解：以f f1 1f f2 2所在直線為所在直線為x x軸，線段軸，線段f f1

3、 1f f2 2 的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點f f1 1、f f2 2的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-c,0)(-c,0)、 (c,0)(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設(shè)設(shè)m m（x,y)x,y)為所求軌跡上的任意一點，為所求軌跡上的任意一點，則則:|mf1|+ |mf2|=2a 且且2a2caycxycx2)()(:2222即2 2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)求曲線軌跡方程的步驟：求曲線軌跡方程的步驟：1 1、建系、建系 2 2、設(shè)標(biāo)、設(shè)標(biāo) 3 3、列式列式 4 4、化簡、化簡 5 5、檢驗（可省略

4、不寫）、檢驗（可省略不寫）oxyf1f2m(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a2c，即ac，所以a2-c20，令a a2 2-c-c2 2=b=b2 2，其中b0，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :ycxycxaaycx兩邊平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以兩邊同時除以a a2 2b b2 2得：得：(ab0)這個方程叫做這個方程叫做橢圓

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的它所表示的橢圓的焦點在焦點在x x 軸上。軸上。acboxyf1f2m(-c,0)(c,0)oxyf1f2m(0,-c)(0 , c)0( 12222babyax)0( 12222babxay橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾點說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾點說明：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3 3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中：）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中：x x2 2與與y y2 2的分母哪一個大，則焦點在的分母哪一

6、個大，則焦點在 哪一條軸上，大分母為哪一條軸上，大分母為a2 ，小分母為，小分母為b2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程相相 同同 點點焦點位置的判斷焦點位置的判斷不不 同同 點點圖圖 形形焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系a2-c2=b23 3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)12yoffmxy xof2f1m1 1、動點、動點p p到兩定點

7、到兩定點f f1 1(-4,0)(-4,0)，f f2 2(4,0)(4,0)的距離之和為的距離之和為8 8，則動點，則動點p p的軌跡為的軌跡為（ ） a.a.橢圓橢圓 b.b.線段線段f f1 1f f2 2 c. c.直線直線f f1 1f f2 2 d. d.不能確定不能確定b2212 51 6xyb3、動點、動點p到兩定點到兩定點f1(-4,0)，f2(4,0)的距離和是的距離和是7，則動點，則動點p的軌跡為（的軌跡為（ ）a.a.橢圓橢圓 b.b.線段線段f f1 1f f2 2 c. c.直線直線f f1 1f f2 2 d. d.無軌跡無軌跡d對定義再認(rèn)識例例2.2.已知橢圓的

8、兩個焦點坐標(biāo)分別是已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 , , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .)23,25(解法一解法一: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為).0( 12222babyax由橢圓的定義知由橢圓的定義知102)23()225()23()225(22222 a所以所以.10 a又因為又因為 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 161022 yx例例2.2.已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是已知橢圓的

9、兩個焦點坐標(biāo)分別是(-2(-2,0), (2,0), ), (2,0), 并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 , , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .)23,25(解法二解法二: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x x軸上軸上, ,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦點的坐標(biāo)分別是焦點的坐標(biāo)分別是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知聯(lián)立聯(lián)立,61022ba，解得因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 161022 yx求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定

10、焦點的位置；）確定焦點的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）用待定系數(shù)法確定）用待定系數(shù)法確定a、b的值，的值， 寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例例3 3、（、（1 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：經(jīng)過點經(jīng)過點p（- ，2），），q（ ，- ）3215（2）已知一橢圓的焦距為）已知一橢圓的焦距為2 ，且經(jīng)，且經(jīng)過點（過點（2，2），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2填空：填空：(1)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)為：為：_焦距等于焦距等于_;若若cd為過為過左焦點左焦點f1的弦，則的弦，

11、則 f2cd的周長為的周長為_課前練習(xí)課前練習(xí)1162522yx543(3,0)、(-3,0)60f1f2cd判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點在哪個判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點在哪個軸上的準(zhǔn)則：軸上的準(zhǔn)則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。|cf1|+|cf2|=2a15422yx(2)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ,則則 a=_，b=_，c=_， 焦點坐標(biāo)為：焦點坐標(biāo)為：_，焦距，焦距 等于等于_; 若曲線上一點若曲線上一點p到焦點到焦點f1的距離為的距離為3，則，則 點點p到另一個焦點到另一個焦點f2的距離等于的距離等于_， 則則 f1pf2的周長為的周長為_21(0,-1)、(0

12、,1)25 5 2 532 53 2 522 52pf1f2|pf1|+|pf2|=2a課后練習(xí)：課后練習(xí)： 1 化簡方程：化簡方程：10)3()3(2222yxyx 2 橢圓橢圓mx2+ny2=-mn(mn0)的焦點的焦點 坐標(biāo)是坐標(biāo)是 3 3 方程方程 表示焦點在表示焦點在x軸上的軸上的橢圓橢圓,則則m的取值范圍為的取值范圍為1162522mymx4.5m d 4.5m16- 254.5 b 25m16- cma4 4 設(shè)設(shè)f f1 1，f f2 2為定點為定點,|f,|f1 1f f2 2|=6|=6，動點，動點m m滿足滿足|mf|mf1 1|+ |mf|+ |mf2 2|=6,|=6,則動點的軌跡是（則動點的軌跡是（ ）（a a）橢圓）橢圓 （b b）直線）直線 （c c）線段）線段 （d