高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.2 利用導數研究函數極值課件4 新人教B版選修2-2

1、利用導數研究函數極值利用導數研究函數極值xyo 已知函數已知函數 f( (x)=)=2x3 - - 6x2 + + 7(1)(1)求求f(x)f(x)的單調區(qū)間的單調區(qū)間, ,并畫出其大致圖象并畫出其大致圖象; ;【函數的極值】【函數的極值】【復習與思考】【復習與思考】(2)(2)函數函數 f( (x) )在在 x0 0 和和 x2 2 處的函數值與處的函數值與 這兩點附近的函數值有什么關系這兩點附近的函數值有什么關系? ?20 xy 設函數設函數y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定義，及其附近有定義，(1)(1)如果在如果在x=xx=x0 0處的函數值比它附近所有各點的

2、處的函數值比它附近所有各點的函數值都大，即函數值都大，即f(x)f(x0),則稱則稱 f(xf(x0 0) )是函數是函數y=f(x)y=f(x)的一個極小值的一個極小值. .記作記作: :y極小極小=f(x0)，并把并把x0 稱為函數稱為函數f(x)的一個的一個極小值點。極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,x,x0 0叫做函數的叫做函數的極值點極值點. .yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfox)(2xf)(3xf 觀察上述圖象觀察上述圖象,試指出該函數的極值點與極值試指出該函數的極值點與極值,并說出哪些是極大值點并說出哪些是極大值點,哪些是極小值點哪些是極小值

3、點.(1)(1)極值是一個極值是一個局部概念局部概念, ,反映了函數值在某一點反映了函數值在某一點附近的大小情況附近的大小情況; ;(2)(2)極值點極值點是是自變量的值自變量的值，極值極值指的是指的是函數值函數值; ;(3)(3)函數的極大函數的極大( (小小) )值可能不止一個值可能不止一個, ,而且而且函數的函數的極大值未必大于極小值極大值未必大于極小值; ;【關于極值概念的幾點說明】【關于極值概念的幾點說明】(4)函數的極值點一定在區(qū)間的內部，區(qū)間的端函數的極值點一定在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點。點不能成為極值點。 函數函數y=f(x)y=f(x)在極值點的導數值為多少在極值

4、點的導數值為多少? ?在極值點附近的導數符號有什么規(guī)律在極值點附近的導數符號有什么規(guī)律? ?)(1xfxyabx1x2x3x4)(4xfo)(2xf)(3xf問題探究問題探究 yxox1x2aby= =f(x)在極大值點附近在極大值點附近在極小值點附近在極小值點附近 f (x)0 f (x)0 f (x)0 右側右側f /(x)0, 那么那么f(x0)是極大值是極大值【函數的極值與導數的關系】【函數的極值與導數的關系】(2)(2)如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x x0 0附近的左側附近的左側 f /(x)0, 那么那么f(x0)是極小值是極小值2( )4fxx = = ， 例題例題

5、: 求函數求函數 的極值。的極值。 31( )443f xxx= = 解：解： 令令 ( )0fx = =， 解得解得 2x = = 。列表如下：列表如下：( )fx ( )f x , 2 2,2 2, 2 2x28334 0 0 所以函數有極大值所以函數有極大值 ，極小值，極小值 。28( 2)3f =4(2)3f= = 練習練習:求函數求函數 的極值的極值.1)1(32 = = xy22223(1)26(1)(1)yxxxxx = = = = 解解：0011yxxx = = = = = 令令得得：或或或或 y (, 1) ( 1,0) (1,)(0,1)xy1 01000110所以函數沒有

6、極大值，有極小值所以函數沒有極大值，有極小值 0。(0)f= =對于可導函數而言對于可導函數而言, ,其極值點一定是導數為其極值點一定是導數為0 0的點的點, ,反之導數為反之導數為0 0的的點不一定是函數的極值點點不一定是函數的極值點. .因此因此: :導數值為導數值為0 0的點是該點為極值點的點是該點為極值點的必要不充分條件的必要不充分條件. .（1） 求導數求導數f/(x)；（2） 解方程解方程 f/(x)=0求得所有實數根求得所有實數根（3） 通過列表檢查通過列表檢查f/(x)在方程在方程f/(x)=0的根的左右兩側的符號，進而確定函的根的左右兩側的符號，進而確定函數的極值點與極值數的極值點與極值.【求函數極值的步驟】【求函數極值的步驟】 yxomaby=f(x)mx1x2x3x4問：問：最大值與最小值可能在何處取得？最大值與最小值可能在何處取得？ 怎樣求最大值與最小值？怎樣求最大值與最小值？ 極值與最值的關極值與最值的關系系,bax 已知函數已知函數 f(x)=x3-3ax2+2bx 在在 x=1處有處有極小值極小值1，試求實數，試求實數a,b的值及函數的值及函數 f(x)的單調區(qū)間的單調區(qū)間