保險精算學4-2作業(yè)

1、頁腳 1、30歲的人購買兩年期定期保險，保險金在被保險人死亡的年末給 付，保單年度力的保額為屛已知條件為：gK. 1,亦 10 久 G 產 0.6, 7=0, Z 表示給付現(xiàn)值隨機變量，則求使得VarZVarZ）最小的厶的值。 【解析】則y=l，故 fc = D k =1 PrK(30=0 =風 o =務=01 FK (30) = 1=皿。=% = (1 - O.1)x 0.6 = 0.54 故 E(Z)= b, x 0.1 +(1 )x0.54, ：(Z2) - xO.l 十(10 也 $ x 0.54, i!&Vz?r(Z) = /L-(Z2)-(Z)f = 0.4464 為 :

2、一 6.048ft, 十 24.&4, 所 以 當 仇=6.048/(2X04464)=6用時，巾r(Z)最小。 2、50歲的人投保保額為 1 的終身死亡保險，設年利息力為常數(shù) 0. 06, 死亡服從 DeMoivre 假設，3=100,求保額在保單生效時的精算現(xiàn)值。 【解析】在De Moivre假設卜：有土 所以保額在保單生效時的精算現(xiàn)值為土 1 =0.3073 50 Z = ft X4-1 s(50 十 r) = 1/50。 $(50) 40 心=Z卩 ft-n 1-0 頁腳 3、已知：厶二 100 匕 OWxWlOO, 7-0. 06o 楓 0訶頁腳 即 A 為=0.5 -心,

3、故尤詢二心- /嚴-亠和卻 即 Aj_j = 0.24 4-( 4 - 0.5) X 0.35, 故心1。 【解析】已知i=0.06則v=l/（l+0=V106,故 I 90 心=v， 訂=1 06_,n T=討x 而二 如 100-/-&-1001 + 怡 + 1 0 100 上 a：7ol 9 - V宀 100-工土 7.3601 100 - . 0.5584(90-x) 7.3601 = - b - 100- x 1 00 - X 57.6- 0.5584x = - 二 100- rf 57.6- 0.5 疔 84x30 故 = - = 加心 70 4、已知：4=0.24, 4也

4、=0.35, 4価=0.5。求A爲。 【解析】由已知,有 頁腳 5、（25）有一份終身壽險，提供如下保障： （1） 死亡保險金在死亡發(fā)生的年末支付，并且在 65歲之前為 20000 元，在其后為 10000 元； （2） 若其在 65 歲時仍然活著，則退回楚繳純保費（不帶利息）; （3） /125/125= =0.0. 10, J4G5=0. 2, 4 任 5=0. 8,匕 io=O. 2o 求該保險的楚繳純保費。頁腳 【解析】 設P為罡繳純保費，Z為死亡給付現(xiàn)值隨機變量， 則該(25)的荒繳純保費川以看作 一個給彳寸20000穴;的終身壽險，減去一個給付I00007L的40年延期終身壽險，加

5、上一個65歲時 的生存保險，即 P = 2000% - 1000% 九 + 廠嚴 3妁$ （1 一嚴和知）=20000心,_ 10000釧心 =20000八？作-10000 v40 4n p25 心 辭得 F : 20000 x 0.1 -10000 x0.2x0.8x0.2 ,. = - =2000（兀）。 1 -0.2x0.8 6、 已知(1)1詢=0.9439, (2)A35=0.13, (3) = 0.9964, (4)(M)35=3.71O 求(M)36 O 【解析】由已知,有 Assil =人；如+心 =v g 亦十 y ?3s =v = 0.9439 乂 W 心=占八(加)喝=F

6、 /.,X(M)S6 r 7、 一份保險若(80)在第 A+1 年死亡，掃 0, 1, 2,，則在其死 亡年末支付&+1。假設尸 0.925；且若購二 0.1,則該保險的逼繳純 保費為 4。那么當 G 尸 0.2 時，求該保險的逼繳純保費。 【解析】由已知，有 原進繳純保費為： i%o+2忙加, +3V8O-II% (+4/p 鼎 2心 1+- 二臨 o 十 PRO 饑 | +3 V31 % +4/為嚴.) =4=4 當伽由0.1變?yōu)?.2時，新的楚繳純保費為： 2也()+(1 一2伽)(2識術 +3識咼+4%餉+.) =2%)+(】一 2知)(4 一也 J/加 =2X0.925X0+

7、(1 2X0.1)X(40.925X0.1)/09 =3.66 頁腳 8、對于（60）購買的 20年期遞減的定期壽險，已知以 0.06,當知=0.3 時，該險種的楚繳保費為 13元；當知二 0.2 時，設該險種的楚繳保費 為P。且除 60 歲外，其余年齡的生存狀況沒有任何改變。求幾 【解析】當伽=0.3時，有： H）：才 20 %+% （”）；問 即 20 x-x0.3 + !x （1- O.3）（ZM）；頑= 1:3, 故（）：罰 TI八 故當餉=0,2時， 卩=（L 悶 =20vg 劭十 v&Q 3A）：罰 =20 x X 0.2 十一!一 x（l -O.2）x （DA）1 1.0

8、6 1.06 t = 12.1 9、小為現(xiàn)年 60歲的母親購買了 一份終身壽險保單，保單利益為：若 被保險人在保險期第一年死亡，則在年末給付保險金 7000 元；若在 第二年死亡，則在年末給付保險金 7100 元，即在以后，死亡時間每 推遲一年，保險金額增加 100元。已知 占 2%,鳳二 184. 857509, 況尸 274. 336777,笊。二 3538. 387666。求這種壽險的亙繳純保費。 【解析】此壽險可分解為兩部分，一部分為給付保險金不變的壽險，不論被保險人什么 時候死亡保險金給付都是6900元，另一部分為變額壽險，保險金的給付按死亡時間推移，每 年遞增100元，則這種壽險的

9、至繳純保費為， .W “ 心“ 6900 A6O+ 100(/!) = 690() 十 1 00 So 化(1 18457509 3538 冷紳 666 =6900 x - + 1 ()0 x - 274.336777 274.336777 =5939.255) 10、 考慮一終身壽險，保險金額方在死亡時刻給付，Z為未來給付的 頁腳 隨機變量的現(xiàn)值，已知(SR. 04, 屮=0.02, t$0, E E二畑。 求b b 【解析】由于入= Jo /J +莎 Ir hit h 故 (Z) = bA = - = 一， “ +5 3 Var(Z)= Var(bvr )= b2(2At = - - -

10、“ + 2S +/丿 解得：b = 3.75o 11、設 3 的未來壽命 茴3 3的密度函數(shù)為： ,0T95 95 0,其它 利率力為 5=0.06,保額為一個單位的終身壽險的現(xiàn)值隨機變量 為Z,Z,求滿足 Pr(ZWd.9)二 0. 9 的分位數(shù) 09的值。 【解析】令 z 二 J, h - ln, v = exp(-zf),則 In v Pr(Z H“)=Pr(vr 故 0 =亡次 P (一) = 0.5655 - 12、30歲的人購買保額為 1000 元的特殊的 35年期兩全保險，已知 在其購買保險時，其兩個孩子的年齡分別是 3歲和 6歲，保單特殊約 定為：如果被保險人死亡時兩個孩子的年

11、齡都小于 11歲，那么給付 額為 3000元，如果被保險人死亡時只有一個孩子的年齡小于 11 歲， 那么給付額為 2000 元。 在被保險人死亡時立即給付保險金， 且 畑二 0.04, tMO,tMO, 0.06, 35民=0.0302。則求此保單的楚繳純保費。 【解析】由題意 M知，該保險相出于保額 1()5 元的 35 年期兩全保險 4000 元保額的 g 年期 定A(0 = 十 13、設 Z 是(0歲的人投保死亡即刻賠付 1的刀年定期壽險的現(xiàn)值 變量，Z 是(0歲的人投保死亡即刻賠付 1的刀年定期兩全保險的 現(xiàn)值變量。已知：V V = 0. 200 ,叔=0. 450 ,夙刀=0. 350 , 巾日乙二 0.060,求 吩 r(Z)。 【解析】令彳為(X)歲的人投保期末賠付1的”年定期生存保險的現(xiàn)值變量，則有： (Z3) = v Hpx =0.2x0.45 =0.09 E(Z) = v2 =0.04x0.45 =0.018 根據(jù)兩全保險與定期壽險和生存保險的關系，有：乙諾4篤， 所以 E(Z2)=E(Z)+EZ3),故 (ZJ=E(Z)E(Z，=035009=026； 乂 E(z再)= 0, E(z；= (Z1 + Z3)2=