點到直線的距離公式

1、點與直線 直線方程一. 教學(xué)內(nèi)容： 點到直線的距離； 點關(guān)于點、關(guān)于直線的對稱點； 直線關(guān)于點、關(guān)于直線的對稱直線； 直線方程復(fù)習(xí)；二. 知識點： 1. 點到直線距離公式及證明 關(guān)于證明： 根據(jù)點斜式，直線PQ的方程為（不妨設(shè)A0） 解方程組 這就是點Q的橫坐標(biāo)，又可得 所以， 。 這就推導(dǎo)得到點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式。 如果A=0或B=0，上式的距離公式仍然成立。 下面再介紹一種直接用兩點間距離公式的推導(dǎo)方法。 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（x1，y1），則 把方程組作變形， 把，兩邊分別平方后相加，得 所以， 所以， 此公式還可以用向量的有關(guān)知識推導(dǎo)，介紹如下： 把、兩式

2、左右兩邊分別相減，得 由向量的數(shù)量積的知識，知 這里n=（A，B）。所以n=（A，B）是與直線l垂直的向量。 （如圖所示） （如圖所示） 所以，都有 因為 所以 2. 平行線間的距離公式 3. 點關(guān)于點的對稱點（中點坐標(biāo)公式） 4. 已知P0（x0，y0）直線l：Ax+By+C=0（B0） 特別地關(guān)于特殊直線的對稱點。 （x軸、y軸、直線y=x，直線y=x） 5. 直線l關(guān)于點P0（x0，y0）對稱直線（三種方法） 6. 特別地直線l關(guān)于特殊直線y=±x+b的對稱直線?！镜湫屠}】 例1. 解法一： c=32或c=20， 解法二：設(shè)所求直線的方程為 由兩平行直線間的距離公式， 故所求

3、直線的方程為 小結(jié)：求兩條平行線之間的距離，可以在其中的一條直線上取一點，求這點到另一條直線的距離，即把兩條平行線之間的距離，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離。也可以直接套兩平行 例2. 已知正方形的中心為G（1，0），一邊所在直線的方程為x+3y5=0，求其他三邊所在的直線方程。 解：正方形中心G（1，0）到四邊距離均為 設(shè)正方形與已知直線平行的一邊所在直線的方程為x+3y+c1=0。 故與已知邊平行的邊所在直線的方程為x+3y+7=0 設(shè)正方形另一組對邊所在直線的方程為3xy+c2=0。 所以正方形另兩邊所在直線的方程為： 綜上所述，正方形其他三邊所在直線的方程分別為： 小結(jié)：本例解法抓住正方形的幾何

4、性質(zhì)，利用點到直線的距離公式，求得了正方形其他三邊所在直線的方程。 例3. 解法一： 點（1，0）為兩已知直線的交點。 設(shè)所求直線的斜率為k，由一條直線到一條直線的角的公式， 故所求直線方程為 解法二：由解法一知兩已知直線的交點為A（1，0）。 解法三：設(shè)P（x，y）是所求直線上的任一點，P關(guān)于直線xy10對稱的點為P0（x0，y0）， 解法四：直線x+y1=0 k=1由x+y1=0代入x2y1=0得1y2(1x)1=02xy2=0即為所求。 小結(jié)：求直線l關(guān)于直線l1對稱的直線的方程，只要在l上取兩點A、B，求A、B關(guān)于l1的對稱點A'、B'，然后寫出直線A'B

5、9;的方程即為所求。解法二和解法三中，都用到了求一個點P關(guān)于某直線l的對稱點P0的問題。這個問題的解法就是根據(jù)：直線P0P與直線l垂直；線段P0P的中點在直線l上，列出方程組解出x0、y0，代入x0、y0所滿足的方程，整理即得所求直線的方程。 例4. 截距相等的直線方程。 解法一： 兩已知直線的交點為（4，3）。 當(dāng)所求直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0時，直線的橫截距、縱截距相等。 因為點（4，3）在直線x+y=a上， 解法二： 小結(jié)：解法一設(shè)直線的截距式時注意了截距為0的情形。故而沒有直接設(shè)成 例5. 列條件的a、b的值。 （1）直線l1過點（3，1），并且直線l1與直線l2垂直； （2）直線l

6、1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點到l1、l2的距離相等。 分析：考查直線與直線平行及垂直的問題的處理方法。 解： 又點（3，1）在l1上， 由、解得a=2，b=2。 （2）l1l2且l2的斜率為1a。 l1的斜率也存在， 故l1和l2的方程可分別表示為 原點到l1和l2的距離相等， 小結(jié)：在（2）中由于l1l2，l2有斜率，從而得出l1有斜率，即b0。 例6. 最小值時x的值。 解： 它表示點P（x，0）與點A（1，1）的距離加上點P（x，0）與點B（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點P（x，0）與點A（1，1）、B（2，2）的距離之和的最小值。 由下圖可知，轉(zhuǎn)化為求兩點A'（1，1）

7、和B（2，2）間的距離，其距離為函數(shù)f(x)的最小值。 小結(jié)：數(shù)形結(jié)合是解析幾何最根本的思想，因此本題聯(lián)系圖形求解，使解法直觀、簡捷而且準(zhǔn)確，易于入手。 例7. 用解析法證明：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。 證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系， A（a，0），B（0，b），C（a，0），（a0，b0）， 設(shè)底邊AC上任意一點為P（x，0）（axa）， 原命題得證。 例8. 等腰直角三角形斜邊所在直線的方程是3xy0，一條直角邊所在直線l經(jīng)過點（4，2），且此三角形的面積為10，求此直角三角形的直角頂點的坐標(biāo)。 解：設(shè)直角頂點為C，C到直線y=3x的距離為d， 例9. （1）求

8、證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M； （2）過定點M作一條直線l1，使l1夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點平分，求l1的方程； （3）若直線l2過點M，且與x軸負半軸、y軸負半軸圍成的三角形面積最小，求l2的方程。 解： 它與x軸、y軸分別交于A（a，0），B（0，b）。 M為AB中點，由中點坐標(biāo)公式得a=2，b=4， 當(dāng)且僅當(dāng)k2時，圍成的三角形面積最小， 【模擬試題】 1. 已知直線l經(jīng)過點P（5，10），且原點到它的距離為5，則直線l的方程為_。 2. ，則點P（1，1）到直線的最大距離是_。 3. 已知點P（1，）到直線，則_。 4. 如圖，已知正方形ABCD的中心為E（1，0），一邊

9、AB所在的直線方程為，求其他三邊所在直線的方程。 5. 求平行線的距離。 6. 求過點A（1，2）且與原點的距離為的直線方程。 7. 求過點P（1，2）且被兩平行直線截得的線段長為的直線方程。 8. 求過點P（0，2）且與點A（1，1），B（3，1）等距離的直線l方程。 9. 原點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. （4，3）（1991年全國高考題）【試題答案】 1. 提示：（1）當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)l的方程為。 根據(jù)題意，得 所求的直線l的方程為。 （2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線的傾斜角為，即直線l與x軸垂直。 根據(jù)題意，得所求直線l的方程為。 2. 提示：點P（

10、1，1）到直線的距離為 。 最大。 3. 提示： 由得， 。 4. 解：可設(shè)CD所在直線方程為： 。 點E在CD上方，m17。經(jīng)檢驗不合題意，舍去。 m=7，CD所在直線方程為。 ABBC， 可設(shè)BC所在直線方程為， 則，n=9或3。 經(jīng)檢驗，BC所在直線方程為 AD所在直線方程為。 綜上所述，其他三邊所在直線方程為。 5. 分析：在直線上任取一點，求這點到另一直線的距離。 解：在直線上任取一點，如P（3，0）， 則點P（3，0）到直線的距離就是兩平行線間的距離。 因此。 注意 用上面方法可以證明如下結(jié)論： 一般地，兩平行直線和間的距離為。 6. 分析：設(shè)直線的點斜式方程，利用點到直線的距離公式求出斜率k。 解：設(shè)直線方程為，則。 ，解之得 故所求直線的方程為或， 即。 7. 分析：先畫圖，由圖形易求得兩平行直線間的距離為1，則所求直線與兩平行直線成45°角，則由夾角公式求得所求直線的斜率。 解：易求得兩平行直線間的距離為1，則所求直線與兩平行直線成45°角， 設(shè)所求直線的斜率為k，則， 解之得。 所求直線方程為。 注意 在尋求問題解的過程中，數(shù)形結(jié)合可優(yōu)化思維過程。 8. 分析：畫圖分析，可知符合題意的直線l有2條。 解：畫圖分析，