2022年《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的教學(xué)設(shè)計(jì)一本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想與理論依據(jù)：使用自制課件，開展在教師引導(dǎo)下學(xué)生對“等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式”的合作探究使學(xué)生對等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法 倒序相加法有更深刻的理解本節(jié)課的理論依據(jù)是從生活實(shí)際及簡單、特殊情況入手逐步形成新知識二教學(xué)背景分析：1教學(xué)內(nèi)容分析：等差數(shù)列是數(shù)列這一章中的兩大基本內(nèi)容之一，等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和是等差數(shù)列中的重要知識點(diǎn)，等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法倒序相加法是本節(jié)課的難點(diǎn)，也是重要的數(shù)學(xué)技能，等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式有著廣泛的應(yīng)用2學(xué)生情況分析：學(xué)生思維較活躍，有一定的分析問題、探究問題進(jìn)而解決問題的能力，并且學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)

2、了等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，掌握了一些等差數(shù)列的性質(zhì)，而且具有一些生活中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和掌握了高斯數(shù)的推導(dǎo)方法3教學(xué)方式：教師啟發(fā)下的議、講、練相結(jié)合的合作探究式4教學(xué)手段：利用自制倒序相加的課件進(jìn)行教學(xué)，通過形象生動(dòng)的情景，激發(fā)學(xué)生的興趣，激活學(xué)生的思維，使學(xué)生更能深刻地理解公式，掌握公式5信息技術(shù)手段：自己設(shè)計(jì)的幻燈片工具是microsoft powerpoint20036使用的方式：啟發(fā)學(xué)生想出倒序相加的方法后使用幻燈片動(dòng)畫三教學(xué)目標(biāo)及內(nèi)容框架設(shè)計(jì)：1知識與技能：使學(xué)生理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推理過程中所使用的倒序相加法，掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并會使用公式解決一些較簡單的問題2過程與

3、方法：從堆放圓木的實(shí)際問題和小學(xué)數(shù)學(xué)中的高斯數(shù)入手，類比地探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再進(jìn)行鞏固練習(xí)3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過實(shí)例引入和公式的探究推導(dǎo)，使學(xué)生領(lǐng)會從特殊到一般和類比探究問題的方法，體會數(shù)學(xué)來源于生產(chǎn)生活反之又為生產(chǎn)生活服務(wù)和數(shù)形結(jié)合的思想方精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -法通過運(yùn)用公式解決問題使學(xué)生加深對方程的思想方法的理解與

4、運(yùn)用提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力提高學(xué)生敢于探索、敢于發(fā)現(xiàn)的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣四教學(xué)過程設(shè)計(jì)：教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖：在教學(xué)過程中， 先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題情景， 然后教師逐層設(shè)問， 引導(dǎo)學(xué)生探索， 在議、講、練相結(jié)合的合作探究式學(xué)習(xí)中，使學(xué)生經(jīng)歷新知識的形成過程，然后學(xué)以致用，運(yùn)用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式及倒序相加法中展現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)之和相等時(shí)兩項(xiàng)之和也相等（指nnmlk,，nmlk時(shí)，nmlkaaaa）解決一些簡單問題，鞏固新知識（一） 、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題問題1：火車站的貨場上堆放著如圖100層圓木，最上面一層 1根，第二層 2根，, ，第100層100根，問這堆圓木共有多少根？創(chuàng)意：

5、教師先用多媒體展示彩圖呈現(xiàn)的問題 1，使學(xué)生進(jìn)入問題情景，激發(fā)學(xué)生的興趣，并使學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生產(chǎn)生活學(xué)生容易把問題 1 轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)式子 1+2+3+ , +100來解決學(xué)生解答： 1+2+3+ ,+100 =（1+100）+（2+99）+,+（50+51）100 根由堆放圓木的實(shí)際問題引入1+2+3+, +100 （高斯數(shù)）1+2+3+, +99 （設(shè)置障礙，增加難度）4+5+6+, +10 （設(shè)置障礙，加以拓廣）倒序相加法（動(dòng)畫演示）類比探究出等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式公式應(yīng)用，加深理解反思小結(jié)課后延伸精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

6、 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - =10150 =5050 故共放有 5050根圓木教師：小學(xué)算術(shù)中稱 1+2+3+ , +100為什么？學(xué)生：高斯數(shù)創(chuàng)意：與小學(xué)學(xué)習(xí)過的高斯數(shù)聯(lián)系，從簡單入手為本節(jié)課類比探究等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式作鋪墊問題2：如果改為最下面一層放 99根圓木，問這堆圓木共有多少根？學(xué)生解答： 1+2+3+ ,+99 =（1+99）+（2+98）+,+（49+51）+50 =10049+50 =4950 故共

7、放有 4950根圓木創(chuàng)意：少了一層圓木，計(jì)算起來反而變難設(shè)置障礙，激發(fā)學(xué)生思維創(chuàng)新，為用倒序相加法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式作鋪墊我們能不能想出一種簡便方法，同時(shí)解決上面兩個(gè)問題呢？分析：問題在于只有一個(gè) 50，1+99=2+98= , =49+51=100而 50+50=100 ， 想到倒序和加兩次學(xué)生深思討論后解答：問題1 中10099321100s， 又129899100100s，+得：) 1100()992()1001(2100s100)1001 (2100)1001(100s問題 2 中999832199s，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

8、 - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -又12989999s，+得：) 199()982()991(299s99)991 (299)991(99s創(chuàng)意：啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k 項(xiàng)與倒數(shù)第 k 項(xiàng)（正數(shù)第1kn項(xiàng)）的和均等于首相與末項(xiàng)的和，為公式的類比推導(dǎo)作鋪墊培養(yǎng)學(xué)生敢于發(fā)現(xiàn)的精神和善于發(fā)現(xiàn)的心靈從以上問題 1 和問題 2 中學(xué)生歸納出：2100)(1001100aas；299)(99199aas教師在屏幕上動(dòng)

9、畫演示倒序相加法：問題 3： 如果最上面的一層圓木有 4 根， 最下面一層有 10根， 圓木的根數(shù)是否可由72104算出？學(xué)生驗(yàn)證： 4+5+6+7+8+9+10=49 ，而4972104，說明可以電腦動(dòng)畫演示解決問題 3 的倒序相加法：創(chuàng)意：精心制作的課件，電腦的五彩動(dòng)畫演示，更形象地體現(xiàn)了用倒序相加法求解問題1、平移平移得到旋轉(zhuǎn)平移平移得到旋轉(zhuǎn)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共

10、9 頁 - - - - - - - - -2、3，這有利于學(xué)生用形象思維突破倒序相加這一難點(diǎn)，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生的理解與記憶教師：與我們學(xué)習(xí)的等差數(shù)列相聯(lián)系，問題1、問題 2、問題 3 的實(shí)質(zhì)是什么？學(xué)生：問題 1、問題 2 實(shí)質(zhì)是首項(xiàng)為 1、公差為 1 的等差數(shù)列的前 100項(xiàng)和與前 99項(xiàng)和的問題問題 3 的實(shí)質(zhì)就是首項(xiàng)為 4、公差為 1 的等差數(shù)列的前 7 項(xiàng)和的問題引出課題本節(jié)學(xué)習(xí)“等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和”，并板書（以突出重點(diǎn)）（二） 、類比探究，推導(dǎo)公式教師請學(xué)生猜想： 在等差數(shù)列na中，怎樣用1a 、na 及 n 來表示前 n 項(xiàng)和ns 呢？并且證明你的結(jié)論學(xué)生猜得：2)

11、(1nnaans證明如下：nnaaaas321，（第 1 演示）dnadadaasn121111 （第 3 演示）又121aaaasnnnn， （第 2 演示）dnadadaasnnnnn12 （第 4演示）兩式相加即可得到)(21nnaans，從而2)(1nnaans創(chuàng)意：利用自制課件，電腦動(dòng)畫演示公式推導(dǎo)的倒序相加法（按以上括號中注明的順序進(jìn)行，第 1 演示后，使此式子旋轉(zhuǎn) 180，得到第 2 演示，然后隱藏第 1、2 演示，將第 3、4 演示的兩式相加），形象地體現(xiàn)了倒序、相加教師：公式與初中學(xué)過的什么公式相似？學(xué)生：梯形的面積公式2)(bahs創(chuàng)意：與梯形的面積公式進(jìn)行類比，為學(xué)生記憶

12、公式提供記憶方法教師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)1a ，公差d和項(xiàng)數(shù) n能否求出ns？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -分析：把2)(1nnaans中的na 用dna11表示學(xué)生：將通項(xiàng)公式dnaan11，代入到上面的公式式，得到2) 1(1dnnnasn創(chuàng)意：學(xué)生自己推導(dǎo)，有利于學(xué)生對兩個(gè)公式聯(lián)系的理解（三） 、深化理解，選擇公式例：求正整數(shù)

13、中前 n 個(gè)奇數(shù)的和解法 1：設(shè)正整數(shù)中的奇數(shù)列為na，則首項(xiàng)為1a =1，公差為2d，12nan，.2)12(12)(2.1nnnaansnn解法 2：3, 121aa.22)1(122nnnnsdn創(chuàng)意：讓學(xué)生反思，總結(jié)出與首項(xiàng)、末項(xiàng)相關(guān)時(shí)宜用公式，與首項(xiàng)、公差相關(guān)宜用公式電腦動(dòng)畫拼圖演示)12(321n幾何解釋：創(chuàng)意：動(dòng)畫演示這些格子逐步相拼， 成一系列的正方形， 增加了此問題的趣味性與奇異性，使學(xué)生體會到此題的幾何意義不但激發(fā)了學(xué)生的興趣，而且使學(xué)生受到數(shù)學(xué)美的熏陶（四） 、課堂演練，鞏固提高1 2n-1 + + ,+ 5 + 3 n列n行1 2n-1 ,5 3 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

14、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -練習(xí) 1在等差數(shù)列na中，已知2910a，15510s，求1a解：由已知得：155210291a，解得：1a=2練習(xí) 2在等差數(shù)列na中，已知10156aa，求20s解法 1：10156aa，1014511dada，即101921da22020120aas2)19(2011daa10010102192201da解法 2：1001

15、010)192(1021920201120dadas解法 3：2)(2020120aas220156aa10021020創(chuàng)意：通過練習(xí)使學(xué)生體會方程的思想，整體代入的數(shù)學(xué)方法，提高學(xué)生利用k、l 、m 、n *n ，k+l =m +n 時(shí)，lkaanmaa的解題技巧，提高學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式靈活解題的能力（五） 、反思總結(jié)、深化認(rèn)識（請學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@）1你在知識與技能上的收獲：（1）兩個(gè)公式2)(1nnaans；2) 1(1dnnnasn注意：當(dāng)0d時(shí)，1nasn，（2）推導(dǎo)公式的倒序相加法2從等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的探究過程你有什么收獲？從特殊到一般和類比探究的方法3你對數(shù)

16、學(xué)的認(rèn)識有什么提高：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)生活反之又為生產(chǎn)生活服務(wù)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)重要的思想敢于探索、敢于發(fā)現(xiàn)的精神，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣創(chuàng)意：圍繞三圍目標(biāo)進(jìn)行小結(jié)4你有什么疑問？（沒有人提疑問時(shí)教師反問）什么時(shí)候使用倒序相加法？倒序之后對應(yīng)項(xiàng)之和相等創(chuàng)意： “你有什么疑問？” 有利于發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在的問題， 鞏固倒

17、序相加法 促進(jìn)了學(xué)生的反思，有利于查漏補(bǔ)缺，也有利于教師的反思（六） 、布置作業(yè)，加強(qiáng)鞏固p118 習(xí)題 33 1 （1）在正整數(shù)集合中有多少個(gè)三位數(shù)？求它們的和. （2）在三位正整數(shù)的集合中有多少個(gè)數(shù)是7 的倍數(shù)？求它們的和（3）求等差數(shù)列 13，15，17，, ， 81的各項(xiàng)的和 . （4）求等差數(shù)列 10，7，4，, ， -47 的各項(xiàng)的和 . 2根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列na的有關(guān)未知數(shù)：（1）54,201naa，999ns，求d和 n ；（2）629,37,31nsnd，求1a 及na ；（3）61,651da，5ns，求 n及na ；（4）10,15, 2nand，求1a 及ns . 3課后延伸：（1） （20xx年北京春招）若一個(gè)等差數(shù)列的前3 項(xiàng)和為 34，最后 3 項(xiàng)和為 146，且所有項(xiàng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -和為 390，則這個(gè)數(shù)列有（）（a ）13項(xiàng)（b）12 項(xiàng)（c ）11 項(xiàng)（d）10 項(xiàng)（2） （20xx年