數(shù)字幻方的求解

1、目錄自序- 4 -作品簡(jiǎn)介- 5 -開篇語(yǔ)- 6 -數(shù)字幻方的變進(jìn)制對(duì)角線二維前后方圖法求解簡(jiǎn)介- 6 -數(shù)字幻方的介紹- 6 -二維前后方圖以及其構(gòu)造方法- 6 -3階幻方數(shù)字轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)字方法- 7 -中心線重心數(shù)字或塊中間邊角第概念- 7 -混沌關(guān)系理論- 7 -第一章- 8 -3階幻方求解- 8 -前后方圖之斜飛法- 8 -第二章- 12 -5階幻方求解- 12 -第一節(jié)- 12 -斜飛法快速求解5階幻方方法- 12 -第二節(jié)- 14 -5階幻方的第一類第一種的求解- 14 -第三章- 16 -4階幻方的求解- 16 -第一節(jié)- 16 -第一類第一種前后方圖的求解方法- 16 -第二

2、節(jié)- 17 -第一類第二種非均勻分布邊上數(shù)字和值相同的論述- 17 -第三節(jié)- 23 -第二類第一種對(duì)角線互補(bǔ)前后方圖具體解法- 23 -第四章- 36 -乘法求解幻方- 36 -第一節(jié)- 36 -最簡(jiǎn)單的奇數(shù)合數(shù)9階幻方的快速求解- 36 -第二節(jié)- 38 -偶數(shù)12階幻方求解- 38 -第五章- 40 -倍增法求解偶數(shù)幻方- 40 -第一節(jié)- 40 -6階幻方倍增圖的快速求解- 40 -第二節(jié)- 50 -6階幻方倍增圖的通用形式求解- 50 -第六章- 55 -填充數(shù)字的抽取方法- 55 -第一節(jié)- 55 -填充方法分類- 55 -第二節(jié)- 55 -6階幻方(可用于乘因子為3的乘法求解的所

3、有幻方)數(shù)字填充等差法- 55 -第七章 8階幻方的特殊解法外倍增法- 73 -第一節(jié)- 73 -借用4階幻方第一類第二類前后方圖圖表快速求解小幻方塊數(shù)字的抽取- 73 -第二節(jié)- 74 -8階外倍增小幻方中按照單個(gè)數(shù)字的抽取- 74 -第三節(jié)- 75 -8階數(shù)字的等差抽取- 75 -第四節(jié)- 78 -隔差排列的方法研究- 78 -第八章- 79 -小幻方塊在大幻方位置不同達(dá)到和值相等的排列數(shù)量研究- 79 -第九章- 80 -乘法或倍增法求解幻方中數(shù)字的排列數(shù)量研究- 80 -第十章- 81 -幻方研究應(yīng)用此法中的一些問題- 81 -附錄一- 82 -880個(gè)基本的4階方圖對(duì)應(yīng)的前方方圖-

4、82 -880個(gè)基本的4階方圖對(duì)應(yīng)的后方方圖- 94 -880個(gè)基本的4階幻方前后方圖- 106 -880個(gè)基本的4階十進(jìn)制幻方圖- 118 -附錄二- 130 -混沌關(guān)系理論在四色原理中心點(diǎn)外畫圈法證明中的應(yīng)用- 130 -自序規(guī)律來自于刻苦的努力研究和轉(zhuǎn)瞬即逝的靈感火花，是人類永恒的追求,如何在一片紛紛擾擾中,找到通往解決難題的捷徑,探尋到事物的本質(zhì),是人們孜孜不倦并為之苦心研究的動(dòng)力源泉。數(shù)字幻方作為一個(gè)小學(xué)生可以求解，但僅靠一個(gè)人的努力，終生都不可能參悟得透的數(shù)字方面的難題。雖然前人在幻方破解及規(guī)律研究上有很多的發(fā)明創(chuàng)造，但本人用自己的方法方式，沒有借鑒前人的術(shù)語(yǔ)和方法，而是自創(chuàng)了一套

5、成體系的方法，暫時(shí)命名為數(shù)字幻方的變進(jìn)制對(duì)角線二維前后方圖法，并且在此基礎(chǔ)上有研究了一些衍生方法，在這里一些術(shù)語(yǔ)在開篇語(yǔ)中，本人已做了一些說明，希望大家能做進(jìn)一步了解。在這個(gè)數(shù)字幻方的世界里,本人用了十?dāng)?shù)年研究,現(xiàn)已將數(shù)字幻方的一些便捷求解方法，或者說規(guī)律總結(jié)出來,并且付之于文字,對(duì)于這些不成熟的描述,以數(shù)字幻方圣經(jīng)來命名,雖然圣經(jīng)兩字看似有所僭越,但是宗教里的著作圣經(jīng)不是某一個(gè)人,也并不是某一個(gè)時(shí)期的著作,他是綜合很多大家領(lǐng)袖、仁人志士和先知先覺們的很龐大的團(tuán)隊(duì)的智慧與辛勤汗水,耗費(fèi)很長(zhǎng)精力和時(shí)間編撰而成。本人將自己不算成熟而且亟待完善的研究成果提前公布于世,是希望拋磚引玉,歡迎有更多的數(shù)學(xué)

6、愛好者，計(jì)算機(jī)編程愛好者，外語(yǔ)愛好者加入到這個(gè)數(shù)字幻方的研究創(chuàng)作團(tuán)隊(duì)里,共同將這本書完善起來，傳播開去。在這個(gè)不帶0的數(shù)字世界里，有很多奧妙美麗，希望大家在這里暢游，在此先謝過大家。 作者：王吉波 書于2015-6-2作品簡(jiǎn)介作品數(shù)字幻方圣經(jīng)_，于1996 年07月 01日開始創(chuàng)作， 2015 年6月 1日定稿完成，主要特點(diǎn)是用對(duì)角線二維方圖變進(jìn)制法的方法破解開4階數(shù)字幻方的所有構(gòu)造方式，一共有7040種排列圖，用最簡(jiǎn)單的組合方式分類，并且用圖表排列將其一一說明。在此書中首次將排列組合方法應(yīng)用于數(shù)字幻方的求解，可以用此方法解出任意階數(shù)字幻方的所有排列圖，還發(fā)明了倍增法求解任意偶數(shù)階數(shù)字幻方的方

7、法，乘法求解數(shù)字幻方的方法，并提出數(shù)字的抽取概念和方法以及數(shù)字的排列方法，可以快速求解任意階數(shù)字幻方。提出新的數(shù)學(xué)模式：混沌關(guān)系理論，并在倍增法求解6階幻方有所具體介紹及應(yīng)用，在附錄一中，將4階基本的880個(gè)幻方一一列表，在附錄二中有對(duì)三大數(shù)學(xué)難題之一四色原理，利用混沌關(guān)系理論進(jìn)行了論述，其相關(guān)的數(shù)學(xué)模式還需要大家共同努力建立。 開篇語(yǔ)數(shù)字幻方的變進(jìn)制對(duì)角線二維前后方圖法求解簡(jiǎn)介數(shù)字幻方是一種數(shù)字矩陣，來源于很早以前，據(jù)說洛書河圖是最早的數(shù)字幻方，有幾千年的歷史，至今人們所得到的一些所謂的幻方巧妙的書寫規(guī)律，只是看到了幻方很片面的地方，遠(yuǎn)遠(yuǎn)未達(dá)到真正破解其奧秘的要求，在這里本人將十?dāng)?shù)年的研究結(jié)

8、果介紹給大家，希望有志于此的朋友們，和我一起將這一本遠(yuǎn)遠(yuǎn)未完善的幻方論著完善下去?；梅降男袛?shù)和列數(shù)為大于等于3的相同數(shù)字，用1依次加1至最大數(shù)字（即行數(shù)或列數(shù)的平方值）填充，使每一個(gè)數(shù)字都遍歷，而且保持兩條對(duì)角線上、行上、列上的數(shù)字相加和相同，邊長(zhǎng)為n的幻方稱為n階幻方數(shù)字幻方的介紹將n階幻方中的十進(jìn)制數(shù)字全部變成n進(jìn)制數(shù)字，并且不帶0這個(gè)數(shù)字，n為最大數(shù)字，滿n進(jìn)1，最大數(shù)字為n*n，在換算過程中，沒有0這個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在其中，在十進(jìn)制難以解決的排序以及規(guī)律查找問題，迎刃而解。現(xiàn)以3階幻方為例，十進(jìn)制數(shù)1對(duì)應(yīng)幻方數(shù)字11,以下是2對(duì)應(yīng)12，3對(duì)應(yīng)13,4對(duì)應(yīng)21,5對(duì)應(yīng)22,6對(duì)應(yīng)23，7對(duì)應(yīng)3

9、1,8對(duì)應(yīng)32,9對(duì)應(yīng)33，將前后數(shù)字分開之后，整個(gè)幻方圖就將分解成2個(gè)數(shù)字矩陣圖形，其中前面圖稱之為前維方圖（以后簡(jiǎn)稱前方圖），后一個(gè)圖稱之為后維方圖（以后簡(jiǎn)稱后方圖），這就是變進(jìn)制對(duì)角線二維前后方圖法的名稱來歷，其中在每一個(gè)圖形中，因其各條行和列數(shù)量龐大，但是只有兩條對(duì)角線，所以以對(duì)角線為著重研究對(duì)象，稱為對(duì)角線法，綜上所述，此方法名稱為變進(jìn)制法二維前后方圖對(duì)角線法求解幻方。二維前后方圖以及其構(gòu)造方法經(jīng)過十?dāng)?shù)年研究，本人發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，現(xiàn)將其規(guī)律介紹一下，這個(gè)方法為依n階為進(jìn)制，對(duì)角線為分類依據(jù)，將1,2,3一直到n的數(shù)字按照列數(shù)或者行數(shù)一共n的平方個(gè)數(shù)字填充進(jìn)幻方位置里，使所有數(shù)字遍歷，

10、在十進(jìn)制數(shù)字和值相同情況下，依據(jù)構(gòu)成前后方圖中方圖數(shù)字的和值的不同將前后方圖分成兩大類，第一類所有邊對(duì)角線和值相同（不牽涉進(jìn)退位），第二類所有對(duì)角線邊和值不同（牽涉進(jìn)退位在4階幻方中為兩條對(duì)角線互補(bǔ)），對(duì)于第一類的幻方方圖，可以作為前后方圖自行進(jìn)行重疊合并，前方圖數(shù)字安排在幻方數(shù)字前面，后方方圖數(shù)字安排在幻方數(shù)字后邊，合并得到的幻方數(shù)字圖需要遍歷所有數(shù)字，這樣保持相應(yīng)邊上數(shù)字總的和值不變，幻方即成立，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)字；對(duì)于第二類的情況下，牽涉進(jìn)制問題，就以1當(dāng)n，或滿n進(jìn)1，需要將其前方圖和后方圖做一個(gè)和值對(duì)齊，就是說，在我們以后著重介紹的4階幻方中，前方圖后方圖牽涉進(jìn)制的數(shù)值為進(jìn)退

11、位1，所在位置只有對(duì)角線，并且對(duì)角線上和值互補(bǔ)，即一條為和值為9，另一條為11，這樣才能使其余行列所有和值達(dá)到10，不論第一類的不牽涉進(jìn)位的前后方圖還是第二類牽涉進(jìn)退位的前后方圖，其組成規(guī)律為中心四個(gè)數(shù)字和值與邊角四個(gè)數(shù)字和值同為10，而在行和列上如果出現(xiàn)進(jìn)退位，無法再進(jìn)行其余的行列和對(duì)角線和值的全部相等，對(duì)于前方圖中如果一條對(duì)角線出現(xiàn)進(jìn)位，即和值等于11，那么相應(yīng)的后方圖上數(shù)字的和值就需要減去4等于6即可達(dá)到幻方數(shù)字圖中這條對(duì)角線和值為10的目的，同理前方圖中如果一條對(duì)角線出現(xiàn)退位，即和值等于9，那么相應(yīng)的后方圖上數(shù)字的和值就需要加上4等于14即可可達(dá)到幻方數(shù)字圖中這條對(duì)角線和值為10的目的

12、。綜上所述，這個(gè)方法即稱為變進(jìn)制對(duì)角線二維前后方圖法求解數(shù)字幻方。后面的乘法求解以及倍增法快速求解幻方，其實(shí)質(zhì)只是這個(gè)方法的一個(gè)變異。前方圖和后方圖重合后可得到幻方數(shù)字方圖，前后方圖除了每一行列對(duì)角線相加全相等的情形外，在3階上不存在第一類第一種全均勻分布和第二類牽涉進(jìn)退位的分布，而在大于等于4階幻方的情況下，因其還牽涉進(jìn)制，所以前方圖有進(jìn)退1位情況，而相應(yīng)的后方圖也牽涉進(jìn)為，所以有滿n當(dāng)1和以1當(dāng)n的情形。所以將方前后圖做等和、非等和分布兩種：一、 第一類等和分布方圖任一條對(duì)角線、行、列上數(shù)字相加和相等，其中又細(xì)分為兩種，第一種全均勻數(shù)字等和分布方圖，即每一條行、列、對(duì)角線上數(shù)字都包含從1到

13、n，第二種非均勻數(shù)字等和分布方圖，即每一條行、列、對(duì)角線上數(shù)字有缺失的有重合的。其和值同樣都是1+2+n=(1+n)/2*n二、 第二類非等和分布方圖其中有兩條或大于2的偶數(shù)條行、列或?qū)蔷€數(shù)字和相加不同。分為前后方圖，前方圖有以1當(dāng)n的情況，而后方圖也因?yàn)闋可孢M(jìn)制，所以有滿n進(jìn)1或減n退1的情形，為保持其相加和值的相同，前方圖中如果那條邊大于和值1的話，其對(duì)應(yīng)后方圖相同的邊上就應(yīng)該少n即以1當(dāng)n，同理小1的話，對(duì)應(yīng)后方圖就應(yīng)該多n即以n當(dāng)1，這樣非等和分布方圖就又分成兩種，即非等和前維方圖，非等和后維方圖。在3階方圖中，滿3進(jìn)1，那么后方圖只有3,3,3一種組合，前方圖相同邊填充1,1,3,

14、或1,2,2,都會(huì)有相同的幻方數(shù)字出現(xiàn),達(dá)不到遍歷數(shù)字的情況，所以非等和分布方圖在3階幻方中不存在,只能從4階開始。以4階幻方為例，后方圖中全填成為4的話，其和為16減去10等于6大于滿4進(jìn)1，所以可以為也僅能夠?yàn)?4，組合為2,4,4,4或3,3,4,4,相對(duì)應(yīng)的前維方圖的和為9，組合為1,2,2,4或1,2,3,3。同理可以以1當(dāng)4，后維方圖邊的和可以為6，組合為1,1,1,3或1,1,2,2。相對(duì)應(yīng)前維方圖的邊和為11，組合為1,2,4,4或1,3,3,4。使其前后方圖相應(yīng)的邊搭配保持總和值相同。在以后的分析中，為方便論述將行、列統(tǒng)稱為邊。對(duì)角線分兩個(gè)，左上到右下稱為第1對(duì)角線，右上到左

15、下稱為第2對(duì)角線。3階幻方數(shù)字轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)字方法幻方數(shù)字變成十進(jìn)制數(shù)字如下：在n階幻方中，求出二維前后方圖，方圖中的二維數(shù)字轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)字的方法為：前面數(shù)字減1乘以n加上后面數(shù)字即可得到，比如3階的幻方數(shù)字22變?yōu)槭M(jìn)制數(shù)字5。4階幻方的22變成十進(jìn)制數(shù)字中的6。中心線重心數(shù)字或塊中間邊角第概念幻方中因?yàn)楦鱾€(gè)部位的不同，我們把其進(jìn)行不同分類，中心線是在奇數(shù)階幻方里，行或者列的中心一條的連線稱為中心線；重心數(shù)字是在奇數(shù)階幻方里，中心線和對(duì)角線相交于數(shù)字中的一處，稱為重心數(shù)字，而在偶數(shù)幻方中，其沒有重心數(shù)字，而在倍增求解偶數(shù)幻方時(shí)，我們把4個(gè)倍增數(shù)字組成的倍增塊稱為重心塊；中間線是在奇數(shù)幻方里

16、，行或者列的中心一條，在倍增求解偶數(shù)幻方稱為中間塊，邊角數(shù)字或邊角塊是幻方的最左上、最右上、最左下、最右下的四個(gè)地方的數(shù)字或者塊。倍增塊指倍增法求解數(shù)字幻方時(shí)，由1234相鄰四個(gè)數(shù)字組成的方格，塊指的是除倍增塊外乘法求解數(shù)字幻方時(shí)，乘幻方所組成的小方塊。等差是指在幻方中數(shù)字組合的抽取時(shí)，每一個(gè)組合和值差為一個(gè)定值。隔差指將組合數(shù)量分成兩或多部分，其中相同數(shù)量的組合之間相差互補(bǔ)數(shù)字的差值。混沌關(guān)系理論在論述一個(gè)數(shù)學(xué)或邏輯學(xué)圖論等領(lǐng)域時(shí)，只論述研究對(duì)象的相應(yīng)關(guān)系，而對(duì)其精準(zhǔn)的組成方法、數(shù)值、形狀、幾何尺寸等等內(nèi)在的描述不做為研究重點(diǎn)，而是以相關(guān)對(duì)象之間的關(guān)系為研究重點(diǎn)。這種方法就叫混沌關(guān)系理論。在

17、6階幻方倍增圖的研究上，我采用了這一理論對(duì)和值的論述進(jìn)行研究。 在附錄二中對(duì)四色原理利用此理論進(jìn)行研究。第一章3階幻方求解在3階幻方中,前后方圖不牽涉進(jìn)位，只有一種即第一類，而在這一類中，對(duì)角線上為達(dá)到和值等于6，其一條對(duì)角線為123且重心只能為2，其另一條對(duì)角線除重心外，如果再填上1或者3，那么它就無法再填充中間的數(shù)字以達(dá)到各邊和值相同，所以，在3階幻方里，前后方圖只有一種，即第一類第二種非均勻數(shù)字等和分布方圖，：前后方圖之斜飛法將一條對(duì)角線添為全中值數(shù)字，另一條對(duì)角線填充上其余數(shù)字，并以全中值對(duì)角線為中心，兩邊對(duì)應(yīng)填入其余數(shù)字，即為斜飛法，在快速求解奇數(shù)幻方中，是一種簡(jiǎn)單快捷的方法，以后經(jīng)

18、常用。下面提到的第一種的兩個(gè)，（11）（21）可以看做數(shù)字1,2,3的重排列，并且(21)也可以看做對(duì)（11）中數(shù)字用（1+3）即4數(shù)字相減。這就又得到了另一種快速求解的方法，即互補(bǔ)法，如果將這兩個(gè)圖相加每個(gè)圖的相應(yīng)位置數(shù)字和同為（1+n），在此例中為4。第一種，左下到右上對(duì)角線全相同數(shù)字2，共2個(gè)1 3 2 3 1 23 2 1 1 2 32 1 3 2 3 1(11) (12)第二種，左上到右下對(duì)角線全相同數(shù)字2，共2個(gè) 2 3 1 2 1 3 1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2 （21） （22）2）重合上面的方圖同一種的不能重合，第一張與第二種可以重合，前后可互移，共有8種

19、組合，現(xiàn)論述如下并將其轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制幻方1、幻方數(shù)字（11） + (21)12 33 2131 22 1323 11 32 （1）十進(jìn)制數(shù)字2 9 47 5 36 1 8 (1)這就是本書第一個(gè)3階幻方即九宮圖所說戴九履一，二四為肩，六八為足，三七為腰。2、幻方數(shù)字（11）+（22）12 31 2333 22 1121 13 32（2）十進(jìn)制數(shù)字 2 7 6 9 5 1 4 3 8 （2）3、幻方數(shù)字（12）+（21）32 13 2111 22 3323 31 12(3)十進(jìn)制數(shù)字 8 3 4 1 5 9 6 7 2（3）4、幻方數(shù)字（12）+（22）32 11 23 13 22 3121 33

20、 12（4）十進(jìn)制數(shù)字8 1 63 5 74 9 2 （4）5、幻方數(shù)字（21）+（11）21 33 1213 22 3132 11 23（5）十進(jìn)制數(shù)字4 9 23 5 78 1 6 （5）6、幻方數(shù)字（21）+（12）23 31 1211 22 3332 13 21 （6）十進(jìn)制數(shù)字6 7 21 5 98 3 4 （6）7、幻方數(shù)字（22）+（11）21 13 3233 22 1112 31 23 （7）十進(jìn)制數(shù)字4 3 8 9 5 1 2 7 6 （7）8、幻方數(shù)字（22）+（12）23 11 3231 22 1312 33 21 （8）十進(jìn)制數(shù)字6 1 87 5 32 9 4 （8）其

21、表格如下：其中行代表前方圖，列代表后方圖（11）（12）（21）（22）（11）0011(12)0011(21)1100(22)1100綜上所述，3階幻方前后方圖共有4個(gè)，一共只有8個(gè)幻方圖形，求出任何一個(gè)可以求出其余七個(gè)，即旋轉(zhuǎn)90度，180度，270度，左右鏡像后再重復(fù)上述方法，所以在幻方中求出一個(gè)就意味著求出八個(gè)，我們將這一個(gè)幻方叫做基本幻方。任何階幻方的總的個(gè)數(shù)都是能被8整除的偶數(shù)個(gè)，每一階次的幻方都只要求出基本幻方的數(shù)量，其余的可以通過上面方法，得到其余的7個(gè)幻方，在4階幻方中，其總的數(shù)量為7040個(gè)，我們只要求出基本的880個(gè)，其余的即可推理得到?，F(xiàn)在我們?cè)賹⑸厦娣椒ㄍ贫鴱V之，在求

22、解任意階奇數(shù)幻方的時(shí)候，都可以用這種第一類第二種方法，即任一條對(duì)角線為全相同中間值數(shù)字，另一條為全分布數(shù)字，用排列方法快速求出，再填充其余數(shù)字即可得到所求的方圖，再鏡像，求出另一組方圖，然后相互重合，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制即可得出幻方。第二章5階幻方求解5階幻方是比最簡(jiǎn)單的3階幻方復(fù)雜的奇數(shù)類幻方，3階中，因?yàn)槠浜椭到M合的局限性，其實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)基本的幻方，其余的7個(gè)都是其通過鏡像旋轉(zhuǎn)變換來的，而到了5階幻方，才能夠顯示出其復(fù)雜性，在這里著重介紹了幾個(gè)簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法，對(duì)于全部的幻方?jīng)]做進(jìn)一步研究。第一節(jié)斜飛法快速求解5階幻方方法為了解斜飛法，我們接上節(jié)方法繼續(xù)論述，斜飛法是一種快速求解奇數(shù)幻方的方法，其

23、具體方法如下：以第1對(duì)角線為第一填充對(duì)象，填入數(shù)字1，2，3，n*n，其中n為n階幻方的數(shù)字n，其以第2對(duì)角線為全均勻中值對(duì)角線，對(duì)應(yīng)的另一條對(duì)角線為左上到右下1、2、3、4、5排列，中間值3不動(dòng)，求出（11）方圖后即可得到1、2、4、5排列方圖即排列4共計(jì)24種排列，鏡像后得到另外24種排列方圖，這樣就快速求出24*24*2種共計(jì)1152個(gè)5階幻方。1）斜飛法舉例求解5階幻方 （11）1 4 2 5 34 2 5 3 12 5 3 1 45 3 1 4 23 1 4 2 5（11）左右鏡像求得(21)3 5 2 4 11 3 5 2 44 1 3 5 22 4 1 3 55 2 4 1 3

24、（11）+（21）幻方數(shù)字如下：13 45 22 54 3141 23 55 32 1424 51 33 15 4252 34 11 43 2535 12 44 21 53 （1）轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)字：3 20 7 24 1116 8 25 12 49 21 13 5 1722 14 1 23 1015 2 19 6 17（1） 2）前后方圖互換位置還是以上面例子為說明 （21）+（11） 31 54 22 45 13 14 32 55 23 41 42 15 33 51 24 25 43 11 34 52 35 21 44 12 35 （2）轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)字： 11 24 7 20 3 4 12

25、 25 8 16 17 5 13 21 9 10 23 1 14 22 17 6 19 2 15 （2）可以看出互換前后方圖在這里就是左右鏡像，斜飛法實(shí)質(zhì)上是第一類第二種的方圖類型。第二節(jié)5階幻方的第一類第一種的求解第一類第一種即全均勻分布還是以左下到右上對(duì)角線做研究對(duì)象，以12345順序求出第一個(gè)方圖。 一、幻方數(shù)字另一條對(duì)角線為2,1,3,5,4排列如下：2 4 1 3 55 1 2 4 34 5 3 1 23 2 4 5 11 3 5 2 4 （11）將（11）數(shù)字再排列可得到排列5種幻方圖比方變?yōu)?2354排列左右鏡像得到5 3 1 4 23 4 2 1 52 1 3 5 41 5 4

26、 2 34 2 5 3 1 （21）（11）+（21）25 43 11 34 5253 14 22 41 3542 51 33 15 2431 25 44 52 1314 32 55 23 41（1）十進(jìn)制數(shù)字10 18 1 14 2223 4 7 16 15 17 21 13 5 921 10 19 22 34 12 25 8 16（1）其中（11）可以在排列成排列5個(gè)種即120種，同樣（21）可以排列為120種，其相應(yīng)組合即為120乘120乘2合計(jì)28800種。二、幻方數(shù)字另一條對(duì)角線為4,1,3,5,2排列如下：4 3 1 2 55 1 2 4 32 5 3 1 43 2 4 5 11

27、4 5 3 2 （11） 同理對(duì)其進(jìn)行左右鏡像，再重合也可得出可以在排列成排列5即120種，同樣（21）可以排列為120種，其相應(yīng)組合即為120乘120乘2合計(jì)28800種。不再贅述。繼續(xù)我們的研究，還發(fā)現(xiàn)在這個(gè)方圖中可以與下面左下到右上對(duì)角線鏡像的進(jìn)行重合2 1 4 3 53 5 1 4 25 4 3 2 14 2 5 1 31 3 2 5 4 （21）也可得出可以在排列成排列5個(gè)種即120種，同樣（21）可以排列為120種，其相應(yīng)組合即為120乘120乘2合計(jì)28800種。不再贅述。在5階幻方中僅此第一類第二種相同的組合使用上面的方法已經(jīng)達(dá)到28800乘3種幻方圖，如果再加上其余再混合，就

28、更復(fù)雜，對(duì)于其余的不再論述。在下面的章節(jié)中著重介紹4階幻方的解法，因?yàn)樗强焖偾蠼獯笥?的偶數(shù)幻方的基礎(chǔ)，可直接用于快速求解偶數(shù)幻方，也能用于倍增法求解幻方。第三章 4階幻方的求解一、4階幻方的重要性簡(jiǎn)介4階幻方的前后方圖是倍增法快速求解大于6的偶數(shù)階幻方以及乘法快速求解其余偶數(shù)幻方的基礎(chǔ)應(yīng)用，所以以下我用最大篇幅講述四階幻方的求解。二、具體分類以及求解方法為方便將其前后方圖分為兩大類，1、第一類，方圖的每條邊包括對(duì)角線的數(shù)字和值為10的統(tǒng)稱為第一類，又分為兩種，第一種為全均勻分布，每條邊、對(duì)角線上的每個(gè)幻方數(shù)字都遍歷。第二種是除去第一種，邊上、對(duì)角線上有幻方數(shù)字有缺失和重合現(xiàn)象。2、第二類，

29、前后方圖的兩條邊的和不相同，其中前方圖一條邊和為9，一條和為11，而其對(duì)應(yīng)的后方圖相應(yīng)的邊為保持和值相同，變?yōu)楹椭?4和和值6，分成兩種，第一種為對(duì)角線互補(bǔ)前后方圖，第二種除第一種外的其他類型，在4階幻方中沒出現(xiàn)。在下面將具體論述。第一節(jié)第一類第一種前后方圖的求解方法我們還是以第2對(duì)角線為研究方向，方法論述如下：前后方圖的第一個(gè)（11）以第二對(duì)角線為第一填充對(duì)象，以1,2,3,4填入得出（11） （11）2 3 1 44 1 3 23 2 4 11 4 2 3第2對(duì)角線鏡像得出（21） （21）3 1 2 42 4 3 14 2 1 31 3 4 2幻方數(shù)字方圖23 31 12 4442 14

30、 33 2134 22 41 1311 43 24 32 （1）轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)字幻方：7 9 2 1614 4 11 512 6 13 31 15 8 10 （1）將上面的（11）中數(shù)字重新排列可得到（排列4）個(gè)方圖，即24個(gè)方圖，每種都有24個(gè)第二對(duì)角線（左下到右上）鏡像，一共有24乘24即576種，再將其數(shù)字前后翻轉(zhuǎn)，（還有幾種方法與其相同：在幻方方圖中的數(shù)字用5去減，或者求出十進(jìn)制幻方的基礎(chǔ)上，每個(gè)數(shù)字再被十進(jìn)制數(shù)字17去減），又得出其余576種，總共第一類第一種合計(jì)為1152個(gè)幻方，不再一一論述。第二節(jié)第一類第二種非均勻分布邊上數(shù)字和值相同的論述第一、方圖分類在這一類前后方圖中，每一條

31、邊上的數(shù)字不是都遍歷1,2,3,4，而是有重合有缺失，但滿足和值相同，同時(shí)遍歷4遍1,2,3,4，現(xiàn)將其具體分為14類：1）對(duì)角線1234對(duì)應(yīng)對(duì)角線1234第（1）組合1 4 4 1 1 4 4 1 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 4 1 1 4 4 1 1 43 2 2 3 2 3 3 2 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 3 2 2 3 2 3 3 22 3 3 2 3 2 2 3 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 2 3 3 2 3 2 2 34 1 1 4 4 1 1 4 3 2 2 3 3 2

32、 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 4 4 1 1 4 4 1第1對(duì)角線鏡像1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 14 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 44 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 41 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 1 第（2）

33、組合1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 4 1 4 1 4 13 2 3 2 2 3 2 3 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 3 2 3 2 2 3 2 34 1 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 1 4 1 4 1 42 3 2 3 3 2 3 2 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 2 3 2 3 3 2 3 2 第1對(duì)角線鏡像1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2

34、1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 34 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 21 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 34 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2 第（3）組合1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 4 1 4 1 4 14 2 3 1 4 3 2 1

35、3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 43 1 4 2 2 1 4 3 4 2 3 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 3 2 4 3 4 1 2 2 4 1 32 3 2 3 3 2 3 2 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 2 3 2 3 3 2 3 2 第1對(duì)角線鏡像1 4 3 2 1 4 2 3 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 4 1 3 2 4 1 2 34 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3

36、1 3 4 21 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 34 1 2 3 4 1 3 2 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 1 4 2 3 1 4 3 2 第（4）組合1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 13 2 3 2 2 3 2 3 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 3 2 3 2 2 3 2 34 1 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2

37、3 2 3 2 3 2 3 1 4 1 4 1 4 1 42 4 1 3 3 4 1 2 1 3 2 4 4 3 2 1 1 2 3 4 4 2 3 1 2 1 4 3 3 2 4 2 第1對(duì)角線鏡像1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 1 2 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 33 2 1 4 2 3 1 4 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 3 2 4 1 2 3 4 12 3 4 1 3 2 4 1 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4 3 2 1 44 2 1 3 4 3

38、 2 1 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2 第（5）組合1 1 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 4 4 1 14 4 1 1 4 4 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 4 4 1 1 4 42 2 3 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 2 2 3 3 3 3 2 23 3 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 4 3 3

39、2 2 2 2 3 3 第1對(duì)角線鏡像1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 21 4 2 3 1 4 3 2 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 24 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 1 4 3 2 1 4 2 34 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 1 4 3 2 1 4 2 3 第（6）組合 1 1 4 4 1 1 4 4 2 2 3

40、 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 4 4 1 1 3 4 1 2 2 4 1 3 4 3 2 1 1 3 2 4 1 2 3 4 4 2 3 1 2 1 4 3 3 1 4 24 3 2 1 4 2 3 1 3 4 1 2 3 1 4 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3 第1對(duì)角線鏡像1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 1 2 4 3 4 2 1 4 2 1 3 4 3

41、 1 21 4 3 2 1 4 2 3 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 24 1 2 3 4 1 3 2 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 1 4 3 2 1 4 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 4 3 1 2 1 3 4 1 3 4 2 1 2 4 3 第（7）組合1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 1 4 2 3 4 1 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2

42、 3 3 2 2 3 3 1 1 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 4 2 2 1 4 3 4 2 3 1 1 2 3 4 1 3 2 4 4 3 2 1 2 4 1 3 3 4 1 2 第1對(duì)角線鏡像1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 4 1 3 2 4 1 2 33 4 1 2 2 4 3 1 4 3 1 2 1 3 4 2 1 2 4 3 4 2 1 3 2 1 3 4 3 1 2 42 1 3 4 3

43、1 2 4 1 2 4 3 4 2 1 3 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 2 1 2 4 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 1 4 2 3 1 4 3 2 2）對(duì)角線1144以及對(duì)角線2233的組合 第（8）組合1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 43 1 4 2 2 1 4 3 2 1 4 3 3 1

44、4 2 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 14 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 2第1對(duì)角線鏡像相同但把相同類型的歸于這類3 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 14 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 2 1 4 31 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 2 4 1 3 3 4 1 2 2 4 1 3

45、3 4 1 22 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 第（9）組合1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 4 1 3 2 4 1 2 34 1 3 2 4 1 2 3 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 1 4 2 3 1 4 3 23 2 4 1 2 3 4 1 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 3 2 2 3 1 4 3 2 1 42 3 1 4 3 2 1 4 4 1 2 3 1 4 2 3 4

46、1 3 2 1 4 3 2 3 2 4 1 2 3 4 1 第1對(duì)角線鏡像相同第（10）組合1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 32 4 3 1 3 4 2 1 1 3 4 2 4 3 1 2 1 2 4 3 4 2 1 3 2 1 3 4 3 1 2 44 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 23 1 2 4 2 1 3 4 4 2 1 3 1 2 4 3 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 2 1 2 4 3 1 第

47、1對(duì)角線鏡像相同3）對(duì)角線1333與2224組合 第（11）組合1 1 4 4 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 4 1 1 4 4 1 1 4 1 4 1 4 1 4 13 3 2 2 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 2 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 34 2 3 1 3 2 3 2 4 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 4 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 42 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 第1對(duì)角線鏡像1 3 4 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 4 3 2 4 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1