巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類(lèi)幾何最值問(wèn)題

1、巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類(lèi)幾何最值問(wèn)題V2在對(duì)角線BD上有一點(diǎn)P,求當(dāng)PA+PC+PB的值最小【模型1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 時(shí)，則這個(gè)最小值為多少？【解如圖，將公ABP以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600，得到 EBQ,連接PQJUA BPQ和A ABE均為等邊三角形。設(shè)y=PA+PC+PB,貝1y=EQ+QP+PC,故當(dāng)點(diǎn)E、Q、P、C在同一條直線上時(shí)y最小，即y的最小值為CE的長(zhǎng)度。過(guò)點(diǎn)E作EM_LBC,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，易知， / EBM=30o , EM=V 2/2 ?BM=V 32/2=; V 6/2 CE2= ( V 2/2 2+ ( V 6/2+ )2=4+2 V 3=( V 3+

2、1 2, CE=V 3+1即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時(shí)，最小值為V3+1通過(guò)求解過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P在不在BD上與結(jié)果并無(wú)關(guān)系，可以認(rèn)為點(diǎn)P ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，當(dāng)/ ABC=90o , BA=BCV2時(shí), PA+PB+PC的最小值仍然是V3+1。于是我們?cè)O(shè)想當(dāng)/ ABC為其他特殊角，BA和BC不相等時(shí)，PA+PB+PC的最小值可以 求得嗎？【模型 2】ABC 中，/ BAC=30o , AB=6 , AC=8，點(diǎn) P ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA, PB, PC,求PA+PB+PC的最小值?！窘馕觥咳鐖D，將/ ABP以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到/ AB P ；連接PP。則A APP為等邊三

3、角形。 貝U PA+PC+PB=BPf +PP +PC故當(dāng)PA+PC+PB最小時(shí)，點(diǎn)B'、P，、P、c在同一條直線上，即 PA+PC+PB的最小值為B的長(zhǎng)度。易知 , / B' AC=30o+60o=90o, AB =AB=6 B，C=10即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時(shí)，最小值為10?！灸Ｐ?3 ABC 中 , / BAC=60o , AB=2 V3, AC=4.，心點(diǎn) PABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA, PB, PC,求 PA+PB+PC 的最小值 o ?【解析】如圖，將/ ABP以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60O，得到/ ABP、連接PF、貝八A APP為等邊三角形。貝U PA+PC+P

4、B=BP, +PP +RC故當(dāng)PA+PC+PB最小時(shí)，點(diǎn)B'、P'、P、C在同一條直線上，即 PA+PB+PC的最小值為B1 口的長(zhǎng)度。過(guò)點(diǎn)B祚B，DAC,交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,易知，/ B' AD=60o B 1 D=2 V 3 $ 3/2D= V3 CD=4-V 3+ V 3=4- B' C=5即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時(shí)，最小值為 5。【模型 4 ABC 中 , / BAC=90o , AB=V3,AC=3/3 3，點(diǎn) P ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA, PB,PC,求PA+PB+PC的最小值?！灸Ｐ?5在A ABC 中，/ ABC=75o , AB=V2 , BC=2,點(diǎn) P 為2 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA, PB, PC,求PA+PB+PC的最小值?！咎崾尽咳缦聢D，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可知PA+PC+PB的最