圓錐曲線的最值-定值-范圍等經(jīng)典考題型附答案-作業(yè)(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、圓錐曲線的最值問題方法1：定義轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；將最值問題轉(zhuǎn)化為距離問題求解例1、已知點(diǎn)F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_方法2：數(shù)形結(jié)合（切線法）當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線的距離的最值時(shí)：求與直線平行的圓錐曲線的切線；求出兩平行線的距離即為所求的最值例2、求橢圓y21上的點(diǎn)到直線yx2的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)方法3：參數(shù)法（函數(shù)法） 選取合適的參數(shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)最值例3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)

2、P(x，y)是橢圓y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則Sxy的最大值為_方法4：基本不等式法將最值用變量表示利用基本不等式求得表達(dá)式的最值例4、求橢圓y21內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值二、圓錐曲線的范圍問題方法1：曲線幾何性質(zhì)法由幾何性質(zhì)建立關(guān)系式；化簡關(guān)系式求解例1、已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線中的取值范圍是_方法2：判別式法當(dāng)直線和圓錐曲線相交、相切和相離時(shí)，分別對(duì)應(yīng)著直線和圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零 聯(lián)立曲線方程，消元后求判別式；根據(jù)判別式大于零、小于零或等于零結(jié)合曲線性質(zhì)

3、求解例2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)m，使得向量與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請(qǐng)說明理由三、圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題方法1：特殊到一般法根據(jù)特殊情況能找到定值(或定點(diǎn))的問題 根據(jù)特殊情況確定出定值或定點(diǎn)；對(duì)確定出來的定值或定點(diǎn)進(jìn)行一般情況的證明例1、已知雙曲線C：x21，過圓O：x2y22上任意一點(diǎn)作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，證明：AOB的大小為定值方法2：引進(jìn)參數(shù)法定值、定點(diǎn)是變化中的不變量，引入?yún)?shù)找出與變量與參

4、數(shù)沒有關(guān)系的點(diǎn)(或值)即是定點(diǎn)(或定值). 引進(jìn)參數(shù)表示變化量；研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定值或定點(diǎn)例2、如圖所示，曲線C1：1，曲線C2：y24x，過曲線C1的右焦點(diǎn)F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點(diǎn)若G為CD的中點(diǎn)、H為BE的中點(diǎn)，證明為定值課堂知識(shí)運(yùn)用訓(xùn)練1設(shè)P是曲線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到x1直線的距離之和的最小值為() A. B. C. D.2橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的范圍為() A. B0 C. D.3設(shè)F是橢圓1的右焦點(diǎn)，且橢圓

5、上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i1,2,3，)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為_4過拋物線y22px(p0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y00)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則的值為_5橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)PFO的面積最大時(shí)，求直線l的方程6已知O過定點(diǎn)A(0，p)(p0)，圓心O在拋物線C：x22py(p0)上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O在軸上所截得的弦(1)當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；

6、(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O的位置關(guān)系，并說明理由答案解析圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、圓錐曲線的最值問題方法1：定義轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；將最值問題轉(zhuǎn)化為距離問題求解例1、已知點(diǎn)F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_解析如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，將|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即P為圖中的點(diǎn)P0時(shí)成立，故|PF|PA|的最小值為9.故填9.方法2：數(shù)形

7、結(jié)合（切線法）當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線的距離的最值時(shí)：求與直線平行的圓錐曲線的切線；求出兩平行線的距離即為所求的最值例2、求橢圓y21上的點(diǎn)到直線yx2的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)橢圓的切線方程為yxb，代入橢圓方程，得3x24bx2b220.由(4b)24×3×(2b22)0，得b±.當(dāng)b時(shí)，直線yx與yx2的距離d1，將b代入方程3x24bx2b220，解得x，此時(shí)y，即橢圓上的點(diǎn)到直線yx2的距離最小，最小值是；當(dāng)b時(shí)，直線yx到直線yx2的距離d2，將b代入方程3x24bx2b220，解得x，此時(shí)y，即橢圓上的點(diǎn)到

8、直線yx2的距離最大，最大值是.方法3：參數(shù)法（函數(shù)法） 選取合適的參數(shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)最值例3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x，y)是橢圓y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則Sxy的最大值為_解析因?yàn)闄E圓y21的參數(shù)方程為(為參數(shù))故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 22sin，所以，當(dāng)時(shí)，S取最大值2.故填2.方法4：基本不等式法將最值用變量表示利用基本不等式求得表達(dá)式的最值例4、求橢圓y21內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值二、圓錐曲線的范圍問題方法1：曲線幾何性質(zhì)法由幾何性質(zhì)建立關(guān)系式；化簡關(guān)系式求解例1、已知雙曲線1(a0，b0)

9、的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線中的取值范圍是_解析根據(jù)雙曲線定義|PF1|PF2|2a，設(shè)|PF2|r，則|PF1|4r，故3r2a，即r，|PF2|.根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF2|ca，即ca，即，即e.又e1，故雙曲線的離心率e的取值范圍是.故填.方法2：判別式法當(dāng)直線和圓錐曲線相交、相切和相離時(shí)，分別對(duì)應(yīng)著直線和圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零 聯(lián)立曲線方程，消元后求判別式；根據(jù)判別式大于零、小于零或等于零結(jié)合曲線性質(zhì)求解例2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓

10、y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)m，使得向量與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由已知條件，知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程，得(kx)21，整理得x22kx10.由直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，得8k244k220，解得k或k，即k的取值范圍為.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，B(0,1)，得(，1)所以與共線等價(jià)于x1x2(y1y2)，將代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在

11、符合題意的常數(shù)k.三、圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題方法1：特殊到一般法根據(jù)特殊情況能找到定值(或定點(diǎn))的問題 根據(jù)特殊情況確定出定值或定點(diǎn)；對(duì)確定出來的定值或定點(diǎn)進(jìn)行一般情況的證明例1、已知雙曲線C：x21，過圓O：x2y22上任意一點(diǎn)作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，證明：AOB的大小為定值證明當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x±.當(dāng)x時(shí)，代入雙曲線方程，得y±，即A(，)，B(，)，此時(shí)AOB90°，同理，當(dāng)x時(shí)，AOB90°.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為ykxb，則，即b22(1k2)由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b

12、22)0，由直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)故2k20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y2，由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則AOB的大小為定值90°.方法2：引進(jìn)參數(shù)法定值、定點(diǎn)是變化中的不變量，引入?yún)?shù)找出與變量與參數(shù)沒有關(guān)系的點(diǎn)(或值)即是定點(diǎn)(或定值). 引進(jìn)參數(shù)表示變化量；研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定值或定點(diǎn)【例2】如圖所示，曲線C1：1，曲線C2：y24x，過曲線C1的右

13、焦點(diǎn)F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點(diǎn)若G為CD的中點(diǎn)、H為BE的中點(diǎn)，證明為定值證明由題意，知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直線yk(x1)，代入1，得829y2720，即(89k2)y216ky64k20，則y1y2，y1y2.同理，將yk(x1)代入y24x，得ky24y4k0，則y3y4，y3y44，所以·3為定值課堂知識(shí)運(yùn)用訓(xùn)練1設(shè)P是曲線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到x1直線的距離之和的最小值為() A. B. C. D.解析如

14、圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離；于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最?。伙@然，連AF交曲線于P點(diǎn)故最小值為，即為.答案C2橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的范圍為() A. B0 C. D.解析此題的本質(zhì)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)(a,0)與(0，b)一個(gè)在圓外、一個(gè)在圓內(nèi)即：e.答案A3設(shè)F是橢圓1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i1,2,3，)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為

15、d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為_解析若公差d0，則|FP1|最小，|FP1|1；數(shù)列中的最大項(xiàng)為1，并設(shè)為第n項(xiàng)，則11(n1)dn121d，注意到d0，得0d；若d0，易得d0.那么，d的取值范圍為.4過拋物線y22px(p0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y00)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則的值為_解析設(shè)直線PA的斜率為kPA，PB的斜率為kPB，由y2px1，y2px0，得kPA，同理kPB，由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，因此，即y1y22y0(y00)，那么2.5橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦點(diǎn)為F

16、，過F點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)PFO的面積最大時(shí)，求直線l的方程解求直線方程，由于F(c,0)為已知，僅需求斜率k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y0，由于SPFO|OF|·|y0|y0|只需保證|y0|最大即可，由(b2a2k2)y22b2ckyb4k20，|y0|得：SPFO，此時(shí)a2|k|k±，故直線方程為：y±(xc)6已知O過定點(diǎn)A(0，p)(p0)，圓心O在拋物線C：x22py(p0)上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O在軸上所截得的弦(1)當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O的位置關(guān)系，并說明理由解(1)設(shè)O(x0