晶格振動和晶體的熱學性質(zhì)PPT課件

1、第n個原子的運動方程：112nnnnm nit naqAe試解 格波方程222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得 色散關(guān)系22iaqiait naqit naqit naqit nqaqAeAeAemAe第1頁/共79頁二、格波的簡約性質(zhì)、簡約區(qū)qaa 簡約區(qū)12sin2aqm 色散關(guān)系a -a 02a 2a -q (q)第2頁/共79頁q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單 位距離兩點間的振動位相差。格波解：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振 動，不同原子間有振動位相差，這種振動以波 的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。 對于確定的n：第n個原子的位移隨時間

2、作簡諧振動 對于確定時刻t：不同的原子有不同的振動位相it naqAeit xqAe格 波：連續(xù)介質(zhì)彈性波：第3頁/共79頁例：14a245a1122qa22252qa212qqal q取不同的值，相鄰兩原子間的振動位相差不同，則 晶格振動狀態(tài)不同。l 若2qqa則 與 描述同一晶格振動狀態(tài)qq第4頁/共79頁三、周期性邊界條件（BornKarman邊界條件）nnN1 2nNN+1N+2N+nitN n aqit naqAeAehNaq2h =整數(shù)1iNaqe21ihe第5頁/共79頁在q軸上，每一個q的取值所占的空間為Na2q的分布密度： 22LNaqLNa 晶體鏈的長度晶格振動格波的總數(shù)=

3、N1簡約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù) 222NaqaaN晶體鏈的原胞數(shù)=晶體鏈的自由度數(shù)第6頁/共79頁四、格波的簡諧性、聲子概念1,qinaqQ q t eNm212nnTm晶體鏈的動能：2112nnnU晶體鏈的勢能：2211122nnnnnHm系統(tǒng)的總機械能：nit naqAejjjj頻率為 j的特解：jnit naqAejjj方程的一般解：第7頁/共79頁線性變換系數(shù)正交條件：,1q qnina q qeN 系統(tǒng)的總機械能化為： 2*1,2qHQq t Q q tq Qq t Q q tQ(q, t)代表一個新的空間坐標，它已不再是描述某個原子運動的坐標了，而是反映晶體中所有原子整體運動的坐標，

4、稱為簡正坐標。第8頁/共79頁運動方程： ,0Q q tq Q q tjj2j 聲子是晶格振動的能量量子 j聲子的概念： 一種格波即一種振動模式稱為一種聲子， nj：聲子數(shù)。 晶體中所有原子共同參與的同一頻率的簡諧振動稱為一種振動模式。jjj12En能量本征值：j0,1,2,n 當電子或光子與晶格振動相互作用時，總是以 為 單元交換能量。j第9頁/共79頁 聲子具有能量 ，也具有準動量 ，但它不能 脫離固體而單獨存在，并不是一種真實的粒子, 只是一 種準粒子。 聲子的作用過程遵從能量守恒和準動量守恒。 由N個原子組成的一維單原子鏈，晶格振動的總能量為：Njjj=112En 聲子可以通過熱激發(fā)產(chǎn)

5、生，也可以通過光子或其他粒子 與晶格的相互作用過程產(chǎn)生，在相互作用的過程中，聲 子數(shù)不守恒。jq第10頁/共79頁3.2 一維雙原子鏈的振動一、運動方程及其解運動方程：12nnnnM 12nnnnm 試 解：it naqnAe12itnaqnBe(設(shè)M m)考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈只考慮近鄰原子間的彈性相互作用aM m n n n-1 n+1第11頁/共79頁21222cos0MAaq B2122cos20aq AmB代入方程:22121222cos02cos2Maqaqm久期方程：2222cosMmMmMmaqMm2212411sinMmMmaqMmMm第12頁/共79

6、頁簡約區(qū)：aqa 對于不在簡約區(qū)中的波數(shù)q ，一定可在簡約區(qū)中找到唯一一個q，使之滿足：2qqGaG為倒格矢兩個色散關(guān)系即有兩支格波：（ ：光學波； ：聲學波）aa第13頁/共79頁二、光學波和聲學波的物理圖象第n個原胞中P、Q兩種原子的位移之比12122122cos2nni aqi aqaq eAeBM1222122cosR e2cosi aqimaq eMmMmMmaqR :大于零的實數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比 : 兩原子的振動位相差第14頁/共79頁1. 光學波（光學波（optical branch）1222122cos2cosnni aqmaq eMmMmMmaq122212

7、2cos2cosiaqimaq eR eMmMmMmaqqaa12cos0aq12aq1ie 第15頁/共79頁322 在、象限之間，屬于反位相型。物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動位相基本上相反， 即原胞中的兩種原子基本上作相對振動，而 原胞的質(zhì)心基本保持不動。 當q0時， ，原胞中兩種原子振動位相完全相反。Mmqnn0 離子晶體在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動，因此，我們稱這種振動為光學波或光學支。第16頁/共79頁 對于單聲子過程（一級近似），電磁波只與波數(shù)相同的格波相互作用。如果它們具有相同的頻率，就會發(fā)生共振。光波： c0q， c0為光速 =c0q 0q (q) +

8、(0) + 對于實際晶體， (0)在1013 1014Hz，對應(yīng)于遠紅外光范圍。離子晶體中光學波的共振可引起對遠紅外光在 (0)附近的強烈吸收。第17頁/共79頁11222cos222cosi aqimaq eR eMmMmaqMmaqMmmMmMeaqmaqinncos2cos22221212. 聲學波（acoustic branch）aq2122即： 在、象限，屬于同位相型第18頁/共79頁物理圖象：原胞中的兩種原子的振動位相基本相同，原胞 基本上是作為一個整體振動，而原胞中兩種原 子基本上無相對振動。 aqmMMmMmmM21222sin4111222411MmMmaqMmMm22221

9、12222MmMmaqaqMmMmMmq0時當q0時， 原胞內(nèi)兩種原子的振動位相完全相同。0,第19頁/共79頁這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波 vqvq 一致。122aqqMm當q0時10qnn 在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運動完全一致，振幅和位相均相同，非常類似于聲波，故將這種晶格振動稱為聲學波或聲學支。第20頁/共79頁光學波原子振動模型聲學波原子振動模型第21頁/共79頁aa2m2M112Mmaq2aM2am0q 00 1102Mm第22頁/共79頁l 當M=m時：單原子鏈 20mal 當 時：qa對光學波：0nnqaP原子靜止對聲學波：nnqa Q原子靜止l 當 時：Mm第23頁/共79頁三、

10、周期性邊界條件周期性邊界條件：nnN2qhNah =整數(shù)， N：晶體鏈的原胞數(shù)q的分布密度： .22NaLqconst1iNaqe 2qNa簡約區(qū)中q的取值總數(shù)晶體的原胞數(shù)晶格振動的格波總數(shù)2N晶體的自由度數(shù)推廣：若每個原胞中有s個原子，一維晶格振動有s個色散關(guān)系 式（s支格波），其中：1支聲學波,（s-1）支光學波。 晶格振動格波的總數(shù)sN晶體的自由度數(shù)。第24頁/共79頁3.3 三維晶格振動一、三維簡單晶格的振動123123Raaa第個原子的位矢:0lRl第25頁/共79頁在簡諧近似下，系統(tǒng)的勢能為（取平衡時U00）： ,21CU1, 2 , 1 , 0,3 , 2 , 1, N()和()

11、 是第和第個原子分別沿 和 方向的位移 ,02CUC力常數(shù)第26頁/共79頁第個原子的運動方程： , CUm這里考慮了晶體中所有原子的相互作用0,C ， 1，2，3晶體中各力常數(shù)之間并不全是獨立的，而必須滿足：第27頁/共79頁Rl-ll-lRl0RlRl Rlll晶格的周期性,0CCC 第28頁/共79頁設(shè)格波解： itA e q R帶入運動方程得：20mA ， 1，2，3iCe q RR其中第29頁/共79頁0233323123222211312211mmm久期方程可以解得 與q的三個關(guān)系式，對應(yīng)于三維情況沿三個方向的振動，即三支聲學波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對于復式晶格，若每個原胞中

12、有s個原子，由 運動方程可以解得3s個 與q的關(guān)系式（即色散 關(guān)系式），對應(yīng)于3s支格波，其中3支為聲學波 （一支縱波，兩支橫波），3(s1)支為光學波。第30頁/共79頁二、布里淵區(qū) itit ee jjjjjqqqqqqqqAAAARR ittiee jjqqqqqqqqR iteCieC jjqqqqqqqq R q qq qjj2 hqqqqR11上式對于任意時刻t和任意的格矢 都成立，有：R 對于第j支格波，設(shè)有兩個波矢 和 所描述的晶格振動狀態(tài)完全相同，有qq第31頁/共79頁由于2nhGR 為倒格矢，h為整數(shù)nG有 ，（由于 為任意倒格矢）n qqGnG即： jjnqGq 在 空

13、間中， 是以倒格矢 為周期的周期函數(shù)，仍可將波矢 限制在簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中nG jqqq第32頁/共79頁 將原點取在簡約區(qū)的中心，那么，在布里淵區(qū)邊界面上周期對應(yīng)的兩點間應(yīng)滿足關(guān)系： qqGqn22qGqn220 q GGnn12 GqGGnnn 布里淵區(qū)邊界面方程0nGqqnG第33頁/共79頁布里淵區(qū)的幾何作圖法：v 根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點陣，任取一 個倒格點為原點；布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平分面。v 由近到遠作各倒格矢的垂直平分面；v 在原點周圍圍成一個包含原點在內(nèi)的最小封閉體積， 即為簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)。簡約區(qū)就是倒易空間中的WignerSeitz原胞。第3

14、4頁/共79頁1222222333333 可以證明，每個布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積 b 。第35頁/共79頁第36頁/共79頁第37頁/共79頁正格子正格子 格常數(shù)格常數(shù) 倒格子倒格子 格常數(shù)格常數(shù)簡約區(qū)簡約區(qū)scasc由由6個個100面面圍成的立方體圍成的立方體bccafcc由由12個個110面面圍成的圍成的12面體面體fccabcc由由8個個111面和面和6個個100面圍成的面圍成的14面體面體4a4a2a第38頁/共79頁體心立方晶格的倒格子與簡約區(qū)第39頁/共79頁面心立方晶格的倒格子與簡約區(qū)第40頁/共79頁三、周期性邊界條件 設(shè)N1、N2和N

15、3分別為晶體沿三個基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N N1 N2 N3 周期性邊界條件：jjNRRa第j支格波： 1, 2, 3jjjjiittNee q Rq RaAA1iNe aq2Nhqah = 整數(shù)第41頁/共79頁令123231qbbb123231NN qabbba22Nh123312123hhhNNNqbbbh1 , h2 , h3整數(shù)2abhN 1, 2, 3第42頁/共79頁33312123188baNNNNNvVbbbVNva晶體體積38abv在 空間中，波矢 的分布密度： 3.8Vconstqqq簡約區(qū)中波矢 的取值總數(shù) 晶體的原胞數(shù)q bN q在 空間中，每一個

16、 的取值（狀態(tài)）所占的空間為：qq第43頁/共79頁簡單晶格：每個原胞中只有一個原子，每一個q的取值 對應(yīng)于三個聲學波（1個縱波，2個橫波）晶格振動格波的總數(shù)3N晶體的自由度數(shù)復式晶格：若每個原胞中有s個原子，每一個q的取值 對應(yīng)于3個聲學波和3(s-1)個光學波 晶格振動格波的總數(shù)33(s-1)N=3sN=晶體的自由度數(shù)晶格振動波矢的總數(shù)晶體的原胞數(shù)晶格振動格波的總數(shù)晶體的自由度數(shù) 第44頁/共79頁3.4 離子晶體的長光學波一、長光學波的宏觀運動方程 黃昆方程 以立方晶體為例，設(shè)每個原胞中只含一對帶等量電荷的正負離子，質(zhì)量分別為M和M 。Mav W 折合位移矢量M MMMM 折合質(zhì)量av：

17、原胞體積 和 ：正離子和負離子的位移 第45頁/共79頁11122122bbbb WWEP =WE黃昆方程第一個方程：決定離子相對振動的動力學方程第二個方程：極化方程可以證明：b12 = b21 ：宏觀極化強度； ：宏觀極化電場PE：離子相對位移引起的短程彈性恢復力：宏觀極化電場對離子的作用力11b W12bE第46頁/共79頁l 靜電場情況： 00 W1211bb WE21212222211bbbbb PWEE由靜電學： 000DEPE 2120221101bbbPEE 2122201101bbb 0 靜電介電常數(shù)；0 真空電容率第47頁/共79頁l 高頻電場情況： 0 W 2201b PE

18、 =E 2201b 高頻介電常數(shù) 2120110bb 1122122100220211001bbbb 0：橫長光學波的頻率第48頁/共79頁二、長光學波的橫波（TO）與縱波（LO）考慮帶電離子間的庫侖相互作用：橫波：T0 WT0 W縱波：L0 WL0 W靜電學方程：00 DEP0E無自由電荷111211bbb WWEW11TTb WW22011TOb 第49頁/共79頁00 DEPEP01222bb EWE122200bb WE =21211220LLbbb WW12220bb EW2LOL W1112bb WWE1222bb PWE第50頁/共79頁 211022120022001bbb 2

19、21211220LObbb 200 LOTO0 LST關(guān)系一般情況： 0LOTO第51頁/共79頁縱 波橫 波q第52頁/共79頁q第53頁/共79頁 離子晶體中長光學波產(chǎn)生極化電場，增加了縱波的 恢復力，從而提高了縱波的頻率。 極化電場的大小與正負離子的有效電荷q*有關(guān)。 222LOTOTO01 220TO12000b 可以用( LO2 TO2)來估算有效離子電荷的大小。第54頁/共79頁SiGaAs第55頁/共79頁NaI第56頁/共79頁三、離子晶體的光學性質(zhì)用黃昆方程討論離子晶體的光吸收，引入阻尼項：1112bb WWEW0取復數(shù)形式解：00expexpi ti t EEWW21112

20、bib WWE212122222211bbbbbi PWEE 00 DEPE由0弱阻尼情況：第57頁/共79頁 202200i 21222201111bbbi 12i 2220102222200 2202222200 吸收功率正比于介電常數(shù)的虛部 2，在 0處有一吸收峰。而在弱阻尼情況下（ ），當 10時， L 。0第58頁/共79頁NaClNaClKClCsClTlCl最大吸收波長最大吸收波長 ( m)61.170.7102.0117.0第59頁/共79頁四、極化激元（電磁激元 Polariton）考慮離子晶體長光學波與電磁波的耦合：000000tttt BHEDHEPDEPBHMaxwel

21、l方程組2111221222bbtbb WWEPWE唯象方程0j0第60頁/共79頁00021112122200000000000000bbbb 0qEHqHEPqEPq HWWEPWE(1)(2)(3)(4)(5)(6)設(shè)晶格振動是頻率為 ，波矢為 的平面波q0000expexpexpexpi ti ti ti t WWq rPPq rEEq rHHq r即第61頁/共79頁由(5)、(6)得2122221100bbbPE代入(3)21202221100bbb q Ev 對于縱波：00 q E212022211LO0bbb 22LO00 LST關(guān)系第62頁/共79頁v 對于橫波：00 q E

22、0qE由(4)00 q H0 qH00 EH000qEH 由(1)由(2)0000qHEP 2120220211bbEb 、 、 相互垂直，構(gòu)成右手系0 H0Eq第63頁/共79頁22120222011qbbb 2001c 222022200cq 2222222222200010042c qc qc q解得 橫波： 只與q的大小有關(guān)，而與q的方向無關(guān) 高頻支； 低頻支 縱波： Lconst.，與q無關(guān)第64頁/共79頁 cq 0cq L T 離子晶體的橫光學波與電磁波的耦合振動模稱為極化激元或電磁激元 (Polariton)，既具有機械振動的特性又具有電磁振動的特性。 L0cq 00qc 0c

23、q0q 第65頁/共79頁3.5 確定晶格振動譜的實驗方法 中子（或光子）與晶格的相互作用即中子（或光子）與晶體中聲子的相互作用。中子（或光子）受聲子的非彈性散射表現(xiàn)為中子（或光子）吸收或發(fā)射聲子的過程。 晶格振動譜可以利用中子、可見光光子或X光光子受晶格的非彈性散射來測定。第66頁/共79頁一、中子的非彈性散射（單聲子過程）中子的非彈性散射是確定晶格振動譜最有效的實驗方法 2221212122nnppEEMM qppqG“”：吸收聲子的散射過程， “”：發(fā)射聲子散射過程；E1和 （E2和 ） ：入射（出射）中子的能量與動量； 2 p1 pMn：中子質(zhì)量； ：倒格矢G第67頁/共79頁 qGq

24、22212122nnppMM pp有慢中子的能量：0.02 0.04 eV，與聲子的能量同數(shù)量級；中子的de Broglie波長：2 31010 m（2 3 ），與晶格常數(shù)同數(shù)量級，可直接準確地給出晶格振動譜的信息。中子的非彈性散射被廣泛地用于研究晶格振動譜。局限性：不適用于原子核對中子有強俘獲能力的情況第68頁/共79頁PbCu第69頁/共79頁SiGaAs第70頁/共79頁金剛石第71頁/共79頁二、可見光的非彈性散射發(fā)射或吸收光學聲子的散射稱為Raman散射發(fā)射或吸收聲學聲子的散射稱為Brillouin散射 2121 qkkqG能量守恒和準動量守恒（單聲子過程）： 和 1：入射光的波矢與頻率 和 2：散射光的波矢與頻率1