電磁感應一章習題答案

1、電磁感應一章習題答案O C D 習題111 如圖，矩形區(qū)域為均勻穩(wěn)恒磁場，半圓形閉合導線回路在紙面內(nèi)繞軸O作逆時針方向勻角速度旋轉(zhuǎn)，O點是圓心且恰好落在磁場的邊緣上，半圓形閉合導線完全在磁場外時開始計時。圖(A)(D)的t函數(shù)圖象中哪一條屬于半圓形閉合導線回路中產(chǎn)生的感應電動勢？習題111圖 t O (A) t O (B) t O (C) t O (D) 解：本題可以通過定性分析進行選擇。依題設，半圓形閉合導線回路作勻角速度旋轉(zhuǎn)，因此回路內(nèi)的磁通量變化率的大小是一個常量，但是其每轉(zhuǎn)動半周電動勢的方向改變一次。另一方面，若規(guī)定回路繞行的正方向為順時針的，則通過回路所圍面積的磁通量，當轉(zhuǎn)角從0到時

2、，由法拉第電磁感應定律，；當轉(zhuǎn)角從到時，由法拉第電磁感應定律，如此重復變化。因此，應該選擇答案(A)。a b c d M N 習題112圖 習題112 如圖所示，M、N為水平面內(nèi)兩根平行金屬導軌，ab與cd為垂直于導軌并可在其上自由滑動的兩根直裸導線。外磁場垂直水平面向上，當外力使ab向右平移時，cd (A) 不動。(B) 轉(zhuǎn)動。 (C) 向左移動。(D) 向右移動。解：ab向右平移時，由動生電動勢公式可以判斷出ab中的電動勢的方向是bacdb，因而在cd中產(chǎn)生的電流方向是cd，由安培力公式容易判斷出cd將受到向右的磁場力的作用，因此，cd也將向右移動。所以應選擇答案(D)。習題113 一閉合

3、正方形線圈放在均勻磁場中，繞通過其中心且與一邊平行的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸與磁場方向垂直，轉(zhuǎn)動角速度為，如圖所示。用下述哪一種方法可以使線圈中感應電流的幅值增加到原來的兩倍(導線的電阻不能忽略)？(A) 把線圈的匝數(shù)增加到原來的兩倍。(B) 把線圈的面積增加到原來的兩倍，而形狀不變。O 習題113圖 (C) 把線圈切割磁力線的兩條邊增長到原來的兩倍。(D) 把線圈的角速度增大到原來的兩倍。解：線圈中感應電流一般正比于感應電動勢而反比于其自身的電阻，因此，(A)、(B)、(C)三種方法盡管感應電動勢增加了，但線圈的電阻也隨之增加，因而不能達到同比例增加電流的目的。方法(D)僅使感應電動勢增加，而線圈的電

4、阻卻不增加，因此是可行的。所以選擇答案(D)。習題114 用導線圍成如圖所示的回路(以O點為心的圓，加一直徑)，放在軸線通過O點垂直于圖面的圓柱形均勻磁場中，如磁場方向垂直于圖面向里，其大小隨時間減少，則感應電流的流向為I1 I2 I3 O (A) I1 I1 O (B) I3 I1 (C) O I1 I1 (D) O 習題114圖 解：由于磁感應強度隨時間減少，所以回路里的感應電流方向應該是順時針的，因此答案(C)和(D)可以排除。在(A)和(B)兩個答案中我們可以把圓形回路(加一直徑)看成兩個半圓形閉合回路，這兩個半圓形回路以直徑為共用邊，顯然這兩個半圓形回路中的感應電流大小相等并且都是順

5、時針方向的，而在它們的共用邊(直徑)上因感應電流方向剛好相反而抵消，最終使直徑上電流為零，電流只在圓形閉合回路內(nèi)沿順時針方向流動。故只有答案(B)是正確的。a b l0 O 習題115圖 習題115 在圓柱形空間內(nèi)有一磁感應強度為的均勻磁場，如圖所示。且的大小以速率dB/dt變化。有一長度為l0的金屬棒先后放在磁場的兩個不同位置1(ab)和2()，棒在這兩個位置時棒內(nèi)的感應電動勢的大小關系為(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。解：我們可以考慮兩個三角形閉合回路abO和，若設它們所圍成的面積分別為S和，則有S<。因為棒上的感應電動勢的大小與三角形閉合回路的面積成正比，因此有，所以應該選

6、擇答案(B)。習題116 如圖所示，一半徑為r的很小的金屬圓環(huán)，在初始時刻與一半徑為a(a>>r)的大金屬圓環(huán)共面且同心。在大圓環(huán)中通以恒定的電流I ，方向如圖。如果小圓環(huán)以勻角速度繞其任一方向的直徑轉(zhuǎn)動，并設小圓環(huán)的電阻為R，則任一時刻t通過小圓環(huán)的磁通量；小圓環(huán)中的感應電流。a r I 習題116圖 解：設任一時刻t小圓環(huán)的法線方向與大圓環(huán)中心處的磁感應強度方向夾角為，由于初始時刻，因而。另外，由于a>>r，可以認為小圓環(huán)處的由大圓環(huán)電流產(chǎn)生的磁場是均勻的，且等于大圓環(huán)中心處的磁感應強度，即的方向垂直于紙面向外。任一時刻t通過小圓環(huán)的磁通量為小圓環(huán)中的感應電動勢為小

7、圓環(huán)中的感應電流為A C x 習題117圖習題117 在圖示的電路中，導線AC在固定導線上向上平移。設AC=5cm，均勻磁場隨時間的變化率，某一時刻導線AC的速度v0=2m/s，B=0.5T，x=10cm，則這時動生電動勢的大小為 ，總感應電動勢的大小為。以后動生電動勢的大小隨著AC的運動而。解法：由于AC的運動切割磁力線而產(chǎn)生的動生電動勢為，方向“”；由于磁場變化而產(chǎn)生的感生電動勢為方向“”；所以，回路總電動勢為方向“”。由于感應電動勢而在回路里激起感應電流，因而使AC受到與速度方向相反的安培力的作用而減速，從而使減少；與此同時，磁感應強度B也在隨時間而下降，也使減少?？傊?，動生電動勢的大小

8、將隨著AC的運動而減少。解法：t時刻通過回路的磁通量為顯然，上式右端第一項為感生電動勢，第二項為動生電動勢。當x=10cm，v=v0=2m/s時，可得這里總電動勢為負值，表明其方向是逆時針的。計算結果說明動生電動勢的大小為50mV。X Y O 習題118圖 習題118 如圖，aOc為一折成形的金屬導線(aO=Oc=L)，位于XY平面中；磁感應強度為的均勻磁場垂直于XY平面。當aOc以速度沿X軸正向運動時，導線上ac兩點間電勢差Uac= ；當aOc以速度沿Y軸正向運動時，a、c兩點中是點電勢高。解：當aOc以速度沿X軸正向運動時，aO上的動生電動勢為電動勢的方向為Oa，所以UO<Ua；又因

9、為UO=Uc，所以Uc<Ua，因此有當aOc以速度沿Y軸正向運動時，可得將上兩式相減可得因此有a b 30° 30° r O c 習題119圖 d 習題119 在垂直圖面的圓柱形空間內(nèi)有一隨時間均勻變化(dB/dt=K>0)的均勻磁場，其磁感應強度的方向垂直圖面向里。在圖面內(nèi)有兩條相交于O點夾角為60°的直導線Oa和Ob，而O點則是圓柱形空間的軸線與圖面的交點。此外在圖面內(nèi)另有一半徑為r的半圓環(huán)形導線在上述兩條直線上以速度勻速滑動。的方向與aOb的平分線一致，并指向O點(如圖)。在時刻t，半圓環(huán)的圓心正好與O點重合，求此時半圓環(huán)導線與兩條直線所圍成的閉

10、合回路cOdc中的感應電動勢。解：閉合回路cOdc中的感應電動勢，由動生和感生兩部分組成，即方向“”(等效于直導線的動生電動勢) 方向為逆時針的若，則為順時針方向的；若，則為逆時針方向的。r A N S 習題1110圖 習題1110 如圖所示，在馬蹄形磁鐵的中間A點處放置一半徑r =1cm、匝數(shù)N=10匝的線圈，今將此線圈移到足夠遠處，在這期間若線圈中流過的總電量為，試求A點處磁感應強度是多少？(已知線圈電阻R=10，自感忽略不計)解：設A點處磁感應強度為B，易知離磁鐵足夠遠處的磁感應強度為B0，由感應電量公式可得解得R X r I x O 習題1111圖 習題1111 兩個半徑分別為R和r的

11、同軸圓形線圈相距x，且R>>r，x>>R。若大線圈通有電流I而小線圈沿X軸方向以速率v運動，試求x=NR時(N為正數(shù))小線圈回路中產(chǎn)生的感應電動勢的大小。解：由于R>>r，x>>R，由大線圈中的電流I在小線圈處產(chǎn)生的磁場可以視為均勻場，其大小為因此，穿過小線圈的磁通量為由于小線圈的運動，在小線圈中產(chǎn)生的感應電動勢為當x=NR時，小線圈回路內(nèi)的感應電動勢為 a a b C D I I 習題1112圖 習題1112 兩相互平行無限長的直導線載有大小相等方向相反的電流，長度為b的金屬桿CD與兩導線共面且垂直，相對位置如圖。CD桿以速度平行于直線電流運動

12、，求CD桿中的感應電動勢，并判斷C、D兩端哪端電勢高？解：建立圖示坐標系，X軸水平向右，原點O在左邊直導線處。在CD桿上任一點x處、由兩平行無限長的直電流產(chǎn)生的磁感應強度(規(guī)定垂直于紙面向外為正)為在CD上x處取線元，其方向CD，即。在該線元的元電動勢為整個CD桿中的感應電動勢為的方向CD，因此，D端電勢高。注意：為了判斷某導體動生電動勢的方向，我們應當先在其上取一線元并規(guī)定該線元的方向。若最終計算出來的動生電動勢>0，則說明的方向與我們所取線元的方向相同；反之，若<0，則說明的方向與我們所取線元的方向相反。 a l A B I 習題1113圖習題1113 如圖，一長直導線中通有電

13、流I，有一垂直于導線、長度為l的金屬棒AB在包含導線的平面內(nèi)，以恒定的速度沿與棒成角的方向移動。開始時，棒的A端到導線的距離為a，求任一時刻金屬棒中的動生電動勢，并指出棒哪端電勢高。解：在任一時刻t，金屬棒的A端距長直導線為這時在棒上任取一線元，其方向AB，該線元距長直導線為l，線元的元電動勢為整個AB棒中的動生電動勢為由于<0，所以的方向BA，A點電勢高。注意：電動勢具有瞬時性，作題時一定要明確所求的電動勢是哪一時刻的。習題1114 均勻磁場被限制在半徑R=10cm的無限長圓柱空間內(nèi)，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如圖所示。

14、設磁場以的勻速率增加，已知，Oa=Ob=6cm，求等腰梯形回路中感生電動勢的大小和方向。R a b c d 習題1114圖 解：取等腰梯形回路的環(huán)繞方向為順時針的，即等腰梯形回路所圍成的面積的法向與方向相同。通過該回路所圍成的面積的磁通量為根據(jù)法拉第電磁感應定律，等腰梯形回路中的感生電動勢為該結果說明，回路中的感生電動勢的大小為3.67mV；由于<0，所以回路中感生電動勢的方向是逆時針的。注意：事先假設回路的繞行方向有兩個方面的意義：一是規(guī)定回路所圍成面積的法向，以便正確計算通過該回路所圍成面積磁通量；二是為判定回路中的感生電動勢的方向提供參照：若最終算出的感生電動勢>0，則說明的

15、方向與原來假設的回路繞行方向相同；反之，若<0，則說明的方向與原來假設的回路繞行方向相反。以上兩條是應用法拉第電磁感應定律計算必要前提。a b l I 習題1115圖 習題1115 一無限長直導線通有電流。一矩形線圈與長直導線共面放置，其長邊與導線平行，位置如圖所示。求：(1) 矩形線圈中的感應電動勢的大小及感應電流的方向；(2) 導線與線圈的互感系數(shù)。解：(1) 設矩形線圈回路的繞行方向為順時針的。在線圈內(nèi)距長直導線為x處取寬度為dx、長度為l的矩形窄條面積，則通過該窄條面積的元磁通量為 通過整個矩形線圈的磁通量為所以，矩形線圈中的感應電動勢為 因為>0，所以該結果就是矩形線圈中

16、感應電動勢的大??；并且仍然因為>0，該感應電動勢的方向為順時針的，相應的感應電流亦為順時針方向的。 (2) 根據(jù)定義，導線與線圈的互感系數(shù)為注意：在計算磁通量時，我們只對空間進行積分運算。由于電流I(t)只是時間t的函數(shù)，與空間無關，所以完全可以把它作為常數(shù)而從積分號內(nèi)提出來。a b c d l，m 習題1116圖 習題1116 如圖，在鉛直面內(nèi)有一矩形導體回路abcd置于均勻磁場中，的方向垂直于回路平面。abcd回路中的ab邊的長為L，質(zhì)量為m，可以在保持良好接觸的情況下下滑，且摩擦力不計。ab邊的初速度為零，回路的電阻集中在ab邊中。(1) 求任一時刻ab邊的速率v和t的關系；(2)

17、 設兩豎直邊足夠長，最后達到穩(wěn)定的速率為若干？解：(1) 設任一時刻t，ab邊的速率為v，這時ab邊所受的外力除了其自身的重力外，還有磁場力，因此，根據(jù)牛頓第二運動定律我們有 式中I為由于ab邊運動切割磁力線而在回路中產(chǎn)生的感應電流。其大小為把代入可得把上式進行分離變量并積分得 這就是任一時刻ab邊的速率v和t的關系。 (2) 當t足夠大，相當于t，則有這就是ab邊最后達到穩(wěn)定的速率。L/5 O1 O2 O a b 習題1117圖 習題1117 如圖所示，一根長為L的金屬細桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。O1O2在離細桿a端L/5處。若已知地磁場在豎直方向的分量為B。求ab兩端的

18、電勢差。解：在細桿上距O點為l處取線元dl，方向ab，其上產(chǎn)生的元電動勢為細桿上的總電動勢，說明細桿上的總電動勢的方向為ab，即 Ua<Ub，因此，ab兩端的電勢差為a b c I=I0sint 習題1118圖 習題1118 一無限長直導線通以電流，和直導線在同一平面內(nèi)有一矩形線框，其短邊與直導線平行，線框的尺寸及位置如右圖所示，且b/c=3。求：(1) 直導線和線框的互感系數(shù)；(2) 線框中的互感電動勢。解；(1) 設矩形線框回路的繞行方向為順時針的，則線框回路所圍面積的法向垂直紙面向里。在距長直導線為r處取寬度為dr、長度為a的窄條面元dS，通過其元磁通量為式中為面元法向(垂直紙面向

19、里)與磁感應強度方向間的夾角。通過整個線框回路所圍面積的磁通量為因此，直導線和線框的互感系數(shù)(2) 根據(jù)互感電動勢公式可得線框中的互感電動勢為此電動勢是交變電動勢，其大小和方向都隨時間作周期性變化。注意：先規(guī)定某一回路所圍面積的法向，是正確計算通過該面積磁通量所必需的步驟，特別是在回路面積內(nèi)的磁場方向不盡相同時，這樣作更為必要。對兩個載流體系，若能算出它們之間的互感系數(shù)，則可以應用互感電動勢公式求出其中某一個體系內(nèi)的電動勢，這也是一種常見的方法。I l b 習題1119圖 習題1119 一無限長載有電流I的直導線旁邊有一與之共面的矩形線圈，線圈的邊長分別為l和b，l邊與直導線平行。線圈以速度垂

20、直離開直導線，如圖所示。求當矩形線圈與無限長直導線間的互感系數(shù)時，線圈的位置及此時線圈內(nèi)的感應電動勢的大小。解：設任一時刻t矩形線圈的左邊距無限長直導線為x ，在線圈內(nèi)、距無限長直導線為r處取寬度為dr、長度為l 的窄條面元dS，這時通過該面元的元磁通為通過整個矩形線圈所圍面積的磁通量為此時矩形線圈與無限長直導線間的互感系數(shù)為令此互感系數(shù)為 則有解得 在任一位置x處，矩形線圈內(nèi)的感應電動勢為把代入上式可得注意：在此題中長直導線與矩形線圈間的互感系數(shù)M不是常數(shù)，而是矩形線圈位置x(因而是時間t)的函數(shù)，所以在第二步求互感電動勢時對互感系數(shù)M也要求導。a R O 習題1120圖 習題1120 在半

21、徑為R的圓柱形空間內(nèi)，充滿磁感應強度為的均勻磁場，的方向與圓柱的軸平行。有一無限長直導線在垂直于圓柱中心軸線的平面內(nèi)，兩線相距為a，a>R，如圖所示。已知磁感應強度隨時間的變化率為，求長直導線中的感應電動勢并討論其方向。解法：在垂直于圓柱中心軸線的平面內(nèi)，取一平行于題給無限長直導線的另一根無限長直導線，它在圓柱形空間上方、距圓柱中心軸線也是a。設這兩條無限長直導線在無限遠處相連并形成閉合回路L，該回路L的繞行方向為順時針的，因而其法向垂直紙面向里。根據(jù)法拉第電磁感應定律，回路L內(nèi)的感應電動勢為原題給無限長直導線中的感應電動勢應當為整個回路L內(nèi)的感應電動勢之一半，即此感應電動勢的大小為對該

22、感應電動勢的方向討論如下：當時，這時因整個L回路的感應電動勢是逆時針的，因此的方向是自左向右的；當時，這時因整個L回路的感應電動勢是順時針的，因此的方向是自右向左的。解法：如圖所示，取O到無限長直導線的垂直線之交點坐標軸原點，在無限長直導線上距為l處取線元，其方向自左向右；同時假設圓柱形空間內(nèi)的磁場是隨時間增加的，即，線元處的渦旋電場與的夾角為，根據(jù)感生電動勢的定義可得線元上的電動勢為由于，及所以因此，長直導線中的感應電動勢為顯然，該感應電動勢的大小為其方向討論如下：當時，方向與線元方向相同，是自左向右的；反之，當時，方向與線元方向相反，是自右向左的。注意：在解法中用渦旋電場積分求電動勢的前提是渦旋電場的分布為已知。在的正負未知的情況下，事先假定，可以給計算帶來方便。習題1121 截面為矩形的螺繞環(huán)共N匝，尺寸如圖所示。圖下部兩矩形表示螺繞環(huán)的截面。在螺繞環(huán)的軸線上另有一無限長直導線。a b h 習題1121圖 (1) 求螺繞環(huán)的自感系數(shù)；(2) 求長直導線和螺繞環(huán)的互感系數(shù)；(3