第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

1、第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)n內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；n教學(xué)要求教學(xué)要求1. 會(huì)求函數(shù)的會(huì)求函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)一階二階導(dǎo)數(shù)和簡單函數(shù)的和簡單函數(shù)的n階階導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；2. 掌握抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法。掌握抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法。一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度. .( ),sf t ( )( )( ) .a tv tft定義定義: : 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 設(shè)設(shè)( )( )v tft 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度因?yàn)榧铀俣仁撬俣纫驗(yàn)榧铀俣仁撬俣葀對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t的變化率的變化率0()( )( )limxfxxfxfxx 如果函數(shù)

2、如果函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即( )fx 存在，則稱存在，則稱 為函數(shù)為函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處的處的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)( )fx記作記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)2222( )( ),.d y d f xfxydxdx33( ),.d yfxydx4(4)(4)4( ),.d yfxydx一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) f(x) 的的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) f(x)的的 n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)( )(

3、 )( )( ),.nnnnnnd y d f xfxydxdx特別的，特別的，f(x) 稱為稱為零階導(dǎo)數(shù)零階導(dǎo)數(shù)， 稱為稱為一一階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)( )fx 二、二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例解解211yx 21()1yx 222(1)xx 0222(0)(1)xxfx 0; 1.直接法直接法: 由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例例1 設(shè)設(shè) 求求arctan ,yx (0)f 練習(xí)練習(xí)y 求求(2 )cosnnyxenx 設(shè)設(shè)n為常數(shù)，函數(shù)為常數(shù)，函數(shù)1(2 )2sinnynxnx n 解解224 (1)(2 )cosnyn nxnx n 例例2 設(shè)設(shè) 求求

4、解解1yx 1()yx 2(1)x 3(1)(2)x 2( (1)yx ( )(1)(1)(1)nnynxn 則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n ( )( )()nnnyx !,n (1)( !)nyn 0. (),yxr ( ).ny解解注意注意:11yx 21(1)yx 32!(1)yx (4)43!(1)yx ( )1(1)!( 1)(1, 0!1)(1)nnnnynx 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)例例3 設(shè)設(shè) 求求 ln(1),yx( ).ny例例4

5、求求xysin=的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)解解 同理同理 得得xycos 2sin x 2sin xy 2cos x 22sin x 22sin xy 22cos x 23sin x )()(sinnnxy 2sin nx 2coscos)( nxxn例例5 已知函數(shù)已知函數(shù)967523 xxxy)4(yy 和和求求 解解 967523xxxy627352 xx 627352xxy127235 x 127235xy1235 ! 35 ! 35)4(y0 一般地，一般地，nnnnaxaxaxay 1110則則 )(ny!0na0)1( ny這表明這表明,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo), 當(dāng)導(dǎo)數(shù)的當(dāng)導(dǎo)數(shù)

6、的階數(shù)與多項(xiàng)式的次數(shù)相等時(shí)階數(shù)與多項(xiàng)式的次數(shù)相等時(shí),其導(dǎo)數(shù)結(jié)果等其導(dǎo)數(shù)結(jié)果等于最高次的系數(shù)乘以次數(shù)的階乘于最高次的系數(shù)乘以次數(shù)的階乘,當(dāng)導(dǎo)數(shù)的當(dāng)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)大于多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)階數(shù)大于多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí),其導(dǎo)數(shù)結(jié)果等于零。其導(dǎo)數(shù)結(jié)果等于零。 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則2.間接法間接法:常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)

7、(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:( )( )( )(1)()nnnuvuv( )( )(2)()nncucu ( )( )(1)(2)()( )( )()( )0(1)(3)()2!(1)(1)!nnnnn kknnkn kknkn nu vuvnuvuvn nnkuvuvkc uv 萊布尼茲公式萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u和和v具有具有n階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則例例6 設(shè)設(shè) 求求 (20)2(20)22(19)22(18)2()20()()20(201)()()02!xxxyexexex 2022192182220 2220 19222!xxxexexe 20222(2095)xexx22,xyx e (20).y解解 設(shè)設(shè)22,xuevx則由萊布尼茨公式知?jiǎng)t由萊布尼茨公式知高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)