2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題正態(tài)分布理

1、借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求值例設(shè)服從N(0,1)，求下列各式的值：(1)P( 2.35);(2)P( 1.24);(3)P(1-54)-分析：因?yàn)橛脧臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可以借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值.但由于表中只列出X 0,P(x°)(xo)的情形，故需要轉(zhuǎn)化成小于非負(fù)值x。的概率，公式:(X) 1(x);P(ab)(b)(a);和 P( x。)1 P(x。)有其用武之地解:(1)P( 2.35)1P(2.35)1(2.35)1 0.99060.0094;(2)P(1.24)(1.24)1(1.24)1 0.89250.1075;(3)P(1.54) P(1.541.54)(1.54

2、)( 1.54)(1.54) 1(1.54)2 (1.54) 10.8764.P( 3.5)解: (1)3.5 1.5(1)0.8413;P( 4)4 1.5(2.75)1(2.75)0.0030;例設(shè)2服從N(1.5,2 )試求：(1)P(3.5);(2)P(4);(3)P(2);(4) P(3).分析:首先，應(yīng)將一般正態(tài)分布N(1.5,2)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用結(jié)論：若N(,N(0,1)P( x)x,則由知：其后再轉(zhuǎn)化為非負(fù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情況的說明：要制表提供查閱是為了方便得出結(jié)果，但標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表如此簡練的目的，并沒有給 查閱造成不便相反其簡捷的效果更突出了核心內(nèi)容左邊的幾個(gè)公式都應(yīng)在理

3、解的基礎(chǔ)上 記住它，并學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用.求服從一般正態(tài)分布的概率表達(dá)式，通過查表獲得結(jié)果.2)22(2)P( 2)1 P( 2)12 1.51(0.25)0.4013;(3)P(4)3) P(2) 1(0.75)(2.25)0.77340.7734(1 0.9878)0.76123 1.523 1.5"2說明：這里，1(2.25)2般正態(tài)分布 N(，)，總體小于x的概率值F(x)與P(x)和P( x) F(x)樣的表述，即:服從正態(tài)分布的材料強(qiáng)度的概率例 已知：從某批材料中任取一件時(shí)，取得的這件材料強(qiáng)度服從N(200，18 )(1) 計(jì)算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率.(2) 如

4、果所用的材料要求以 99%的概率保證強(qiáng)度不低于150，問這批材料是否符合這個(gè)要求. 分析：這是一個(gè)實(shí)問題，只要通過數(shù)學(xué)建模，就可以知道其本質(zhì)就是一個(gè)“正態(tài)分布下求隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率”的問題；本題的第二問是一個(gè)逆向式問法，只要把握實(shí)質(zhì) 反向求值即可.P( 180)1 P( 180)1解: (1)118(1.11) 1 1 (1.11)(1.11) 0.8665;(2)可以先求出：這批材料中任取一件時(shí)強(qiáng)度都不低于150的概率為多少，拿這個(gè)結(jié)果與99%進(jìn)行比較大小，從而得出結(jié)論.P( 150)1 P( 150) 1150 20018(2.78)1 1(2.78)(2.78)0.9973;

5、即從這批材料中任取一件時(shí)，強(qiáng)度保證不低于150的概率為99.73%> 99%，所以這批材料符合所提要求.說明：“不低于”的含義即在表達(dá)式中為“大于或等于”.轉(zhuǎn)化“小于”后，仍須再轉(zhuǎn)化為非負(fù)值的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表達(dá)式，從而才可查表.公共汽車門的高度例 若公共汽車門的高度 是按照保證成年男 子與車門頂部碰頭的概率在1 %以下設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N(175,36)(單位：cm)，則該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？分析：實(shí)際應(yīng)用問題，分析可知：求的是門的最低高度，可設(shè)其為x(cm)，使其總體在不低，從中解出x的范圍.xcm，則根據(jù)題意可知：P( x) 1%，由于于X的概率值小于1 %，即

6、：P( x) 0.011%解：設(shè)該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)高為 N(175,36)P( x) 1 P( x) 1所以，x 17560.01;也即:x 17560.99;通過查表可知:x 17562.33;解得：x 188.98;即該地公共汽車門至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189cm高.說明：逆向思維和逆向查表 ，體現(xiàn)解決問題的靈活性關(guān)鍵是理解題意和找出正確的數(shù) 學(xué)表達(dá)式.學(xué)生成績的正態(tài)分布例 某班有48名同學(xué)，一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)差為10,問從理論上講在80分至90分之間有多少人？分析：要求80分至90分之間的人數(shù)，只要算出分?jǐn)?shù)落在這個(gè)范圍內(nèi)的概率，然后乘以總?cè)?數(shù)即可，而計(jì)算 這個(gè)概率，需要查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表， 所以應(yīng)首先把這個(gè)正態(tài)總體化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體.解：設(shè)x表示這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績，則x服從 N(80,1°2)7x 80Z設(shè)10 則z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)查標(biāo)準(zhǔn)一正態(tài)分布表，得：(1)0.8413,(0)0.5000所以，80 80 x 809080p(80x 90) p()p(0 z 1)(1)(0)0.8413 0