通項(xiàng)公式及其求和方法歸納

1、通項(xiàng)公式及其求和方法歸納【遞推公式求通項(xiàng)式】已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見(jiàn)的題型，這類題 型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的 技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問(wèn)題的通法，本 文就高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老 師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧。一、ani an f(n)型數(shù)列，(其中f(n)不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為ani an f(n)，從而就有a2 ai f (1), a3 a? f (2), K , a. a. i f (n 1)

2、.將上述n 1個(gè)式子累加，變成an ai f (1) f(2) K f (n 1)，進(jìn)而求解。 例 1.在數(shù)列a.中,a1 2,an 1 an 2n 1,求an.類似題型練習(xí)：已知an滿足ai小小1an 1 an-、1，n(n 1)求an的通項(xiàng)公式ani an f(n)型數(shù)列，(其中f(n)不是常值函數(shù))an 1an此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為f (n)，從而就有a3a2將上述n 1個(gè)式子累乘，變成色ai例2.已知數(shù)列an中ai丄，an3f(1),更 f(2), K K ,旦-an 1f(1)2n 32n 1f(n1)f(2) Kan i(nf(n1)，進(jìn)而求解。2)，求

3、數(shù)列an的通項(xiàng)公式。精選類似題型練習(xí)：在數(shù)列an中,an >0, ai2,n a“2(n1)ani2an咼，求an.提示：依題意分解因式可得(n 1)an i nan(ani務(wù))0,而an >0,所以(n 1)an i nan 0，即 。ann i三、an i pan q型數(shù)列此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)ani m p(an m)展開(kāi)整理an i pan pm m，比較系數(shù)有pm man 是等比數(shù)列，公比為P，首項(xiàng)為 p ian i pan q ， an pan i公比為p的等比數(shù)列。例3.在

4、數(shù)列an中，aiq，兩式相減有b aiP ian i anb，所以m ，所以P i二是用做差法直接構(gòu)造,p(an an i)，所以 an i an是i，當(dāng)n 2時(shí)，有an3an i 2，求an的通項(xiàng)公類似題型練習(xí)：已知數(shù)列an 滿足 ai i,an i 2an i(n N ).求數(shù)列 a“ 的 通項(xiàng)公式.四.an 1 pan 1n型數(shù)列（p為常數(shù)）此類數(shù)列可變形為勺1勺fnn1，則勺可用累加法求出，由此求得PPPPan -例4已知數(shù)列an滿足 a11,an 1 3an 2n 1,求 an.1例5.已知數(shù)列an滿足ai 1當(dāng)n 2時(shí),a. -an 1 2n 1,求2類似題型練習(xí)：（1）已知 an

5、 滿足 a12,an1 2a.2n 1，求 an。（2） 已知數(shù)列an , Sn表示其前n項(xiàng)和，若滿足Sn an n2 3n 1，求數(shù) 列an的通項(xiàng)公式。提示：（2）中利用anSSnn 1Sn 1, n2,把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式Aanan ""-五、 Ban C型數(shù)列（A,B,C為非零常數(shù)）這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù)，把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列，便可順利地轉(zhuǎn)化為an 1 pan q型數(shù)列。例6.已知數(shù)列an滿足a1 2,am公匚，求 .an 2類似題型練習(xí)：數(shù)列an中，an 12n 1 a八嚴(yán)2，求a"的通項(xiàng)類似題型練習(xí)：已知數(shù)列an滿足,2,an+

6、2=乩嚴(yán)2構(gòu)造等比數(shù)2，求 an.六.an 2 pan 1 qan型數(shù)列(p, q為常數(shù))這種類型的做法是用待定糸數(shù)法設(shè)an 2 am am an列。例 7.數(shù)列 an 中，ai 2,a2 3,且 2an an 1 an 1 n N ,n令bn an1 an，證明：bn是等比數(shù)列;(n)求aJ的通項(xiàng)公式數(shù)列通項(xiàng)求法2r七、對(duì)數(shù)變換法適用于an 1pan(其中p,r為常數(shù))型p>0 ，an 0設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1,an 2an 1 (n>2).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.an2n 1 122 1數(shù)列an中,2 22 n答案：an 2練習(xí)1 an2Wn1 (n>2),求數(shù)列an的通項(xiàng)

7、公式.2、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列例已知數(shù)列an滿足a11,ana12a2 3as L (n 1応 1(n 2)，求an的通項(xiàng)公式。八：形如an 1a an bc an d分析：遞歸函數(shù)為f(x)c(1)若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x dp,q時(shí),將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p,q ,將兩式相除得an 1an 1kJ ,其中k z ,an qa qcanq pq)kn 1 佝 p pq) p)kn 1 佝 q)(2)若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn) p,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p,然后用1除,an 1 pk，其中kan p2ca d例設(shè)數(shù)列an滿足a12,an14'求數(shù)列的通項(xiàng)公式-4 3n 124 3n 1

8、1 .例 已知數(shù)列an滿足an 121a24亠一,a1 4，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4an 1練習(xí)1:已知an滿足a12, an也二(n 2)，求an的通項(xiàng)an2an i 1答案：3n ( 1)n an3n ( 丫0練習(xí)2已知數(shù)列a.滿足ai2, an 12an 1(n N*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)a4a n 6答案:13 5nan 10n 6數(shù)列求和一、利用常用求和公式求和等差數(shù)列求和公式:Snn(aian)2nain(n 1)d2(q 1)2、等比數(shù)列求和公式:Sna1 (1nq )qanqOh1 q(q 1)Snk 11k n(n 1)、Snk2k 11n(n 1)(2 n 1)6二、錯(cuò)位相減

9、法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 nbn的前n項(xiàng)和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a n 例3求和:Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 xn 1 的通項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn (設(shè)制錯(cuò)位)一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn(錯(cuò)位相減)1 n 1再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)x

10、n (1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2,_4篤，算 前n項(xiàng)的和.2 2 2 2 3 2 nn 22n i練習(xí)：求：S=1+5x+9x2+(4n -3)xn-1三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)(ai an).例 5求證：C0 3C； 5C2(2n1)C； (n 1)2n證明：設(shè) Sn C0 3c： 5C2(2n 1)C；.把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn(2n 1)C； (2n 1)C： 13c： C：(反序)又由cm C：m可得Sn(2n 1)C0(2n1)C：3C； 1C；. + 得2Sn (2n2)

11、(C0 C1C： 1C：)2(n 1) 2n(反序相加)Sn (n 1) 2n例 6求 sin21sin2 2 sin2 3sin2 88 sin2 89 的值例 12 求 cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可 分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1 1,1 4,4 7,，訃3n 2，a aa1 1 1 1練習(xí)：求數(shù)列12,24,38,?,(

12、n 2?),?的前n項(xiàng)和。五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如：ann(n 1) n n 11例9 求數(shù)列,1V2 J2,的前n項(xiàng)和.1例10在數(shù)列an中，an1，又 bn22，求數(shù)列b nan an 1的前n項(xiàng)的和.練習(xí)例1:求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和:(3)1,2,8，V1 1 1_91 5'3 7'5(2n 1) (2n3)1 1(5)1,1 2,1 24l,(1212* 11 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若 an2.an的通項(xiàng)an，則 S100一 n 1 一 n3.數(shù)列an滿足:an ( 2)n 2n 1,求前 n 項(xiàng)和 Sn4、若函數(shù)X1f (x),求 f(1) f(2) L f(2008)f(1 x2001f(20o7 Lf(1) ?5. 10029929