數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要知識(shí)點(diǎn) 一.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布 (一)統(tǒng)計(jì)量的概念1.統(tǒng)計(jì)量的定義： 簡(jiǎn)單地說，統(tǒng)計(jì)量就是樣本xi的函數(shù)，它除xi外不含其它未知參數(shù)。2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從總體中抽取樣本,若它們相互獨(dú)立同分布,且分布與總體3.相同, 常見的統(tǒng)計(jì)量：則稱其為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。(1)樣本均值：xnxi(2)樣本方差：S2nxii 1(3)樣本k階原點(diǎn)距:aknkxii 1(4)樣本k階中心距:bk1 n一 xi n i 13(二)抽樣分布的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)1 .2分布：若X1X2,X n是來自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，且0,1,則隨機(jī)變量2 = X12X2X :,此時(shí)稱其分布為自由度為 n的2分布，記性質(zhì)：E 2

2、2n2. F分布：若X 22 ,n , Y m ,且X與Y相互獨(dú)立，記隨機(jī)變量X nY mF,稱其分布為自由度為n與m的F分布，記F F n, m性質(zhì)：F n, m1F1 m, n3. t分布:設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且XN 0,1 , Y 2 n ,則稱tX 的分布為自由度為 n的Ynt分布，記tt n性質(zhì)：自由度為1的t分布是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在;n 1時(shí)，t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為 0；n 1時(shí)，t分布的方差存在且為n 2當(dāng)自由度較大時(shí)，t分布可以用N 0,1近似。參數(shù)估計(jì):（一）點(diǎn)估計(jì):1 .矩估計(jì)：（替換原理）一般地：用樣本均值估計(jì)總體均值；即E X X1n - 2用樣本二

3、階中心矩估計(jì)總體方差；D X s2 -xi xn i i用事件A出現(xiàn)的頻率估計(jì)事件 A發(fā)生的概率。2 .極大似然估計(jì)：若總體的概率函數(shù)為f X,）,求極大似然估計(jì)的基本思路:寫出極大似然函數(shù) L f x1,f x2,f xn,取對(duì)數(shù)（此步驟僅為簡(jiǎn)化求導(dǎo)計(jì)算）求導(dǎo)數(shù)，并令其為 0,求出估計(jì)值 ？性質(zhì)：若？是 的極大似然估計(jì)，則對(duì)任一函數(shù)g ,其極大似然估計(jì)為 g ?3 .點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：相合性：若lim P ?0則稱？是 的相合估計(jì)。n備注：一般計(jì)算時(shí)，只要lim E ?, lim D ?0,則？就是 的相合估計(jì)nn無偏性:若E ? ，則？就是 的無偏估計(jì)。若止態(tài)總體N2,1.已知時(shí)，的置信度

4、1的置信區(qū)間為：2.未知時(shí)，的置信度1的置信區(qū)間為:3.未知時(shí)，2的置信度1的置信區(qū)間為有效性：若？，？2都是 的估計(jì)值，只要D ?1D ?2 ,則稱？比？2有效（二）區(qū)間估計(jì) （單個(gè)正態(tài)總體下，參數(shù)的置信區(qū)間）X u , X u.n 2' n 2一 ss .,x tn 1 , x t n 1' n 'n in 1 s2(n 1)s22,2(n 1)1(n 1)1 22三.假設(shè)檢驗(yàn)：（1） 概念：1 .檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2 .拒絕域3 .顯著性水平，臨界值。4 .兩種錯(cuò)誤：第一種錯(cuò)誤：拒真，記 P犯第一種錯(cuò)誤 =P拒絕H0H0成立 其中 是顯著性水平。第二種錯(cuò)誤：取偽，記 P犯第一種錯(cuò)誤 =p接收H 0 H 0不成立注意：當(dāng)樣本容量 n一定時(shí)，一類錯(cuò)誤的概率減少將導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤的概率增加（2） 假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：1 .根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè) H 0以及備擇假設(shè)H 12 .選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3 .選取適當(dāng)?shù)娘@著性水平，求得對(duì)原假設(shè) H 0的拒絕域 W4 .根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，若落入W ,則H0不真，拒絕H 0,接受備擇假設(shè)H1 ,否則接受H（三）單個(gè)正態(tài)總體下，參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1. U-檢驗(yàn)：已知時(shí)，的檢驗(yàn):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:拒絕域：W , u u222. t-檢驗(yàn)：未知時(shí)，的檢驗(yàn)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t拒絕域：W ,