斐波那契數(shù)列通項公式的推導方法

1、利用轉化思想利用轉化思想求斐波那契數(shù)列的通項公式求斐波那契數(shù)列的通項公式象山縣第三中學 謝剛偉一、與斐波那契有關的事實 1、斐波那契和、斐波那契和“兔子問題兔子問題” 意大利數(shù)學家意大利數(shù)學家(約約1170-約約1250年年)，12、13世世紀歐洲數(shù)學界的代表人紀歐洲數(shù)學界的代表人物，生于比薩。他的書物，生于比薩。他的書保存下來的共有保存下來的共有5種。種。最重要的是最重要的是算盤書算盤書（1202年完成，年完成，1228年年修訂），其中最耐人尋味修訂），其中最耐人尋味的是，這本書出現(xiàn)了中國的是，這本書出現(xiàn)了中國孫子算經孫子算經中的不定方中的不定方程解法。另一個兔子問程解法。另一個兔子問題也引

2、起了后人的極大題也引起了后人的極大興趣興趣 。這數(shù)列與后來的。這數(shù)列與后來的優(yōu)選法有密切關系。優(yōu)選法有密切關系。兔子問題兔子問題： 假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就有生殖能力問從一對大兔子開始，一年后能繁殖成多少對兔子？這就產生了斐波那契數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，341，2、介紹、介紹斐波那契斐波那契數(shù)列的應用數(shù)列的應用 和植物生長的有趣現(xiàn)象和植物生長的有趣現(xiàn)象 數(shù)學家澤林斯基在一次國際數(shù)學會議上提出樹木生長的問題：如果一棵樹苗在一年以后長出一條新技，然后休息一年再在下一年又長出一條新枝，并且每一條樹枝都按照這個規(guī)律長出新枝那么第1年它只有主干1枝，第

3、2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝等等. 每年的分枝數(shù)順次組成的數(shù)列符合斐波那契數(shù)列（除第一項外） 植物生長的螺旋現(xiàn)象等 它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學的許多分支中有廣泛應用。3、概括斐波那契數(shù)列的、概括斐波那契數(shù)列的 特征，寫出遞推關系特征，寫出遞推關系其規(guī)律是從第三項起，每一項都是前兩項的和用遞推公式表達就是： aaaaannn122111, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 4 4、斐波那契數(shù)列、斐波那契數(shù)列 通項公式的發(fā)現(xiàn)與證明通項公式的發(fā)現(xiàn)與證明 1680年意大利法國學者卡西尼發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的某個重要關系式。1730年法國數(shù)學家棣莫弗給出其通項表

4、達式19世紀初另一位法國數(shù)學家比內首先證明這一表達式，現(xiàn)在稱為之為比內公式。1963年美國還創(chuàng)刊斐波那契季刊來專門研究斐波那契數(shù)列。211( 1)nnnnaaa11515225nnna二、設計問題，發(fā)現(xiàn)公式的推導方法 問題一問題一 已知數(shù)列 滿足 求數(shù)列 的通項公式。nana11132(2)nnanaa問題二問題二 已知數(shù)列 滿足數(shù)列 滿足： = + 1； （1）求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列 的通項公式。nana11121(2)nnanaanbnbnanb問題一的解答2a=31+2=5，3a=35+2=17，4a=317+2=53，無法繼續(xù)下去。思路一： 構造法 概括出這類數(shù)列的一般特征和解法：概括出這類數(shù)列的一般特征和解法：思路一：用計算、猜想、證明的方法(略)三、斐波那契數(shù)列通項公式的推導方法 解法推廣：解法推廣：四、四、