2022年常微分方程試題庫(kù)試卷庫(kù)2

1、精品資料歡迎下載常微分方程期終考試試卷1一、填空題（ 30%）1、方程m x, ydxn x, ydy0 有只含 x 的積分因子的充要條件是（）；有只含 y 的積分因子的充要條件是 ；、稱(chēng)為黎卡提方程，它有積分因子 ；、稱(chēng)為伯努利方程，它有積分因子 ；、如x1t,x 2t, x n t為 n 階齊線性方程的 n 個(gè)解， 就它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是；'、形如的方程稱(chēng)為歐拉方程； 、 如t和t 都 是 xat x 的 基 解 矩 陣 ， 就t和t 具 有 的 關(guān) 系 是 ；、當(dāng)方程的特點(diǎn)根為兩個(gè)共軛虛根是，就當(dāng)其實(shí)部為 時(shí)，零解是穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為；二、運(yùn)算題（）1、 ydx xy3

2、dy0、 xxsin tcos2ta、如2114 試求方程組 xax 的解t ,012并求 expat dy 34xy dy8 y20dyxy2、 dxdx、求方程似解dx經(jīng)過(guò)（ 0， 0）的第三次近dxxy1,dyxy56. 求dtdt的奇點(diǎn) , 并判定奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)固性.三、證明題（）、 n 階齊線性方程肯定存在n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解；常微分方程期終試卷 2一、填空題 30%1、 形如的方程，稱(chēng)為變量分別方程，這里.續(xù)函數(shù)；f x. y 分別為 x.y的連2、 形 如的 方 程 ， 稱(chēng)為 伯 努 利 方 程， 這 里p x.qx為x的 連 續(xù) 函數(shù).n0.1是常數(shù)；引入變量變換，可化為線性方程；

3、3、 如 果 存 在 常數(shù)l0,使得不等式 對(duì) 于 所有（ x, y1 , x, y2 r都成立，l稱(chēng)為利普希茲常數(shù)；函數(shù) fx, y 稱(chēng)為在 r上關(guān)于y 滿意利普希茲條件；4、 形如- 的方程，稱(chēng)為歐拉方程，這里a1 , a2 ,是常數(shù)；5、 設(shè)t 是xax的基解矩陣，t 是 xat xf t 的某一解，就它的任一解t可表為- ；一、運(yùn)算題 40%dy1. 求方程 dx6 yxy 2的通解；xdy2. 求程 dxyexyx的通解；3. 求方程x' '6 x' 5 xe 2t 的隱式解；dy4. 求方程 dxxy 2通過(guò)點(diǎn)（0、0）的第三次近似解；二、證明題 30%t

4、2t01x2211. 試驗(yàn)證t =2t'1是方程組x=t 2tx,x=x2，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間atb上的基解矩陣；2. 設(shè)t 為方程'x=ax（ a 為 nn 常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（ 0 ） =e），證明 :t1 t0 =t- t0 其中 t 0 為某一值 .常微分方程期終試卷 3一 .解以下方程 10%*8=80%dy2.dxy=6 x -x y 2y3.y' =2x2 2y1'24. xy =xy 22+y6.y-xxy 2+dx-xdy=08. 已知 fxxf tdt0=1,x0, 試求函數(shù) fx的一般表達(dá)式；二 證明題 10%*2=20%9.

5、 試證： 在微分方程 mdx+ndy=0中，假如 m、n 試同齊次函數(shù)， 且 xm+yn0, 就 xm是該方程的一個(gè)積分因子；1yn 常微分方程期終試卷（4）一、填空題1、（）稱(chēng)為變量分別方程 , 它有積分因子 ；、當(dāng)（）時(shí)，方程微分方程；m x, ydxn x,y dy0 稱(chēng)為恰當(dāng)方程，或稱(chēng)全、函數(shù)f x,y 稱(chēng)為在矩形域上關(guān)于y 滿意利普希茲條件，假如（）；、對(duì)畢卡靠近序列，k xk 1 x ；、解線性方程的常用方法有（）；、如x i t i1,2, n 為齊線性方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解，就這一齊線性方程的全部解可表為（）；、方程組 xat x （）；、如t 和t 都是 xat x 的基解

6、矩陣， 就t 和t 具有關(guān)系：（）；、當(dāng)方程組的特點(diǎn)根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，就當(dāng)其實(shí)部（）時(shí)，零解是穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（）；、當(dāng)方程組的特點(diǎn)方程有兩個(gè)相異的特點(diǎn)根時(shí)，就當(dāng)（）時(shí)，零解是漸近穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（）；當(dāng)（）時(shí)，零解是不穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的 奇點(diǎn)稱(chēng)為（）； 、 如t 是 xat x的 基 解 矩 陣 ， 就 xat xf t 滿 足xt0 的 解（）；二、運(yùn)算題求以下方程的通解；dy、 dx4e y sin x1；y 2 1、 dy 21dx；dy、求方程 dxxy 2通過(guò)0,0的第三次近似解；求解以下常系數(shù)線性方程；、 x、 xxx0 ；xet ；試求以下線性方程組的奇點(diǎn)， 并通過(guò)變

7、換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)， 進(jìn)一步判定奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)固性：dx、dtxy. , dy dtxy5；三、證明題；0、設(shè)t 為方程 xax （為 nn 常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即0e ，證明 t 1t tt0 其中 t 0 為某一值；常微分方程期終考試試卷（5） 一 填空題（ 30 分）dy1 dxp x yqx稱(chēng) 為 一 階 線 性 方 程 ， 它 有 積 分 因 子p x dxe， 其 通 解 為 ；2. 函數(shù)f x, y 稱(chēng)為在矩形域 r 上關(guān)于 y 滿意利普希茲條件，假如 ；3. 如 x為畢卡靠近序列n x的極限，就有 xn x ；dy4. 方程 dxx 2y 2定義在矩形域r :2x2, 2y

8、2 上，就經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0）的解的存在區(qū)間是；5. 函數(shù)組et ,et ,e2t的伏朗斯基行列式為 ；6. 如xi t i1,2, n 為齊線性方程的一個(gè)基本解組，xt 為非齊線性方程的一個(gè)特解，=是就非齊線性方程的全部解可表為 ；7. 如tx 'at x 的基解矩陣，就向量函數(shù)t x 'at xf t 的滿是足初始條件t 0 0 的解；向量函數(shù)t = x是'at xf t 的滿意初始條件t0 的解；'8. 如矩陣a 具有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量v1, v2 ,vn ，它們對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)值分別為1,2 ,n ，那么矩陣t = 是常系數(shù)線性方程組xax 的一個(gè)基解

9、矩陣；9. 滿意的點(diǎn)*x , y ，稱(chēng)為駐定方程組；3二運(yùn)算題（ 60 分）10. 求方程4x y dx22dy2 x y1dy0 的通解；dy11. 求方程 dxe dxx0的通解；12. 求初值問(wèn)題dyx 2y2dxy 10r : x11, y1的解的存在區(qū)間， 并求其次次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估量；13. 求方程x ''9 xt sin 3t 的通解；'14. 試求方程組 x1axf1t 的解2t.te0, a1, f t 431dx15. 試求線性方程組dt性；2x7 y19, dydtx2 y5的奇點(diǎn)， 并判定奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)固三證明題（ 10 分）1

10、6假如t 是 x 'ax 滿意初始條件t 0的解， 那么t expatt0 常微分方程期終考試試卷6三 填空題（共 30 分， 9 小題， 10 個(gè)空格，每格 3 分）；1、 當(dāng)時(shí)，方程 mx,ydx+nx,ydy=0稱(chēng)為恰當(dāng)方程，或稱(chēng)全微分方程；2、稱(chēng)為齊次方程；dy dx3、求=fx,y滿意 x0 y0 的解等價(jià)于求積分方程 的連續(xù)解；dy4、如函數(shù) fx,y在區(qū)域 g內(nèi)連續(xù)， 且關(guān)于 y 滿意利普希茲條件，就方程 dxf x, y的解y= x, x0, y0 作為x, x0 , y0 的函數(shù)在它的存在范疇內(nèi)是 ；5、如x1 t , x2 t ,.x3 t為 n 階齊線性方程的n

11、個(gè)解，就它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是/ ；/6、方程組 xat x的稱(chēng)之為 xat x 的一個(gè)基本解組；7、如t 是常系數(shù)線性方程組x /ax 的基解矩陣，就 expat =；8、滿意的點(diǎn)（x* , y*），稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)；9、當(dāng)方程組的特點(diǎn)根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，就當(dāng)其實(shí)部 時(shí)，零解是穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為；二、運(yùn)算題（共 6 小題，每題 10 分）；1、求解方程：dyxdx = xy1y232、 2、解方程： 2x+2y-1dx+x+y-2dy=0dy3、爭(zhēng)論方程 dx312 y 3 在怎樣的區(qū)域中滿意解的存在唯獨(dú)性定理的條件，并求通過(guò)點(diǎn)（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：x/2 x/3

12、xet costat12/5、試求方程組 xax 的一個(gè)基解矩陣，并運(yùn)算e,其中a為43dx6、試爭(zhēng)論方程組 dtac0；axby ,dycy dt（1）的奇點(diǎn)類(lèi)型，其中a,b,c為常數(shù)，且三、證明題（共一題，滿分10 分）；試證：假如（t）是x/ax 滿意初始條件t0 的解，那么tea tt0 常微分方程期終試卷 7一、挑選題1 n 階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（）個(gè)（ a） n（b） n -1（c） n +1（ d） n +2 2李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的（）條件（a）充分（b）必要（c）充分必要（ d）必要非充分dy3. 方程 dx1y 2過(guò)點(diǎn) 2,1共

13、有（）個(gè)解（ a）一（ b）很多（ c）兩（ d）三dy4. 方程 dxyxx（）奇解（a）有一個(gè)（ b）有兩個(gè)（ c）無(wú)（ d）有很多個(gè)dy5. 方程 dxy的奇解是（）（ a） yx二、運(yùn)算題'221.x y =xy+y（b） y1（ c） y1（ d） y02.tgydx-ctydy=03. x2 ydxxdy0dyy14. dxxydx5. x y 3ln xdy0三、求以下方程的通解或通積分y dy1. dxdy2. dxx1 yx2y y 2xdy3. dx3 ye2x四證明1. 設(shè)y1 x ，y2 x 是方程yp x yqx y0的解，且滿意y1 x0 = y2 x0 =

14、0 ，y1 x0 ，這里p x, qx 在 , 上連續(xù)，x0, 試證明：存在常數(shù)c 使得y2 x =c y1 x 2. 在方程 yp x yqx y0 中，已知px， qx 在 , 上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與 x 軸相切常微分方程期終試卷 8一、填空（每空 3 分）1、稱(chēng)為一階線性方程， 它有積分因子， 其通解為；2、函數(shù)f x, y 稱(chēng)為在矩形域 r上關(guān)于 y 滿意利普希茲條件，假如；3 、如x1 t , x2 t , xn t 為 n 階齊線性方程的n 個(gè)解，就它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是；4、形如的方程稱(chēng)為歐拉方程；5、如t 和t 都是 x'at x 的基解矩

15、陣， 就t 和t 具有的關(guān)系：；6 、 如 向 量 函 數(shù)dyg t ; y在 域 r 上， 就 方 程 組gt;dty,t 0 ; t0 ,y0 y0的解存在且惟一；7、當(dāng)方程組的特點(diǎn)根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，就當(dāng)其實(shí)部，零解是穩(wěn)固的， 對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為；二、求以下方程的解1、 y3x 2 dx4 yxdy0（6 分）3、2、ydx y 2 y'xdy 1 x 22y 2 dxy' 2（8 分）（8 分）dy4、dx5、x' 'x' 'yx6 x'xexy5xe2t 1（ 8 分）（ 6 分）6、x' 'sin 3 t1（ 8

16、分）7、2x'（ 8 分）三、求方程組的奇點(diǎn)，并判定奇點(diǎn)的類(lèi)型和穩(wěn)固性（8 分）dx2x dt7 y19, dy dtx2 y5常微分期中測(cè)試卷2'22一 .解以下方程 10%*8=80%1. 1.xy = xy+y2. 2.tgydx-ctydy=03. 3.y-xx2 +2ydx-xdy=04. 4.2xylnydx+x2y21y 2dy=0+dy5. dxy2=6 x -x yyy'6.=2x2 2y17. 已知 fxxf tdt0=1,x0, 試求函數(shù) fx的一般表達(dá)式；8. 一質(zhì)量為 m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)， 從速度為零的時(shí)刻起， 有一個(gè)和時(shí)間成正比 （比例系數(shù)為的

17、力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2 ）；試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系；二 證明題 10%*2=20%1. 證明：假如已知黎卡提方程的一個(gè)特解，就可用初等方法求得它的通解；k1）2. 試證：在微分方程 mdx+ndy=0中，假如 m、n 試同齊次函數(shù)， 且 xm+yn0, 就 xm是該方程的一個(gè)積分因子；1yn m y xmynm xm ynyn yn x xmynn xm xmy n x xmyn 2xmyn2常常微分方程期終試卷 9一、填空題（每道題5 分，此題共 30 分）dy1. 方程 dxy sin xxe的任一解的最大存在區(qū)間必定是2. 方程

18、 y4 y0 的基本解組是3. 向量函數(shù)組y1 x, y2 x, yn x 在區(qū)間 i上線性相關(guān)的條件是在區(qū)間 i 上它們的朗斯基行列式w x0 4. 李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的條件5. n 階線性齊次微分方程的全部解構(gòu)成一個(gè)維線性空間6. 向量函數(shù)組y1 x, y2 x, yn x 在其定義區(qū)間i 上線性相關(guān)的條件是它們的朗斯基行列式w x0 ， xi 二、運(yùn)算題（每道題8 分，此題共 40 分）求以下方程的通解dy2x3 ye7. dx x8.3xy 2 dx x2 yy3 dy0eyx0y910. 求方程 y5ysin 5x 的通解11. 求以下方程組的通解dxxy

19、dtdy4xy dt三、證明題（每道題15 分，此題共 30 分）12. 設(shè) y1 x 和 y2 x 是方程 yqx y0 的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式w xc ，其中 c 為常數(shù)13. 設(shè)x在區(qū)間 , 上連續(xù)試證明方程的全部解的存在區(qū)間必為dy x sin y dx, 常常微分方程期終試卷 10一、填空（ 30 分）dy1、dxyg xdy稱(chēng)為齊次方程， dxpx y2q x yrx稱(chēng)為黎卡提方程；dy2、假如f x, y 在 r 上連續(xù)且關(guān)于 y 滿意利普希茲條件，就方程f x, ydx存在唯獨(dú)的解 yx， 定 義 于 區(qū) 間 xx0h 上 ， 連 續(xù) 且 滿 足 初 始 條 件

20、x0 y0 ， 其 中hm in a , b mmax f x, ym， x, y r；3、如 xi t i1，2， n 是齊線性方程的 n 個(gè)解， wt為其伏朗斯基行列式，就 wt滿意一階線性方程w' t a1 t wt0 ；ml k 1k4、對(duì)逼卡靠近序列，k xk 1 xxx0 k.；'5、如t 和t 都是 xat x的基解矩陣，就t 和t 具有關(guān)系mtntc ；6、方程m x, ydxn x,ydy0 有只含 x 的積分因子的充要條件是yx xn；mnyx有只含 y 的積分因子的充要條件是m y；dy7、方程 dxy212經(jīng)過(guò)0,0 點(diǎn)的解在存在區(qū)間是, ；二、運(yùn)算（

21、60 分）1、 求解方程xdy yx 2 y4 dx0 ；24解：所給微分方程可寫(xiě)成 xdyydxx y dx0即有d xy4x 2 y 4 dx0d xy41 dx02上式兩邊同除以xy ，得xyx11c由此可得方程的通解為即13x 2 y 3cx3 y333xy c1x3c1 2、 求解方程 yp22 p 3解：所給方程是關(guān)于y 可解的，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，有（1） 當(dāng) p0 時(shí)，由所給微分方程得p2 p y0 ；6 p 2 dpdx（2） 當(dāng) dx 26 pdp 時(shí)，得 x2 p3p 2c ；223因此，所給微分方程的通解為x2 p3 pc， yp2p（ p 為參數(shù)）而 y0 是奇解；3、

22、 求解方程x''4 x'4 xete 2t12解：特點(diǎn)方程440 ，1, 22 ，故有基本解組e2t ， te 2t ，對(duì)于方程x''4 x'4 xet，由于1不是特點(diǎn)根，故有形如x1taet的特解，2ta1將其代入x''4 x'4 xe2 t ，得2 ae2te，解之得2 ，對(duì)于方程x ''4 x'4 x1 ，由于0 不是特點(diǎn)根，故有形如x3 ta的特解，a1t將其代入x ''4 x'4 x1 ，得4，所以原方程的通解為xt e2 t cc2t e1 t 2 e 2t124

23、14、 試求方程組 x'ax 的一個(gè)基解矩陣，并運(yùn)算2exp1at ，其中a12解： pdet ea0 ，13 ， 23 ，均為單根，設(shè)1 對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量為1v1v1 ，就由 1 eav1v10 ，得21v23,0取23，同理可得1 對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量為23 ，就 1 t 3tve1 ， 2(t) e13t v2 ，均為方程組的解，令1t 1 t ,2 t ，w0又det0230323，所以t 即為所求基解矩陣e 3t 23 e 3te3t；23 r3t5、 求解方程組dxx dtdyxdty1y5的奇點(diǎn)，并判定奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)固性；x解：令xy10x y50 ，得 y23 ，即奇點(diǎn)為（ 2

24、， -3 ）xx令yy1123 ，代入原方程組得dxxydtdyxydt，112由于 112020，又由11，解得 12 ， 22 為兩個(gè)相異的實(shí)根，所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)固鞍點(diǎn)，零解不穩(wěn)固；dy6、 求方程 dx2xy經(jīng)過(guò)（ 0， 0）的其次次近似解；解：0 x0 ，x1 x0f x,0dx0x1 x22，2 x0f x,01 x22dx1 x 221 x 520；三、證明（ 10 分）假設(shè) m 不是矩陣 a 的特點(diǎn)值，試證非齊線性方程組有一解形如其中 c ， p 是常數(shù)向量；x'axtcemtpemt證：設(shè)方程有形如tmtpep的解，就是可以確定出來(lái)的；事實(shí)上，將mtpe代入方程得mpem

25、tapemtcemt，由于 emt0 ，所以mpmeapec ，a) pc（ 1）又 m 不是矩陣 a 的特點(diǎn)值，detmea0所以 mea存在，于是由（ 1）得 p mea 1 c 存在； 1故方程有一解tmea) 1 cemtpemt常微分方程期終試卷 11一填空1稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子，其通解為；2稱(chēng)為黎卡提方程，如它有一個(gè)特解yx,就經(jīng)過(guò)變換，可化為伯努利方程；3如（ x）為畢卡靠近序列；n x的極限，就有（ x）n x4. 如xi t （ i=1,2, ,n）是齊線形方程的n 個(gè)解， wt 為其伏朗斯基行列式，就wt滿意一階線性方程；5. 如xi t （ i=1,2, ,n）

26、是齊線形方程的一個(gè)基本解組，xt為非齊線形方程的一個(gè)特解，就非齊線形方程的全部解可表為；6. 假如 at 是 n×n 矩陣， ft是 n 維列向量，就它們?cè)赼tb 上滿意時(shí)，方程組x = at x+ ft滿意初始條件 x（ t 0 ）=的解在 atb 上存在唯獨(dú)；7如（ t ）和（ t ）都是 x = at x的 基解矩陣，就（ t ）與（ t ）具有關(guān)系：；8. 如（ t ）是常系數(shù)線性方程組xax 的 基解矩陣 , 就該方程滿意初始條件的解t = t0 9. 滿意的點(diǎn)（x* , y*），稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)；10 當(dāng)方程組的特點(diǎn)根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，就當(dāng)其實(shí)部 時(shí)，零解是穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的

27、奇點(diǎn)稱(chēng)為 ；二運(yùn)算題（ 60 分）1. ydx dy3 xy3 dy4xy dy08y202. dxdxdyxy23. 求方程 dx經(jīng)過(guò)（ 0，0）的第三次近似解4. xxasin tcos2t21t,015. 如1 4 試求方程組 xax 的解2 并求 expatdxxy1,dyxy56. 求dtdt的奇點(diǎn) , 并判定奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)固性.三. 證明題 10 分f設(shè) f x,y) 及y 連續(xù) , 試證方程 dy-fx,ydx=0為線性方程的充要條件是它有僅依靠與x的積分因子 .常微分方程期終測(cè)試卷12一、填空題（ 30%）1 如 y=y1 x ， y=y2 x 是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解

28、，就用這兩個(gè)解可把其通解表示為dy2 方程 dxx2y 2滿意解的存在唯獨(dú)性定理?xiàng)l件的區(qū)域是3 f y x,dyy 連續(xù)是保證方程dxf x, y初值唯獨(dú)的條件一條積分曲線 .4.線性齊次微分方程組d ya xydx的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于個(gè)，其中 xr ， yr n 5 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解是y1 x , y2 x 成為其基本解組的充要條件dy6 方程 dxsin xcos y滿意解的存在唯獨(dú)性定理?xiàng)l件的區(qū)域是dy7 方程 dxx2 tan y的全部常數(shù)解是8 方程x sinydxy cosxdy0 全部常數(shù)解是9 線性齊次微分方程組的解組y1 x, y2 x, yn x 為基本

29、解組的條件是它們的朗斯基行列式w x0 10 n 階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為個(gè)二、運(yùn)算題（ 40%）求以下方程的通解或通積分：dy1.dxyytanxxdycos y2 dxcos x sin 2 ysin y3 2xydx dtcosxdxy x21dy0dy4 dtdx dt2xyxydy5 dt2x3y三、證明題（ 30%） 1試證明：對(duì)任意x0 及滿意條件 0y01的y0 ，方程dydx1y y1x 2y 2的滿意條件y x0 y0 的解 yy x 在 lim,f x 上存在0dyyf x2設(shè)f x 在 0, 上連續(xù)，且x，求證：方程dx的任意yy xlimy x0解均有

30、 xdy3設(shè)方程 dxx 2 f y中， f y 在 , 上連續(xù)可微， 且yf y0 ， y0 求證：該方程的任一滿意初值條件y x0 y0 的解yx 必在區(qū)間 x0 , 上存在常微分方程期終試卷 13一、填空題（ 30 分）1、方 程 mx,ydx+nx,ydy=0有 只 含 x的 積 分 因 子 的 充 要 條 件 是mn（yx mn（yxnxm y）， 有 只 含 y的 積 分 因 子 的 充 要 條 件 是）；dy2、求 dx=fx,y滿意 x0 xy0 的解等價(jià)于求積分方程（y=y 0 + x0f x, ydx）；dy3、方程 dxx 2y 2定義在矩形域r:-2x2, 2y2 上，

31、就經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0，0）的即位存在區(qū)間是（1x144 ）；4、如 x i ti=1,2,n 是齊線性方程的 n個(gè)解， wt 為伏朗斯基行列式，就wt滿意一階線性方程（w t+a1 twt=0）；5、如 x1 t, x2 t ,xn t為 n 階齊線性方程的 n 個(gè)解，就它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是（ wx1 t, x2 t ,x n t0）；6、在用皮卡逐步靠近法求方程組tx ' =a（ t ） x+fx,xt0 =的近似解時(shí)，就k t ast0k 1 sf sds）；7、當(dāng)方程的特點(diǎn)根為兩個(gè)共扼虛根時(shí)，就當(dāng)其實(shí)部（為零）時(shí)，零解是穩(wěn)固的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（穩(wěn)固中心） ；8、滿意（ xx,y=0

32、,yx,y=0）的點(diǎn)（ x * , y* ） ,稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)；9、如t 和t 都 是x' =atx的 基 解 矩 陣 ， 就t 和t具 有 關(guān) 系 ：（t tcc為非奇特矩陣） ）；dydynn 1nn 110、 形如（ xdx n+a 1 xdx n 1 +an y0 的方程稱(chēng)為歐拉方程；二、運(yùn)算題3求以下方程的通解（）、（ xy+x2 yy dx 3 x2y2dy0m2 xx2y 2 , n2 x解：由于又由于yxmnnyx所以方程有積分因子： ux=ex方程兩邊同乘以ex 得：y3x22ex 2 xyx2 ydxe3 xydy0x2x2x y3x2e 2 xyx ydxe x dy edxe y dy03x2x y3也即方程的解為e x yec3x3y 33xy、0 ydy dx解：令，dyyptxdx，就x3tx3t 3x3