函數(shù)的定義域與值域

1、函數(shù)的定義域與值域第五節(jié) 函數(shù)的定義域與值域歸納·知識(shí)整合1常見基本初等函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于零(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為r.(4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定義域均為r.(5)ylogax(a0且a1)的定義域?yàn)?0，)(6)ytan x的定義域?yàn)?(7)實(shí)際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題對(duì)函數(shù)自變量的制約2基本初等函數(shù)的值域(1)ykxb(k0)的值域是r.(2)yax2bxc(a0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋?當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?(3)y(

2、k0)的值域是y|y0(4)yax(a>0且a1)的值域是y|y>0(5)ylogax(a>0且a1)的值域是r.(6)ysin x，ycos x的值域是 1,1(7)ytan x的值域是r.探究1.若函數(shù)yf(x)的定義域和值域相同，則稱函數(shù)yf(x)是圓滿函數(shù)，則函數(shù)y；y2x；y ；yx2中是圓滿函數(shù)的有哪幾個(gè)2分段函數(shù)的定義域、值域與各段上的定義域、值域之間有什么關(guān)系 自測(cè)·牛刀小試1(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)a，4 b4，) c(，4) d(，1)(1,42下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()x0<x<55x<1010

3、x<1515x20y2345a2,5bnc(0,20d2,3,4,53若f(x)，則f(x)的定義域?yàn)?) d(0，)4(教材改編題)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開，值域?yàn)開5(教材改編題)若有意義，則函數(shù)yx26x7的值域是_求函數(shù)的定義域例1(1)(2012·山東高考)函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?)a2,0)(0,2b(1,0)(0,2 c2,2 d(1,2(2)已知函數(shù)f(x21)的定義域?yàn)?,3，則函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開本例(2)改為f(x)的定義域?yàn)?,3，求yf(x21)的定義域簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類型及求法(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使

4、解析式有意義的不等式(組)求解(2)對(duì)實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解(3)對(duì)抽象函數(shù)：若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍，b，則復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa，b時(shí)的值域1(1)(2012·江蘇高考)函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)開(2)已知f(x)的定義域是2,4，求f(x23x)的定義域求函數(shù)的值域例2求下列函數(shù)的值域：(1)y；(2)yx；(3)yx.若將本例(3)改為“yx”，如何求解求函數(shù)值域的基本方法(1)觀察法：一些簡(jiǎn)單函數(shù)，通過觀察法求值域(2)配方法：“

5、二次函數(shù)類”用配方法求值域(3)換元法：形如yaxb±(a，b，c，d均為常數(shù)，且a0)的函數(shù)常用換元法求值域，形如yax的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域(4)分離常數(shù)法：形如y(a0)的函數(shù)可用此法求值域.(5)單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其增減性進(jìn)而求最值和值域.(6)數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)的圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍.2求下列函數(shù)的值域(1)yx22x，x0,3； (2)y； (3)ylog3xlogx31.與定義域、值域有關(guān)的參數(shù)問題例3已知函數(shù)f(x).若至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)f(x)的定義域與值域

6、相同，求實(shí)數(shù)a的值由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)的方法已知函數(shù)的值域求參數(shù)的值或取值范圍問題，通常按求函數(shù)值域的方法求出其值域，然后依據(jù)已知信息確定其中參數(shù)的值或取值范圍3(2013·溫州模擬)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的值域?yàn)?，則ab_.1種意識(shí)定義域優(yōu)先意識(shí)函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識(shí)4個(gè)注意求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題(1)如果沒有特別說(shuō)明，函數(shù)的定義域就是能使解析式有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合(2)不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域變化(3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)

7、，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合(4)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“”連接4個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則一般有：分式中的分母不為0；偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；yx0要求x0；對(duì)數(shù)式中的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.6種技巧妙求函數(shù)的值域(1)當(dāng)所給函數(shù)是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考慮用分離常數(shù)法；(2)若與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法；(3)若函數(shù)解析式中含有根式，可考慮用換元法或單調(diào)性法；(4)當(dāng)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)與基本不等式有關(guān)，可考慮用基本不等式求解；(5)分段函數(shù)宜分段求解；(6)當(dāng)函數(shù)

8、的圖象易畫出時(shí)，還可借助于圖象求解. 易誤警示與定義域有關(guān)的易錯(cuò)問題典例(2013·福州模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開1本題若將函數(shù)f(x)的解析式化簡(jiǎn)為f(x)(x1)后求定義域，會(huì)誤認(rèn)為其定義域?yàn)?，1事實(shí)上，上述化簡(jiǎn)過程擴(kuò)大了自變量x的取值范圍2在求函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域時(shí)，不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的作用，而且還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用 1若函數(shù)f(x)的值域是，則函數(shù)f(x)f(x)的值域是() 2已知函數(shù)f(2)x2，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1已知a為實(shí)數(shù)，則下列函數(shù)中，定義域和值域都有可能是r的

9、是()af(x)x2abf(x)ax21 cf(x)ax2x1 df(x)x2ax12已知等腰abc周長(zhǎng)為10，則底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系為y102x，則函數(shù)的定義域?yàn)?)ar bx|x>0 cx|0<x<5 3設(shè)mx|2x2，ny|0y2，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閙，值域?yàn)閚，則f(x)的圖象可以是()4(2013·南昌模擬)函數(shù)y lg的定義域?yàn)?)ax|x>0 bx|x1 cx|x1，或x<0 dx|0<x15函數(shù)y2的值域是()a2,2 b1,2 c0,2 d， 6設(shè)函數(shù)g(x)x22(xr)，f(x)則f(x)的值域是()(1，) (2

10、，)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7函數(shù)y的定義域是_8設(shè)x2，則函數(shù)y的最小值是_9(2013·廈門模擬)定義新運(yùn)算“”：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2.設(shè)函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10若函數(shù)f(x)x2xa的定義域和值域均為1，b (b>1)，求a，b的值11設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定一個(gè)定點(diǎn)a(4,3)，而點(diǎn)b(x,0)在x軸的正半軸上移動(dòng)，l(x)表示的長(zhǎng)，求函數(shù)y的值域12已知函數(shù)f(x)x24ax2a6.(1)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)，求a的值

11、；(2)若函數(shù)f(x)的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，求g(a)2a|a3|的值域1下列函數(shù)中，與函數(shù)y有相同定義域的是()af(x)ln x bf(x) cf(x)|x| df(x)ex2函數(shù)y的定義域?yàn)?)a4，1)b(4,1) c(1,1) d(1,13若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,2，則函數(shù)g(x)的定義域是()a0,1 b0,1) c0,1)(1,4 d(0,1)4已知函數(shù)f(x)x，x1,1，函數(shù)g(x)f2(x)2af(x)3的最小值為h(a)(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：m>n>3；當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閚，m時(shí)，值域?yàn)閚2，m2若存在，

12、求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 探究1. 提示：y的定義域和值域都是(，0)(0，)，故函數(shù)y是圓滿函數(shù)；y2x的定義域和值域都是r，故函數(shù)y2x是圓滿函數(shù)；y 的定義域和值域都是0，)，故y 是圓滿函數(shù)；yx2的定義域?yàn)閞，值域?yàn)?，)，故函數(shù)yx2不是圓滿函數(shù)2提示：分段函數(shù)的定義域、值域?yàn)楦鞫紊系亩x域、值域的并集自測(cè)·牛刀小試1解析：選d要使函數(shù)f(x)有意義，只需即所以函數(shù)的定義域?yàn)?，1)(1,42解析：選d函數(shù)值只有四個(gè)數(shù)2,3,4,5，故值域?yàn)?,3,4,53解析：選a根據(jù)題意得log (2x1)0，即02x11，解得<x<0，即x.4解析：由圖象可

13、知，函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,03,7)，值域?yàn)?，)答案：6,03,7)0，)5解析：有意義，x40，即x4. 又yx26x7(x3)22，ymin(43)22121.其值域?yàn)?，)答案：1，)例1自主解答(1)x滿足即解得1<x<0或0<x2.(2)0x3，0x29，1x218. 函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?,8答案(1)b(2)1,8 解：yf(x)的定義域?yàn)?,3，0x213，解得2x1或1x2，所以函數(shù)定義域?yàn)?，11,2 1解析：(1)由12log6x0解得log6x0x，故所求定義域?yàn)?0， 答案：(0， (2)f(x)的定義域是2,4，2x23x4，由二次函數(shù)

14、的圖象可得，1x1或2x4.定義域?yàn)?,12,4.例2自主解答(1)法一：(分離常數(shù)法)y1.因?yàn)?，所以11，即函數(shù)的值域是y|yr，y1法二：由y得yxyx3. 解得x，所以y1，即函數(shù)值域是y|yr，y1(2)法一：(換元法)令t，則t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函數(shù)的值域是.法二：(單調(diào)性法)容易判斷函數(shù)yf(x)為增函數(shù)，而其定義域應(yīng)滿足12x0，即x.所以yf，即函數(shù)的值域是.(3)法一：(基本不等式法)當(dāng)x>0時(shí)，x2 4，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)“”成立；當(dāng)x<0時(shí)，x(x)4，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)“”成立 即函數(shù)的值域?yàn)?，44，)法二：(導(dǎo)數(shù)法)f(x)1

15、. x(，2)或x(2，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(2,0)或x(0,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減故x2時(shí)，f(x)極大值f(2)4；x2時(shí)，f(x)極小值f(2)4. 即函數(shù)的值域?yàn)?，44，)解：易知函數(shù)yx在(，0)和(0，)上都是增函數(shù)，故函數(shù)yx的值域?yàn)閞. 2解：(1)(配方法)yx22x(x1)21，0x3，1x14.1(x1)216.0y15，即函數(shù)yx22x(x0,3)的值域?yàn)?,15(2)y1，x2x12，0<，y<1，即值域?yàn)?(3)ylog3x1，令log3xt，則yt1(t0)，當(dāng)x>1時(shí)，t>0，y2 11，當(dāng)且僅當(dāng)t即log3x1，x3時(shí)，等

16、號(hào)成立；當(dāng)0<x<1時(shí)，t<0，y1213.當(dāng)且僅當(dāng)t即log3x1，x時(shí)，等號(hào)成立綜上所述，函數(shù)的值域是(，31，).例3 自主解答若a0，則對(duì)于每個(gè)正數(shù)b，f(x)的定義域和值域都是0，)，故a0滿足條件；若a>0，則對(duì)于正數(shù)b，f(x)的定義域?yàn)閐x|ax2bx00，)，但f(x)的值域a0，)，故da，即a>0不符合條件；若a<0，則對(duì)于正數(shù)b，f(x)的定義域d，由于此時(shí)f(x)maxf，故f(x)的值域?yàn)?，則a4. 綜上所述，a的值為0或4.3解析：由題意知x1>0，又xa，b，a>1.則f(x)在a，b上為減函數(shù)，則f(a)1且f(

17、b)，a2，b4，ab6. 答案：6易誤警示與定義域有關(guān)的易錯(cuò)問題典例 解析要使函數(shù)f(x)有意義，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x1，且x1答案(，1)(1,11解析：選c令tf(x)，則t3. 易知函數(shù)g(t)t在區(qū)間上是減函數(shù)，在1,3上是增函數(shù)又因?yàn)間，g(1)2，g(3). 可知函數(shù)f(x)f(x)的值域?yàn)?2解析：令2t，則x(t2)2(t2)f(t)(t2)22(t2)t22t(t2)f(x)x22x(x2)f(x)(x1)21(21)210，即f(x)的值域?yàn)?，)答案：0，)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1解析：選c當(dāng)a0時(shí)，f(x)ax2x1x1為一次函數(shù)

18、，其定義域和值域都是r.2解析：選d由題意知即<x<5.3解析：選aa中定義域是2,2，值域?yàn)?,2；b中定義域?yàn)?,0，值域?yàn)?,2；c不表示函數(shù)；d中的值域不是0,24解析：選b由得x1.5解析：選cx24x(x2)244，02，20，022，0y2.6解析：選d令x<g(x)，即x2x2>0，解得x<1或x>2；令xg(x)，即x2x20，解得1x2，故函數(shù)f(x)當(dāng)x<1或x>2時(shí)，函數(shù)f(x)>f(1)2；當(dāng)1x2時(shí)，函數(shù)ff(x)f(1)，即f(x)0，故函數(shù)f(x)的值域是(2，)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15

19、分)7解析：由函數(shù)解析式可知6xx2>0，即x2x6<0，故3<x<2. 答案：(3,2)8解析：y，設(shè)x1t，則t3，那么yt5，在區(qū)間2，)上此函數(shù)為增函數(shù)，所以t3時(shí)，函數(shù)取得最小值即ymin. 答案：9解析：由題意知，f(x) 當(dāng)x2,1時(shí)，f(x)4，1；當(dāng)x(1,2時(shí)，f(x)(1,6，故當(dāng)x2,2時(shí)，f(x)4,6答案：4,6三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10解：f(x)(x1)2a，其對(duì)稱軸為x1，即1，b為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間f(x)minf(1)a1， f(x)maxf(b)b2bab. 由解得11解：依題意有x0，l(x)，所以y. 由于1252，所以 ，故0y. 即