2022年數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十九章含參量積分

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第十九章含參量積分教學(xué)目的： 1.把握含參量正常積分的概念、性質(zhì)及其運(yùn)算方法；2. 把握兩種含參量反常積分的概念、性質(zhì)及其運(yùn)算方法；3.把握歐拉積分的形式及有關(guān)運(yùn)算；教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) ：本章的重點(diǎn)是含參量積分的性質(zhì)及含參量反常積分的一樣收斂性的判定；難點(diǎn)是一樣收斂性的判定；教學(xué)時(shí)數(shù) ：12 學(xué)時(shí)§ 1 含參量正常積分一.含參積分 :以實(shí)例和引入.定義含參積分和.含參積分供應(yīng)了表達(dá)函數(shù)的又一手段. 我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為含參積分 .1. 含參積分的連續(xù)性 :th19.5如函數(shù)在矩形域上連續(xù) , 就函數(shù)在上連續(xù) . 證 p172th19.8如函數(shù)在矩形域上連續(xù), 函數(shù)和

2、 證 在p173上連續(xù), 就函數(shù)在上連續(xù).2. 含參積分的可微性及其應(yīng)用 :th 19.10如函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形域上連續(xù), 就函數(shù)在上可導(dǎo) , 且. 即積分和求導(dǎo)次序可換 . 證 p174th 19.11設(shè)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形域上連續(xù),函數(shù)和定義在, 值域在上 , 且可微 , 就含參積分在上可微 , 且. 證 p174例 1運(yùn)算積分.p176.例 2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù) .驗(yàn)證當(dāng)充分小時(shí) ,函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在 , 且.p177.§ 2含參反常積分一.含參無窮積分 :1. 含參無窮積分 :函數(shù)定義在上 可以是無窮區(qū)間 .以為例介紹含參無窮積分表示的函數(shù).2. 含參無窮積分的一樣

3、收斂性 :逐點(diǎn)收斂 或稱點(diǎn)態(tài)收斂 的定義:,使.引出一樣收斂問題 .定義 一樣收斂性 設(shè)函數(shù)定義在上 .如對, 使對成立,就稱含參無窮積分在 關(guān)于一樣收斂 .th 19.5 cauchy 收斂準(zhǔn)就 積分在上一樣收斂,對成立 .例 1證明含參量非正常積分在上一樣收斂 ,其中. 但在區(qū)間內(nèi)非一樣收斂 . p1803. 含參無窮積分與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的關(guān)系 :th 19.6積分在上一樣收斂 ,對任一數(shù)列, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一樣收斂 . 證略 二.含參無窮積分一樣收斂判別法 :1. weierstrass m 判別法: 設(shè)有函數(shù), 使在上有. 如積分,就積分在一樣收斂 .例 2證明含參無窮積分在內(nèi)一樣收斂 .

4、p1822. dirichlet 判別法和 abel 判別法:p182三.含參無窮積分的解析性質(zhì) : 含參無窮積分的解析性質(zhì)實(shí)指由其所表達(dá)的函數(shù)的解析性質(zhì) .1. 連續(xù)性:積分號下取極限定理 .th 19.7設(shè)函數(shù)在上連續(xù) .如積分在上一樣收斂 , 就函數(shù)在上連續(xù). 化為級數(shù)進(jìn)行證明或直接證明推論 在 th.7 的條件下 , 對,有2. 可微性:積分號下求導(dǎo)定理 .th 19.8設(shè)函數(shù)和在上連續(xù). 如積分在上收斂, 積分在一樣收斂 .就函數(shù)在上可微,且.3. 可積性:積分換序定理 .th 19.9設(shè)函數(shù)在上連續(xù). 如積分在上一樣收斂 , 就函數(shù)在上可積 , 且有.例 3運(yùn)算積分p186四.含參

5、瑕積分簡介 :§ 3euler 積分本節(jié)介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個(gè)特殊函數(shù), 即和. 它們統(tǒng)稱為 euler 積分. 在積分運(yùn)算等方面 , 它們是很有用的兩個(gè)特殊函數(shù) .一.gamma 函數(shù) euler 其次型積分：1. gamma 函數(shù):考慮無窮限含參積分,當(dāng)時(shí),點(diǎn)仍是該積分的瑕點(diǎn) .因此我們把該積分分為來爭論其斂散性 .:時(shí)為正常積分 .時(shí),. 利用非負(fù)函數(shù)積的cauchy 判別法, 留意到時(shí)積分收斂 . 易見時(shí), 仍用 cauchy 判別法判得積分發(fā)散 . 因此,時(shí)積分收斂 .:對r 成立,.因此積分對綜上 ,r 收斂.時(shí)積分收斂 .稱該積分為euler 其次型積分 .eul

6、er 其次型積分定義了內(nèi)的一個(gè)函數(shù) , 稱該函數(shù)為 gamma 函數(shù),記為, 即=,.函數(shù)是一個(gè)很有用的特殊函數(shù) .2. 函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性 :在區(qū)間內(nèi)非一樣收斂 .這是由于時(shí)積分發(fā)散 . 這里利用了下面的結(jié)果 :如含參廣義積分在內(nèi)收斂, 但在點(diǎn)發(fā)散, 就積分在內(nèi)非一樣收斂 .但在區(qū)間內(nèi)閉一樣收斂 . 即在任何上 ,一樣收斂 .由于時(shí), 對積分, 有, 而積分收斂.對積分,而積分收斂.由 m判法, 它們都一樣收斂 ,積分在區(qū)間上一樣收斂 .作類似地爭論 ,可得積分也在區(qū)間內(nèi)閉一樣收斂 .于是可得如下結(jié)論 :的連續(xù)性 :在區(qū)間內(nèi)連續(xù) .的可導(dǎo)性 :在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且.同理可得 :在區(qū)間內(nèi)任意階可

7、導(dǎo) ,且.3. 凸性與極值 :,在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格下凸 . 參下段 ,在區(qū)間內(nèi)唯獨(dú)的極限小值點(diǎn) 亦為最小值點(diǎn) 介于 1 與 2 之間 .4. 的遞推公式函數(shù)表:的遞推公式 :.證.于是, 利用遞推公式得 :, ,一般地有.可見 , 在上,正是正整數(shù)階乘的表達(dá)式 .倘定義, 易見對,該定義是有意義的 .因此, 可視為內(nèi)實(shí)數(shù)的階乘. 這樣一來 ,我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了內(nèi)的全部實(shí)數(shù)上,于是, 自然就有, 可見在初等數(shù)學(xué)中規(guī)定是很合理的.函數(shù)表:許多紛雜的積分運(yùn)算問題可化為函數(shù)來處理 . 人們仿三角函數(shù)表、對數(shù)表等函數(shù)表 , 制訂了函數(shù)表供查 .由函數(shù)的遞推公式可見, 有了函數(shù)在內(nèi)的值,即可對,

8、 求得的值.通常把內(nèi)函數(shù)的某些近似值制成表 , 稱這樣的表為函數(shù)表 也有在內(nèi)編制的函數(shù)表.5. 函數(shù)的延拓 :時(shí),該式右端在時(shí)也有意義 .用其作為時(shí)的定義, 即把延拓到了內(nèi).時(shí),依式,利用延拓后的,又可把延拓到內(nèi) .依此 , 可把延拓到內(nèi)除去的全部點(diǎn). 經(jīng)過如此延拓后的的圖象如 p192 圖表 192.例 1求,. 查表得.解.,.6. 函數(shù)的其他形式和一個(gè)特殊值 :某些積分可通過換元或分部積分如干次后化為函數(shù) .倘能如此 ,可查函數(shù)表求得該積分的值常見變形有 :.>令,有=,因此,>令,.留意到 p7 的結(jié)果,得的一個(gè)特殊值.>令, 得.取,得.例 2運(yùn)算積分,其中.解i.

9、二.beta 函數(shù) euler 第一型積分：1. beta 函數(shù)及其連續(xù)性：稱 含有兩個(gè)參數(shù)的 含參積分為 euler 第一型積分 .當(dāng)和中至少有一個(gè)小于 1 時(shí),該積分為瑕積分 .下證對, 該積分收斂 . 由于時(shí)點(diǎn)和均為瑕點(diǎn) . 故把積分分成和考慮.:時(shí)為正常積分 ;時(shí),點(diǎn)為瑕點(diǎn). 由被積函數(shù)非負(fù),和, 由 cauchy 判法積分收斂 . 易見時(shí)積分發(fā)散 .:時(shí)為正常積分 ;時(shí),點(diǎn)為瑕點(diǎn). 由被積函數(shù)非負(fù),和, 由 cauchy 判法積分收斂 . 易見時(shí)積分發(fā)散 .綜上,時(shí)積分收斂.設(shè) d,于是, 積分定義了 d 內(nèi)的一個(gè)二元函數(shù) .稱該函數(shù)為 beta 函數(shù),記為, 即=不難驗(yàn)證 ,函數(shù)在

10、 d 內(nèi)閉一樣收斂 .又被積函數(shù)在 d 內(nèi)連續(xù), 因此 ,函數(shù)是 d 內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù) .2. 函數(shù)的對稱性 :.證=.由于函數(shù)的兩個(gè)變元是對稱的 , 因此,其中一個(gè)變元具有的性質(zhì)另一個(gè)變元自然也具有 .3. 遞推公式 :.證,而,代入式, 有,解得.由對稱性 , 又有.4. 函數(shù)的其他形式 :>令, 有,因此得,.>令, 可得,.特殊地 ,.>令, 有=,即,>令,可得.>,.三.函數(shù)和函數(shù)的關(guān)系 :函數(shù)和函數(shù)之間有關(guān)系式,以下只就和取正整數(shù)值的情形賜予證明 .和取正實(shí)數(shù)值時(shí) , 證明用到函數(shù)的變形和二重?zé)o窮積分的換序 .證反復(fù)應(yīng)用函數(shù)的遞推公式 ,有,而.特殊地,且或時(shí),由于,就有.余元公式函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系：對，有.該公式的證明可參閱 : , 微積分學(xué)教程vol 2 第 3 分冊, 利用余元公式, 只要編