用特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項

1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項遞推是中學數(shù)學中一個非常重要的概念和方法，遞推數(shù)列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊含著不少精妙的數(shù)學思想和數(shù)學方法。如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式。有通項公式的數(shù)列只是少數(shù)，研究遞推數(shù)列公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴展。新大綱關(guān)于遞推數(shù)列規(guī)定的教學目標是“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”，但從近幾年來高考試題中常以遞推數(shù)列或與其相關(guān)的問題作為能力型試題來看，這一目標是否恰當似乎值得探討，筆者以為“根據(jù)遞推公式寫出數(shù)

2、列的前幾項”無論從思想方法還是從培養(yǎng)能力上來看，都不那么重要，重要的是學會如何去發(fā)現(xiàn)數(shù)列的遞推關(guān)系，學會如何將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項公式的方法。筆者從用特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項談?wù)勥@方面的認識。題型一：一階線性遞推數(shù)列問題.設(shè)已知數(shù)列的項滿足 ，其中求這個數(shù)列的通項公式.采用數(shù)學歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學生掌握的解法特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因為由特征

3、方程得作換元則當時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當時，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說明定理1的應用.例1已知數(shù)列滿足：求解：作方程當時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.當取何值時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須題型二：分式遞推問題（*）.例3已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.將這問題一般化，應用特征方程法求解，有下述結(jié)果.如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，若則若，則其中特別地，當存在使時，無窮數(shù)列不存在.（2）當特征

4、方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中證明：先證明第（1）部分.作交換則 是特征方程的根，將該式代入式得 將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是 當，即=時，由式得故當即時，由、兩式可得此時可對式作如下變化： 由是方程的兩個相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.其中當時，當存在使時，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.再證明第（2）部分如下：特征方程有兩個相異的根、，其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得 由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、，而方程

5、與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當即時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時對于都有當即時，上式也成立.由且可知所以(證畢)注:當時,會退化為常數(shù);當時,可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.現(xiàn)在求解前述例3的分類遞推問題.解:作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用第（2）部分，則有即例4已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依第（1）部分解答.（1）對于都有（2） 令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，當4，時，.（3）令則對于（4）顯然當時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小

6、題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當時，則有令則得且2.當（其中且N2）時，數(shù)列從第項開始便不存在.于是知：當在集合或且2上取值時，無窮數(shù)列都不存在.題型三：二階線性遞推數(shù)列問題.設(shè)遞推公式為其特征方程為，1、 若方程有兩相異根、，則2、 若方程有兩等根則其中、可由初始條件（）構(gòu)造方程組確定。證明：設(shè)，則,令 （*）（1） 若方程組（*）有兩組不同的解,則, ,由等比數(shù)列性質(zhì)可得, ,由上兩式消去可得.特別地，若方程組（*）有一對共扼虛根通過復數(shù)三角形式運算不難求得此時數(shù)列的通項公式為其中、可由初始條件求出。（2） 若方程組（*）有兩組相等的解，易證此時，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知

7、，所以這樣，我們通過將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法，求得二階線性遞推數(shù)列的通項，若將方程組（*）消去（或）即得此方程的兩根即為特征方程的兩根，讀者不難發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論是完全一致的，這正是特征方程法求遞推數(shù)列通項公式的根源所在。例5斐波那契數(shù)列，求通項公式。解：此數(shù)列對應特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項公式為，由初始條件可知，解之得，所以。例6已知數(shù)列且，求通項公式。解：此數(shù)列對應特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項公式為，由初始條件可知，解之得，所以。例7已知數(shù)列且，求通項公式。解：此數(shù)列對應特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項公式為，由初始條件可知，解之得，所以。閱讀材料：斐波那契數(shù)

8、列萊昂納多斐波那契（11751250）出生于意大利比薩市，是一名聞名于歐洲的數(shù)學家，其主要的著作有算盤書、實用幾何和四藝經(jīng)等。在1202年斐波那契提出了一個非常著名的數(shù)列，即： 假設(shè)一對兔子每隔一個月生一對一雌一雄的小兔子，每對小兔子在兩個月以后也開始生一對一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初時兔房里放一對大兔子，問一年以后，兔房內(nèi)共有多少對兔子？這就是非常著名的斐波那契數(shù)列問題。它的通項公式是以無理數(shù)的形式給出的，但用它計算出的每一項卻都是整數(shù)。人們發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列與我們熟知的楊輝三角形有關(guān)，我們知道，二項式展開式的系數(shù)構(gòu)成楊輝（賈憲）三角形。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 利用楊輝三角形可以很快寫出a+b的任意次冪的展開式。如果我們將楊輝三角形各行的