《圓》知識點歸納及相關(guān)題型整理

1、第五章中心對稱圖形（二）知識點歸納以及相關(guān)題目總結(jié)一、和圓有關(guān)的基本概念1.圓：把線段 OP 的一個端點 O 固定，使線段 OP 繞著點 O 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn) 1 周，另一個端點動所形成的圖形叫做 圓 。其中，定點 O 叫做圓心 ，線段 OP 叫做 半徑。以點 O 為圓心的圓，記作 “ O”，讀作 “圓 O”。圓是到定點的距離等于 定長 的點的集合。P 運2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑 的點的集合。3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑 的點的集合。4.弦：連接圓上任意兩點的線段。5.直徑 ：經(jīng)過圓心的弦。6.?。簣A上任意兩點間的部分。優(yōu)弧 ：大于半圓的弧。劣弧 ：小于半圓的弧。半

2、圓 ：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。7.同心圓 ：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。8.等圓： 能夠重合的兩個圓叫做等圓。（圓心不同）9.等弧 ：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。等弧。（在大小不等的兩個圓中，不存在10.圓心角 ：頂點在圓心的角。11.圓周角 ：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。12.圓的切線長 ：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長。13.正多邊形 ：定義：各邊相等、各角也相等的多邊形對稱性 ：都是軸對稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形有是中心對稱圖形。14.圓錐 ： 母線 ：連接圓錐的頂點和底面圓上任意一點的

3、線段。： 高：連接頂點與底面圓的圓心的線段。15.三角形的外接圓：三角形三個頂點確定一個圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形 。16.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的 外切三角形 。二、和圓有關(guān)的重要定理1.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。3.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么它們所對應 的其余各組量都分別相等。推論： 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的

4、其余各組量都分別相等。4.圓心角的度數(shù)與它所對的弧 的度數(shù)相等。5.圓是軸對稱圖形，過圓心 的任意一條 直線 都是它的對稱軸。6.垂徑定理 ：垂直于弦的直 徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。直線 直徑平分弦直線過圓心（直徑）()直線平分弦所對優(yōu)弧直線垂直于弦直線平分弦所對劣弧垂徑定理的實質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個性質(zhì)：(1) 經(jīng)過圓心； (2) 垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個性質(zhì)：(3)平分弦， (4)平分弦所對的劣弧，(5) 平分弦所對的優(yōu)弧。推論： 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。7.同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。8.直徑（或半圓）所對的圓周角

5、是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。9.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。10.確定圓的條件不在同一條直線上的三個點確定一個圓經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個 這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等。11.三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點12.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。13.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。14.從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相

6、等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。三、和圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點和圓：如果 O 的半徑為r，點 P 到圓心 O 的距離為d，那么點P在圓內(nèi)d<r點P在圓上d=r點P在圓外d>r2.直線和圓：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交 。直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切。這條直線叫做圓的切線 ，這個公共點叫做切點 。直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。如果 O 的半徑為r，圓心 O 到直線 l 的距離為d，那么直線l 與 O相交d<r直線l 與 O相切d=r直線l 與 O相離d>r3.圓和圓：兩個圓 沒有公共點 ，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這

7、 兩個圓外離 。兩個圓 有唯一的公共點 ，并且除了這個公共點以外， 每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這 兩個圓外切 ，這個唯一的公共點叫做切點 。兩個圓 有兩個公共點時，叫做這 兩個圓相交 。兩個圓 有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這 兩個圓內(nèi)切 ，這個唯一的公共點叫做切點。（兩個圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為兩個圓相切 。）兩個圓 沒有公共點 ，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含 。（兩圓同心 是兩圓內(nèi)含的一種特例。）如果兩圓的半徑分別為R、 r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-r<d&l

8、t;R+r(R r)兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含0 d<R-r(R>r)四、和圓有關(guān)的計算1. 多邊形和圓每個內(nèi)角的度數(shù) ：每個外角的度數(shù) ：（等于中心角）正多邊形和圓的關(guān)系定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓， 因此可以采用 作輔助圓 的辦法，解決一些問題。對于一些特殊的正 n 邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以 用尺規(guī)作圖 。2. 扇形：1n r 2或面積公式 ： SSlr36023. 弧長：弧長公式 ：nn rl2 r3601804. 圓錐：（圓錐的 側(cè)面展開圖 ，是一個 扇形 。）圓錐的側(cè)面積 =S 側(cè)&

9、#215; 2 r× a ra（圓錐的側(cè)面積與底面積的和稱為圓錐的全面積。）五、和圓有關(guān)的作圖1.圓心做一個已知圓的圓心在圓上任意畫一條線，作垂直與這條線的直徑；再畫一條弦，繼續(xù)作垂直于這條弦的直徑；兩條直徑的交點就是圓心。2.三角形的外接圓：已知銳角三角形ABC ，用直尺和圓規(guī)作 ABC 的外接圓 。分別作邊 AB 、 AC 的垂直平分線DE、 FG， DE 與 FC 相交于點O以 O 為圓心， OA 為半徑作圓，O 就是所求作的圓。3.用直尺和圓規(guī)做特殊的正多邊形：（1）正四邊形在 O 中作兩條互相垂直的直徑AC 、 BD依次連接A 、B 、 C、 D 各點，四邊形ABCD 就是所求做的正四邊形。（2）正六邊形在 O 中任意做一條直徑AD分別以 A 、 D 為圓心， O 的半徑作半徑作弧，與 O 相交于 B、 F 和 C、 E 依次連接 A 、B 、 C、 D、 E、F 各點，六邊形 ABCDEF 就是所求作的正六邊形。六、和圓有關(guān)的常作輔助線1.見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還需作出相應的半徑） ，通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設間的關(guān)系。2.見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角”這一特征來證明問題。3.見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點的半徑，