《圓》知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)題型整理

1、第五章中心對(duì)稱圖形（二）知識(shí)點(diǎn)歸納以及相關(guān)題目總結(jié)一、和圓有關(guān)的基本概念1.圓：把線段 OP 的一個(gè)端點(diǎn) O 固定，使線段 OP 繞著點(diǎn) O 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn) 1 周，另一個(gè)端點(diǎn)動(dòng)所形成的圖形叫做 圓 。其中，定點(diǎn) O 叫做圓心 ，線段 OP 叫做 半徑。以點(diǎn) O 為圓心的圓，記作 “ O”，讀作 “圓 O”。圓是到定點(diǎn)的距離等于 定長(zhǎng) 的點(diǎn)的集合。P 運(yùn)2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑 的點(diǎn)的集合。3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑 的點(diǎn)的集合。4.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。5.直徑 ：經(jīng)過圓心的弦。6.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分。優(yōu)弧 ：大于半圓的弧。劣弧 ：小于半圓的弧。半

2、圓 ：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。7.同心圓 ：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。8.等圓： 能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（圓心不同）9.等弧 ：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。等弧。（在大小不等的兩個(gè)圓中，不存在10.圓心角 ：頂點(diǎn)在圓心的角。11.圓周角 ：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角。12.圓的切線長(zhǎng) ：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)。13.正多邊形 ：定義：各邊相等、各角也相等的多邊形對(duì)稱性 ：都是軸對(duì)稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對(duì)稱圖形有是中心對(duì)稱圖形。14.圓錐 ： 母線 ：連接圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的

3、線段。： 高：連接頂點(diǎn)與底面圓的圓心的線段。15.三角形的外接圓：三角形三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形 。16.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的 外切三角形 。二、和圓有關(guān)的重要定理1.圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心。2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。3.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng) 的其余各組量都分別相等。推論： 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的

4、其余各組量都分別相等。4.圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧 的度數(shù)相等。5.圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心 的任意一條 直線 都是它的對(duì)稱軸。6.垂徑定理 ：垂直于弦的直 徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。直線 直徑平分弦直線過圓心（直徑）()直線平分弦所對(duì)優(yōu)弧直線垂直于弦直線平分弦所對(duì)劣弧垂徑定理的實(shí)質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個(gè)性質(zhì)：(1) 經(jīng)過圓心； (2) 垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個(gè)性質(zhì)：(3)平分弦， (4)平分弦所對(duì)的劣弧，(5) 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧。推論： 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。7.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半。8.直徑（或半圓）所對(duì)的圓周角

5、是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。9.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。10.確定圓的條件不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，并且只能畫一個(gè) 這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。11.三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)12.圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。13.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。14.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，他們的切線長(zhǎng)相

6、等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。三、和圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓：如果 O 的半徑為r，點(diǎn) P 到圓心 O 的距離為d，那么點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r點(diǎn)P在圓上d=r點(diǎn)P在圓外d>r2.直線和圓：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交 。直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切。這條直線叫做圓的切線 ，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) 。直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離。如果 O 的半徑為r，圓心 O 到直線 l 的距離為d，那么直線l 與 O相交d<r直線l 與 O相切d=r直線l 與 O相離d>r3.圓和圓：兩個(gè)圓 沒有公共點(diǎn) ，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這

7、 兩個(gè)圓外離 。兩個(gè)圓 有唯一的公共點(diǎn) ，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外， 每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這 兩個(gè)圓外切 ，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) 。兩個(gè)圓 有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這 兩個(gè)圓相交 。兩個(gè)圓 有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這 兩個(gè)圓內(nèi)切 ，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（兩個(gè)圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為兩個(gè)圓相切 。）兩個(gè)圓 沒有公共點(diǎn) ，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含 。（兩圓同心 是兩圓內(nèi)含的一種特例。）如果兩圓的半徑分別為R、 r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-r<d&l

8、t;R+r(R r)兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含0 d<R-r(R>r)四、和圓有關(guān)的計(jì)算1. 多邊形和圓每個(gè)內(nèi)角的度數(shù) ：每個(gè)外角的度數(shù) ：（等于中心角）正多邊形和圓的關(guān)系定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓， 因此可以采用 作輔助圓 的辦法，解決一些問題。對(duì)于一些特殊的正 n 邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以 用尺規(guī)作圖 。2. 扇形：1n r 2或面積公式 ： SSlr36023. 弧長(zhǎng)：弧長(zhǎng)公式 ：nn rl2 r3601804. 圓錐：（圓錐的 側(cè)面展開圖 ，是一個(gè) 扇形 。）圓錐的側(cè)面積 =S 側(cè)&

9、#215; 2 r× a ra（圓錐的側(cè)面積與底面積的和稱為圓錐的全面積。）五、和圓有關(guān)的作圖1.圓心做一個(gè)已知圓的圓心在圓上任意畫一條線，作垂直與這條線的直徑；再畫一條弦，繼續(xù)作垂直于這條弦的直徑；兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心。2.三角形的外接圓：已知銳角三角形ABC ，用直尺和圓規(guī)作 ABC 的外接圓 。分別作邊 AB 、 AC 的垂直平分線DE、 FG， DE 與 FC 相交于點(diǎn)O以 O 為圓心， OA 為半徑作圓，O 就是所求作的圓。3.用直尺和圓規(guī)做特殊的正多邊形：（1）正四邊形在 O 中作兩條互相垂直的直徑AC 、 BD依次連接A 、B 、 C、 D 各點(diǎn)，四邊形ABCD 就是所求做的正四邊形。（2）正六邊形在 O 中任意做一條直徑AD分別以 A 、 D 為圓心， O 的半徑作半徑作弧，與 O 相交于 B、 F 和 C、 E 依次連接 A 、B 、 C、 D、 E、F 各點(diǎn)，六邊形 ABCDEF 就是所求作的正六邊形。六、和圓有關(guān)的常作輔助線1.見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時(shí)還需作出相應(yīng)的半徑） ，通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設(shè)間的關(guān)系。2.見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對(duì)的圓周角，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一特征來證明問題。3.見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點(diǎn)的半徑，