黑第5講污染物在流體中輸運的數(shù)學(xué)模型--模型準備

1、第5講 污染物在流體中的濃度輸運模型第第0 0節(jié)節(jié) 上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧第第1 1節(jié)節(jié) 流體的動力特性流體的動力特性第第2 2節(jié)節(jié) 連續(xù)介質(zhì)假定連續(xù)介質(zhì)假定第第3 3節(jié)節(jié) 描述物質(zhì)運動的兩種方法描述物質(zhì)運動的兩種方法第第4 4節(jié)節(jié) 控制體的選取控制體的選取第5講 污染物在流體中的濃度輸運模型第第0 0節(jié)節(jié) 上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧第第1 1節(jié)節(jié) 流體的性質(zhì)分析流體的性質(zhì)分析第第2 2節(jié)節(jié) 連續(xù)介質(zhì)假定連續(xù)介質(zhì)假定第第3 3節(jié)節(jié) 描述物質(zhì)運動的兩種方法描述物質(zhì)運動的兩種方法第第4 4節(jié)節(jié) 控制體的選取控制體的選取第第5 5節(jié)節(jié) 濃度在控制體輸運的基本途徑濃度在控制體輸

2、運的基本途徑如何解決？ 流體介質(zhì)與剛體最大的區(qū)別是具有流動性，對于污染物具有輸運特性。污染物濃度是(t,x,y,z)的函數(shù)。我們知道對于剛體的運動，是對于質(zhì)點和質(zhì)點組應(yīng)用牛頓運動定律建立的。那么，流體是由大量的分子組成的，是否可以類似剛體，對每一分子建立方程？答案是否定的！答案是否定的！分子運動具有隨機性、離散性和不均勻性：分子運動具有隨機性、離散性和不均勻性：流體分子運動并不遵循牛頓第二定律，微觀上，分子間的真空區(qū)尺度遠大于分子本身，每個分子無休止地作不規(guī)則的運動，相互間經(jīng)常碰撞，交換著動量和能量，因此流體的運動無論在時間上或空間上都充滿著不均勻性，離散型和隨機性。那么，有沒有解決問題的可能

3、性？那么，有沒有解決問題的可能性？答案是肯定的：有答案是肯定的：有人類眼睛看到的污染物，又明顯的呈現(xiàn)出均勻性、連續(xù)性和確定性。舉例：煙囪冒出的煙；河流排污。舉例：煙囪冒出的煙；河流排污。而我們關(guān)心的，更多的是這些宏觀的性質(zhì)而我們關(guān)心的，更多的是這些宏觀的性質(zhì)如何解決？如何解決？質(zhì)點質(zhì)點和和連續(xù)介質(zhì)假定概念連續(xù)介質(zhì)假定概念的引入的引入第5講 污染物在流體中的濃度輸運模型第第0 0節(jié)節(jié) 上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧第第1 1節(jié)節(jié) 流體的性質(zhì)分析流體的性質(zhì)分析第第2 2節(jié)節(jié) 連續(xù)介質(zhì)假定連續(xù)介質(zhì)假定第第3 3節(jié)節(jié) 描述物質(zhì)運動的兩種方法描述物質(zhì)運動的兩種方法第第4 4節(jié)節(jié) 控制體的選取控制體

4、的選取第第5 5節(jié)節(jié) 濃度在控制體輸運的基本途徑濃度在控制體輸運的基本途徑 地球表面，每立方厘米體積中所含氣體分子數(shù)約為2.71019 在冰點溫度和一個大氣壓下，每立方厘米的氣體分子在一秒鐘內(nèi)要碰撞1029次質(zhì)點的概念：指流體中微觀上無限大， 宏觀無限小的分子團 。L3 L2 L1L3 ：研究問題特征尺度L2 ：指點分子團L1 ：分子運動尺度分子時間上同理取微觀上無限大， 宏觀無限小的尺度 。t3 t2 t1t3 ：研究問題特征尺度t2 ：指點分子團t1 ：分子運動尺度連續(xù)介質(zhì)假定：假設(shè)真實流體所占有的空間可近似地看做是由“流體質(zhì)點”連續(xù)地?zé)o空隙充滿著。連續(xù)介質(zhì)假定的合理性：從體積上來說，宏觀

5、小微觀大，從時間來說，宏觀短微觀長的條件是可以辦到的。連續(xù)介質(zhì)假定的合理性連續(xù)介質(zhì)假定的合理性在一般情況下，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是合理的。從空間上講：在冰點溫度和一個大氣壓下，一立方厘米體積中所含氣體分子數(shù)約為2.71019，即使在10-9（厘米）這樣一個宏觀上說來很小的體積里，也還有2.71010個分子，從微觀方面開來這樣的體積還是還是非常大。從時間上講：在冰點溫度和一個大氣壓下，每立方厘米的氣體分子在一秒鐘內(nèi)要碰撞1029次，因此在10-6秒宏觀說來很短的時間內(nèi)，即使在很小的體積10-9立方厘米內(nèi)的分子仍然要碰撞1014次，這個時間從微觀看來是夠長的了。連續(xù)介質(zhì)假定的合理性分析連續(xù)介質(zhì)假定的合理性

6、分析但在某些特殊問題中，連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)也可以不成立。例如在研究導(dǎo)彈和衛(wèi)星在高空中飛行的稀薄氣體力學(xué)中，分子間的距離很大，它能和物體的特征尺度比擬，這樣雖然獲得穩(wěn)定平均值的分子團還是存在的，但是不能將它看成一個質(zhì)點。又如考慮激波內(nèi)的氣體運動。激波的尺寸與分子自由路程同階，激波內(nèi)的流體只能看成分子而不能當作連續(xù)介質(zhì)來處理了。 因此，除了個別情形外，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是合理的。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)得到的理論結(jié)果在很多情形與實驗很好地符合。第5講 污染物在流體中的濃度輸運模型第第0 0節(jié)節(jié) 上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧第第1 1節(jié)節(jié) 流體的性質(zhì)分析流體的性質(zhì)分析第第2 2節(jié)節(jié) 連續(xù)介質(zhì)假定連續(xù)介質(zhì)假定第

7、第3 3節(jié)節(jié) 描述物質(zhì)運動的兩種方法描述物質(zhì)運動的兩種方法第第4 4節(jié)節(jié) 控制體的選取控制體的選取第第5 5節(jié)節(jié) 濃度在控制體輸運的基本途徑濃度在控制體輸運的基本途徑思考思考以上流體質(zhì)點，我們可以認為其運動具有連續(xù)以上流體質(zhì)點，我們可以認為其運動具有連續(xù)性，確定性。而且從三維空間上講，流體質(zhì)點性，確定性。而且從三維空間上講，流體質(zhì)點的屬性在空間上具有連續(xù)性。的屬性在空間上具有連續(xù)性。那么，我們是不是可以直接將牛頓第二定理應(yīng)那么，我們是不是可以直接將牛頓第二定理應(yīng)用于質(zhì)點呢？用于質(zhì)點呢？兩種方法兩種方法 一、拉格朗日法一、拉格朗日法 二、歐拉法二、歐拉法 一 拉格朗日方法 拉格朗日方法著眼于流體

8、質(zhì)點，跟蹤每個流體質(zhì)點的運動全過程及描述運動過程中各質(zhì)點、各物理量隨時間變化的規(guī)律。又稱軌跡法。通常以流體質(zhì)點的初始坐標點作為區(qū)別不同的流體質(zhì)點的標志。設(shè)t=t0時，流體質(zhì)點的坐標值是（a，b，c）。 tcbaTTtcbapptcbatcbarr，ttcbazwttcbayvttcbaxu，流體質(zhì)點變量為：流體質(zhì)點變量為：流體質(zhì)點的空間位置、密度、壓流體質(zhì)點的空間位置、密度、壓強和溫度可表示為：強和溫度可表示為： 流體質(zhì)點加速度為：流體質(zhì)點加速度為：222222ttcbaztvattcbaytvattcbaxtvazzyyxx， 二.歐拉法 歐拉法的著眼點不是流體質(zhì)點，而是空間點。歐拉法是設(shè)法

9、在空間的每一點上描述出流體運動參數(shù)隨時間的變化情況。觀測先后流過各空間點的各個質(zhì)點的物理量變化情況，便能了解整個或部分流場的運動情況，故又稱空間點法或流場法。例如在氣象觀測中廣泛使用歐拉法。 tzyxTTtzyxpptzyxtzyxvv，由歐拉法特點可知，各物理量是空由歐拉法特點可知，各物理量是空間點間點x，y，z，t的函數(shù)。所以速度、的函數(shù)。所以速度、密度、壓強和溫度可表示為：密度、壓強和溫度可表示為：加速度可表示為：加速度可表示為：zwwywvxwutwdtdwazvwyvvxvutvdtdvazuwyuvxuutudtduazyx上式中右端第一項稱為上式中右端第一項稱為時變加速度時變加速

10、度，表示某空間定點處流體質(zhì)點速度，表示某空間定點處流體質(zhì)點速度變化率；右端的后三項稱為變化率；右端的后三項稱為位變加速度位變加速度，表示由于流體質(zhì)點所在的空，表示由于流體質(zhì)點所在的空間位置變化而引起的速度變化率。間位置變化而引起的速度變化率。簡單了解簡單了解簡單了解：簡單了解：Eulerian法的應(yīng)用 對于所研究的一個質(zhì)點，其濃度是相等的，在研究中，我們是否追蹤每個質(zhì)點進行計算呢？如果要追蹤，則對每一個質(zhì)點建立方程，那么我們計算量似乎太大，但是我們所關(guān)心的，常常是某個位置的污染物得濃度變化。 因此，在對污染物濃度研究中，我們常常使用Eulerian法。在研究區(qū)域內(nèi)我們選取一控制體?？刂企w的假設(shè)

11、是，微觀上足夠大，有無數(shù)分子。但宏觀上要足夠小，因為我們要用到微分。第5講 污染物在流體中的濃度輸運模型第第0 0節(jié)節(jié) 上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧第第1 1節(jié)節(jié) 流體的性質(zhì)分析流體的性質(zhì)分析第第2 2節(jié)節(jié) 連續(xù)介質(zhì)假定連續(xù)介質(zhì)假定第第3 3節(jié)節(jié) 描述物質(zhì)運動的兩種方法描述物質(zhì)運動的兩種方法第第4 4節(jié)節(jié) 控制體的選取控制體的選取第第5 5節(jié)節(jié) 濃度在控制體輸運的基本途徑濃度在控制體輸運的基本途徑xzydxdydz控制體的選取控制體的選取1.歐拉法；歐拉法；2.控制體仍然是宏觀上無限小，微觀上無限大?？刂企w仍然是宏觀上無限小，微觀上無限大。對控制體應(yīng)用質(zhì)量守恒定理：對控制體應(yīng)用質(zhì)量守恒

12、定理：質(zhì)量變化質(zhì)量變化=輸進輸進-輸出輸出+產(chǎn)生（源）產(chǎn)生（源）-損失（匯）損失（匯）xzydxdydz對控制體應(yīng)用質(zhì)量守恒定理：對控制體應(yīng)用質(zhì)量守恒定理：質(zhì)量變化質(zhì)量變化=輸進輸進-輸出輸出+產(chǎn)生（源）產(chǎn)生（源）-損失（匯）損失（匯）進一步思考：表面輸入輸出的途徑以及控制體自身的污染物源、匯都有那些呢？第5講 污染物在流體中的濃度輸運模型第第0 0節(jié)節(jié) 上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧上節(jié)內(nèi)容的簡單回顧第第1 1節(jié)節(jié) 流體的性質(zhì)分析流體的性質(zhì)分析第第2 2節(jié)節(jié) 連續(xù)介質(zhì)假定連續(xù)介質(zhì)假定第第3 3節(jié)節(jié) 描述物質(zhì)運動的兩種方法描述物質(zhì)運動的兩種方法第第4 4節(jié)節(jié) 控制體的選取控制體的選取第第5 5節(jié)節(jié) 濃度在

13、控制體輸運的基本途徑濃度在控制體輸運的基本途徑盡管污染物在進入不同的環(huán)境介質(zhì)之后做著復(fù)雜的運動、變化，但都是由以下幾種基本形式組成的：l隨著介質(zhì)的遷移運動；l隨介質(zhì)的擴散作用l污染物的衰減與轉(zhuǎn)化；l污染物被環(huán)境介質(zhì)吸收或吸附；l污染物的沉淀。1）介質(zhì)的遷移運動對流遷移對流遷移是指污染物在氣流或水流作用下產(chǎn)生的空間位置上的轉(zhuǎn)移。單純的對流作用不能降低污染物的質(zhì)量和濃度。數(shù)學(xué)抽象用遷移通量（單位時間通過單位面積的量）來描述污染物的對流遷移：2）污染物的擴散運動環(huán)境介質(zhì)對排入其中的污染物有如下三種形式的分散作用。 (1)分子擴散; (2)湍流擴散; (3)彌散。 (1)分子擴散 由分子的隨機熱運動引起的質(zhì)點分散現(xiàn)象，存在于污染物的所有運動過程中。分子擴散過程符合菲克( Fick)第一定律，其質(zhì)量通量與擴散物質(zhì)的濃度梯度成正比，可由下式表示：(2)湍流擴散 是指在湍流流場中物質(zhì)質(zhì)點由于湍流脈動而導(dǎo)致的由濃度高處向濃度低處的分散現(xiàn)象。湍流流場中質(zhì)點的各種狀態(tài)（流速、濃度等）的瞬時值相對于其一段時間的平均值都是隨機脈動的。當流體質(zhì)點的湍流瞬時脈動速度為穩(wěn)定的隨機變量時，湍流擴散規(guī)律也可用菲克第一定律來表述，即：3）污染物的衰減與轉(zhuǎn)化 污染物排入環(huán)境后，會在光、熱及微生物及其它環(huán)境因素的作用下發(fā)生各種各樣結(jié)構(gòu)、組成上的變化。其中多數(shù)