2022年角平分線的性質(zhì)教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第十一章角平分線的性質(zhì)一 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：了解角是軸對(duì)稱(chēng)圖形和角平分線的定義，會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線；掌握角平分線的性質(zhì)和判定；綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問(wèn)題。2.過(guò)程與方法：通過(guò)觀察，歸納作圖，總結(jié)出角平分線的性質(zhì)，提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力和實(shí)踐能力3.情感，態(tài)度和價(jià)值觀：提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)作圖的樂(lè)趣。二 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定。難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用。三 教學(xué)工具圓規(guī)，直尺，三角板四 教學(xué)方法探究歸納法，實(shí)踐法六 教學(xué)過(guò)程1. 知識(shí)梳理1） 角平分線的定義2）角平分線的尺規(guī)作法3） 角平分線的性質(zhì)4）角平分線的

2、判定2. 新授知識(shí)點(diǎn)一作角平分線例 1：如圖，已知點(diǎn)c為直線ab上一點(diǎn)，過(guò)c作直線cm，使cmab于c。思路分析：由于ab 是直線，要求作cmab，實(shí)際上就是要作平角acb的平分線。根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖法就可以作出直線cm 。解答過(guò)程 ：作法：1、以 c 為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與ca 、cb 分別交于點(diǎn)d、e；2、分別以d、e 為圓心，大于12de 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧交于點(diǎn)m；3、作直線cm 。所以，直線cm 即為所求。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解

3、題后的思考：此題要求“大于12de 的長(zhǎng)為半徑”的理由是：半徑如果小于12de ，則兩弧無(wú)法相交；而半徑如果等于12de ，則兩弧交點(diǎn)位于c 點(diǎn)處，無(wú)法作出直線cm 。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不光要知道怎么做題，還要知道為什么要這樣做。小結(jié)：本題屬于作圖題。在解決作圖題時(shí)要求做到規(guī)范地使用尺規(guī)，規(guī)范地使用作圖語(yǔ)言，規(guī)范地按照步驟作出圖形，并且作圖的痕跡要保留，不能擦掉。知識(shí)點(diǎn)二角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線性質(zhì)的符號(hào)語(yǔ)言：p在aob的平分線上pdoa于d，peob于epdpe例 2：如圖，ad是abc的角平分線，deab，dfac，垂足分別是,e f 。連接ef，交ad于點(diǎn)g

4、。說(shuō)出ad與ef之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。思路分析：兩條線段之間的關(guān)系有長(zhǎng)度和位置兩種關(guān)系，因此我們可以從這兩方面去猜測(cè)判斷。角是以其平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，此題可以利用這一點(diǎn)進(jìn)行判斷。解答過(guò)程 ：efad，且egfg精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明：ad平分bacdeab，dfac，垂足分別是,e fdedf在rt dea和rt dfa中dedfadadrt deart dfa（hl）adeadf在dge 和 dgf 中dedfgdegdfdgdgdg

5、edgf（sas）egfg，90dgedgfefad，且egfg。解題后的思考：通過(guò)此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質(zhì)外，還可以利用角平分線的性質(zhì)。這樣我們又多了一種證明線段相等的辦法。在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)， “角平分線”和“兩個(gè)垂直”這兩個(gè)條件缺一不可。例 3：如圖，d是abc的外角ace的平分線上一點(diǎn)，dfac于f，debc于e，且交bc的延長(zhǎng)線于e。求證：cecf。思路分析：由已知條件，可以利用角平分線的性質(zhì)得到dedf。而要證明cecf，只要證明以它們?yōu)檫叺膬蓚€(gè)三角形全等即可。將兩者結(jié)合起來(lái)分析就不難找到思路。解答過(guò)程 ：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

6、- - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載cd 是ace的平分線，dfac于f，debc于e90decdfc，dedf在rt dec和rt dfc中dcdcdedfrt decrt dfc（hl ）cecf解題后的思考：利用角平分線的性質(zhì)可以證明線段相等，而線段相等可能又是證明其他結(jié)論所需要的條件。小結(jié)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)問(wèn)題：（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長(zhǎng)；（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；（3）使用該結(jié)論 的前提條件是圖中有角平分線、有兩

7、個(gè)垂直。知識(shí)點(diǎn)三角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線判定的符號(hào)語(yǔ)言：pdoa于d，peob于e且pdpep在aob的平分線上（或?qū)懗蒾p是aob的平分線）例 4：如圖，becf，dfac于f，deab于e，bf和ce交于點(diǎn)d。求證：ad平分bac。思路分析：要證ad平分bac，已知條件中已經(jīng)有兩個(gè)垂直，即已經(jīng)有點(diǎn)到角的兩邊的距離了，只要證明這兩個(gè)距離相等即可。而要證明兩條線段相等，可利用全等三角形的性質(zhì)來(lái)證明。解答過(guò)程 ：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)

8、必備歡迎下載dfac于f，deab于e90debdfc在bde和cdf中debdfcbdecdfbecfbdecdf（aas）dedf又dfac于f，deab于ead平分bac。解題后的思考：判定角的平分線時(shí)若題目中只給出一個(gè)條件dedf或dfac，deab，那么得出ad平分bac這一結(jié)論是錯(cuò)誤的。例 5： 如圖，,f g 是oa上兩點(diǎn)，,m n 是ob上兩點(diǎn)，且fgmn，pfgpmnss， 試問(wèn)點(diǎn)p是否在aob的平分線上？思路分析：一方面，要判斷點(diǎn)p是否在aob的平分線上，只要判斷點(diǎn)p 到角的兩邊距離是否相等即可；另一方面，由已知條件中三角形面積和底邊相等可以推導(dǎo)出高相等。這樣已知和結(jié)論就聯(lián)

9、系起來(lái)了。解答過(guò)程 ：證明：過(guò)點(diǎn)p作pdoa于 d，peob于 e 12pfgsfg pd ，12pmnsmnpe ，而pfgpmnss1122fgpdmnpe又fgmn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載pdpe又pdoa于 d，peob于 e p在aob的平分線上。解題后的思考：利用面積證明相關(guān)結(jié)論是一種常見(jiàn)方法。面積法有著其他方法所不具有的優(yōu)勢(shì)，比如它不要求考慮線段的位置關(guān)系。小結(jié)：角平分線的判定與角平分線的性質(zhì)是互逆的。判定角的平分線要滿(mǎn)足兩個(gè)條件：“垂直”和“

10、相等” 。若已知“垂直”則設(shè)法證明“相等”，若已知“相等”則設(shè)法證明“垂直”。知識(shí)點(diǎn)四角平分線的綜合應(yīng)用例 6：如圖，在abc中，90c，ad平分bac，deab于e，f在ac上，bddf。求證：cfeb。思路分析：由已知條件很容易得到dc de；要證明cf eb，只要證明其所在三角形全等即可，再由此去找全等條件。解答過(guò)程 ：ad平分bac，90c，deabdcde在rt fcd與rt bed中dcdedfbdrt fcdrt bed（hl ）cfeb。解題后的思考：掌握角平分線的性質(zhì)和判定固然重要，但學(xué)會(huì)分析題目所給條件更是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例 7：如圖，已知在abc中，bddc，12。求證：

11、ad平分bac。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載思路分析：有兩種方法證明ad平分bac：一是直接利用定義證明badcad；二是利用角平分線的判定，證明點(diǎn) d 到角的兩邊距離相等。仔細(xì)觀察，前者需要證明三角形全等，但此題使用全等條件中的“邊邊角”，無(wú)法證明兩個(gè)三角形全等。后者通過(guò)作垂線構(gòu)造出三角形，其條件足以證明兩個(gè)三角形全等。解答過(guò)程 ：過(guò)點(diǎn) d 作deab于 e，dfac于 f 故，90bedcfd在bde與cdf中12bedcfdbdcdbdecdf（aas）d

12、edf又deab于 e，dfac于 f ad平分bac。解題后的思考：當(dāng)題目中有角平分線這一條件時(shí)，解題時(shí)常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線；當(dāng)有垂線這一條件時(shí)，常作輔助線得到角的平分線。小結(jié)：用角平分線證明線段相等或角相等時(shí)，常常與證明三角形全等配合使用，證明時(shí)要先觀察需證明的線段或角（或通過(guò)等量代換得到的線段或角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。提分技巧本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過(guò)三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時(shí)，就不需要再通過(guò)證明三角形全等來(lái)間接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，可由“角平分線”和“距離”這兩個(gè)條件得出線段相等