【知識(shí)】二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持.【關(guān)鍵字】知識(shí)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目第一部分 二次函數(shù)根底知識(shí)相關(guān)概念及定義二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)各種形式之間的變換二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.二次函數(shù)解析式的表示方法一般式： （，

2、，為常數(shù)， ） ；頂點(diǎn)式： （， ，為常數(shù)， ） ；兩根式： （， ，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)的性質(zhì)a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸向上性質(zhì)x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值0a 00， 00， 0y軸y軸a 0向下y隨x的增大增大而減?。粁 0時(shí)，x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0二次函數(shù)的性質(zhì)a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸向上性質(zhì)性

3、質(zhì)x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值ca 00， c0， cy軸a 0向下y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c二次函數(shù)的性質(zhì)：a的符開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸1性質(zhì)文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持.號(hào)a 0向上h， 0h， 0x=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小值0 x h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0a 0向下x=h二次函數(shù)的性質(zhì)a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸向上性質(zhì)x h時(shí)，y

4、隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值ka 0h， kh， kx=ha 0向下x=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.對(duì)稱(chēng)軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.頂點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)：頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)a

5、0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大小一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 在a 0的前提下，2文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持.b 0，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；2ab當(dāng)b 0時(shí)， 0，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；2ab當(dāng)b 0時(shí)， 0，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)2a 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即b當(dāng)b 0時(shí)， 0，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)

6、；2ab當(dāng)b 0時(shí)， 0，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；2ab當(dāng)b 0時(shí)， 0，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)2a總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置總結(jié)：常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置總之，只要a， b， c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法當(dāng)b 0時(shí)，b 4ac b2公 式 法 ：y ax bx c ax ，

7、頂 點(diǎn) 是 2a4ab4ac b2b（，），對(duì)稱(chēng)軸是直線x .2a4a2a2配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y ax h k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線x h.22運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：y ax bx c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.頂點(diǎn)式：y ax h k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.22交 點(diǎn) 式 ： 已 知 圖 像 與x

8、軸 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo)x1、x2， 通 常 選 用 交 點(diǎn) 式 ：y ax x1x x2.直線與拋物線的交點(diǎn)y軸與拋物線y ax2bx c得交點(diǎn)為(0,c).2與y軸 平 行 的 直 線x h與 拋 物 線y ax bx c有 且 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)2(h,ahbh c).2拋物線與x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)y ax bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐2標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn) 0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上） 0拋物線與x軸相切；3文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.wor

9、d 版本可編輯.歡迎下載支持.沒(méi)有交點(diǎn) 0拋物線與x軸相離.平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2 bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2一次函數(shù)y kx nk 0的圖像l與二次函數(shù)y ax bx ca 0的圖像y kxn的解的數(shù)目來(lái)確定： 方程組有兩組不同g的交點(diǎn)， 由方程組2y ax bxc的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無(wú)解時(shí)l與g沒(méi)有交點(diǎn).2拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y ax bx c與x軸兩交點(diǎn)為ax1， 0，bx2， 0，由于x1、x2

10、是方程ax2bx c 0的兩個(gè)根，故bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa2二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng):二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)y ax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h k；22關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)y ax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h k；22關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y ax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h

11、 k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h k；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)22b2y ax bxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax bxc；2a22y ax h k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h k22n對(duì)稱(chēng)關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h 2m 2n ky ax h k關(guān)于點(diǎn)m，22總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)， 顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換， 拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則， 選擇合適的形式， 習(xí)慣上是先確定原拋物線 （或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向， 再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向， 然

12、后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式二次函數(shù)圖象的平移平移步驟：2k； 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) ax h k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k處，具體平移方法如下： 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，4文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持.y=ax2向上(k0)【或向下 (k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0y圖像0 x（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱(chēng)軸是 x=a0y0 x（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；bbbb，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，（2）對(duì)稱(chēng)軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，2a2a2a2a4ac b2） ；4a（3）在

13、對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng) x性質(zhì)4ac b2） ；4abb時(shí)，y 隨 x（3）在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng) x的增大而減?。辉趯?duì)稱(chēng)軸 的右側(cè)，即當(dāng)xb時(shí)，y 隨 x 的增大而增大，簡(jiǎn)記左減2ab時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，簡(jiǎn)記左2a右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=增右減；bb時(shí)，y 有最小（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng) x=時(shí)，y 有最2a2a大值，y最大值值，y最小值4ac b24a24ac b24a2、二次函數(shù)y ax bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0)中，a、b、c的含義：a表示開(kāi)口方向：a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上a0 時(shí)，圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；8文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡

14、迎下載支持.當(dāng)=0 時(shí)，圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0 時(shí)，圖像與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五 中考二次函數(shù)壓軸題常考公式（必記必會(huì)，理解記憶）中考二次函數(shù)壓軸題常考公式（必記必會(huì)，理解記憶）1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）y如圖：點(diǎn) a 坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn) b 坐標(biāo)為（x2，y2）則 ab 間的距離，即線段 ab 的長(zhǎng)度為x1 x22y1 y22a0 xb2y ax bx c圖象的畫(huà)法圖象的畫(huà)法知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五 二次函數(shù)二次函數(shù)五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2 k，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)

15、坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.c、以及0， c關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，c、與x軸的交點(diǎn)x1， 0，x2， 0（若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于的點(diǎn)2h，對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).2、已知二次函數(shù)y ax bx c(a 0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）a、a 0，b 0，c 0b、a 0，b 0，c 0c、a 0，b 0，c 0d、a 0，b 0，c 0、函數(shù)y ax2 a與y a(a 0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）xy yy yx xox xy yy yox xoo

16、x xabcd特別記憶特別記憶-同左上加同左上加異右下減異右下減 ( (必須理解記憶必須理解記憶) )說(shuō)明 函數(shù)中 ab 值同號(hào)，圖像頂點(diǎn)在 y 軸左側(cè)同左同左，a b值異號(hào)，圖像頂點(diǎn)必在y 軸右側(cè)異右異右向左向上移動(dòng)為加左上加左上加，向右向下移動(dòng)為減右下減右下減9文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持.3、直線斜率：y2 y1b為直線在y軸上的截距4、直線方程：k tanx2 x14 4、兩點(diǎn)兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩式:y y1 kxb (tan)xb y2 y1x(x x1)此公式有多種變形此公式有多種變形牢記牢記x2 x1點(diǎn)斜點(diǎn)斜y y1 k

17、x(x x1)斜截斜截直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式: ykxb(k0)截距截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式：xy1ab牢記牢記口訣口訣 - -兩點(diǎn)斜截距兩點(diǎn)斜截距-兩點(diǎn)兩點(diǎn) 點(diǎn)斜點(diǎn)斜 斜截斜截 截距截距5、設(shè)兩條直線分別為，l1：y k1x b1l2：y k2x b2若l1/ l2，則有l(wèi)1/ l2 k1 k2且b1 b2。若l1 l2 k1 k2 16、點(diǎn)p（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離:d kx0 y0bk2 (1)2kx0 y0bk217 7、拋物線、拋物線y ax2bx c中，中， a b c, a b c,的作用的作用（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y ax中的a完全一樣.（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線y ax bx c的對(duì)稱(chēng)軸是直線22bb，故：b 0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸； 0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)