第2節(jié)：函數解析的充要條件

1、第第二二章章 解析函數解析函數第第2節(jié)節(jié) 函數解析的充要條件函數解析的充要條件復變函數可導的充要條件復變函數可導的充要條件復變函數解析的充要條件復變函數解析的充要條件定理一定理一: 設函數設函數 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在區(qū)域在區(qū)域D內有定內有定義義, 則則 f(z)在點在點z=x+iyD可導的充要條件可導的充要條件是是: (1) u(x,y)與與v(x,y)在點在點(x,y)可微可微, 且且(2) 在該點滿足在該點滿足柯柯西西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程 (簡稱為簡稱為C-R方程方程) :, uvuvxyyx 定理二定理二: 函數函數 f(z)=u(x,

2、y)+iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析(可導可導)的充要條件是的充要條件是: (1) u(x,y)與與v(x,y)在在D內可微內可微, 并且并且(2) 在在D內滿足內滿足柯西柯西-黎曼方程黎曼方程(*)式式.1( )uvuvfzixxiyy 這時這時(*)注注: (1) 如如函數函數 f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內內不滿足不滿足C-R方程方程, 則則 f(z) 在在D內不解析；內不解析；11, uvvurrrr (2) 如如u(x,y)與與v(x,y)中至少有一個偏導數在中至少有一個偏導數在D內不內不 存在存在, 則則 f(z)在在D內不解析；內不解析；(3) 如如函數函數 f(z)在在D內

3、內滿足滿足C-R方程方程, 且且u(x,y)與與v(x,y) 在在D內具有內具有一階連續(xù)偏導數一階連續(xù)偏導數, 則則 f(z)在在D內解析內解析.(4) C-R方程方程在極坐標下的形式為在極坐標下的形式為書書P67:9:例例1. 判斷下列函數在何處可導判斷下列函數在何處可導, 在何處解析在何處解析:1) ( )2 ;f zxiy1,0,uuxy解解. 1) 因為因為 u=x, v=2y, 不滿足不滿足C-R方程方程, 所以所以 f(z)在復平面內處處不可導在復平面內處處不可導, 處處不解析。處處不解析。22) ;wz 2223) ( )(2).f zxyxixyy0,2vvxy4) ( )e

4、(cossin ).xf zyiy2) 由由 f(z)= |z|2 =x2+y2, 得得 易知這四個偏導數處處連續(xù)易知這四個偏導數處處連續(xù), 但僅當但僅當x=y=0時時, 它它們才滿足們才滿足C-R方程方程, 因而因而u=x2+y2, v=0, 所以所以2 ,2 ,uuxyxy0,0vvxy函數僅在函數僅在z=0處可導處可導, 且且但在復平面內處處不解析但在復平面內處處不解析.(0)0.f 3) 由由 f(z)= x2-y2-x+i(2xy-y2), 得得 易知這四個偏導數處處連續(xù)易知這四個偏導數處處連續(xù), 但但僅當僅當y=1/2時時, 它它們才滿足們才滿足C-R方程方程, 因而因而u=x2-

5、y2-x , v=2xy-y2, 所以所以21,2 ,uuxyxy 2 ,22vvyxyxy函數僅函數僅在在y=1/2處處可導可導, 但在復平面內處處不解析但在復平面內處處不解析.因為因為 u=excos y, v=exsin y,4) ( )e (cossin ).xf zyiye cos ,xuyxe sin ,xuyy e sin ,xvyxe cos ,xvyy 上面四個偏導數都連續(xù)上面四個偏導數都連續(xù), 且滿足且滿足C-R方程方程, 所以所以 f(z)在復平面內處處可導在復平面內處處可導, 處處解析。處處解析。 = ex(cos y+isin y)= f(z)( )uvfzixx 且

6、且今后將知道這個函數就是指數函數今后將知道這個函數就是指數函數ez.例例2. 設函數設函數 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 問常問常數數a,b,c,d 取何值時取何值時, f(z)在復平面內處處解析在復平面內處處解析?由于由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,解解. vx=2cx+dy, vy=dx+2y則由則由ux=vy, uyvx, 得得=(1 i)(x+iy)2=(1 i)z22x+ay=dx+2y, 2cx+dyax 2by故此時函數在復平面內處處解析故此時函數在復平面內處處解析, 且且a=2, b1, c1, d=2f(z)=x2+2xy y2+i( x2+2xy+y2)例例3. 求證求證 f (z)0, zD f(z)C, zD0uuvvxyxy故所以所以u=常數常數, v=常數常數, 因而因而 f(z)在在D內是常數內是常數.證證)顯然顯然)( )uvfzixx0vuiyy例例4. 設設函數函數 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析, 并并滿足下列條件之一，那么滿足下列條件之一，那么 f(z)是常數是常數: 書書P67: 101) u是是實常數；實常數；0,.wzDz3)2) v是是實常數；實常數；例例5. 設設函數函數 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析,