第二部分代數(shù)引論P(yáng)PT課件

1、State Key Laboratory of Integrated Services Networks 第二部分第二部分 代數(shù)引論代數(shù)引論要求掌握的內(nèi)容要求掌握的內(nèi)容群群環(huán)的概念環(huán)的概念域的概念域的概念會(huì)判斷會(huì)判斷子群、陪集的概念子群、陪集的概念線性空間的概念線性空間的概念歐幾里德除法歐幾里德除法設(shè)設(shè)b是正整數(shù)，則任意正整數(shù)是正整數(shù)，則任意正整數(shù)a b皆可唯一地表皆可唯一地表示成示成a = qb + r 0 r b，若，若a=bq+r，則，則(a, b)=(b, r)根據(jù)該定理可以求根據(jù)該定理可以求2個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)歐幾里德算法：給定任意正整數(shù)歐幾里德算法：給定任意正整數(shù)a,

2、b，必存在有整，必存在有整數(shù)數(shù)A，B使使 (a, b) = Aa+Bb最小公倍數(shù)：設(shè)最小公倍數(shù)：設(shè)a,b為任意兩個(gè)正整數(shù)，若有一整為任意兩個(gè)正整數(shù)，若有一整數(shù)數(shù)M使使a|M, b|M，則稱，則稱M是是a,b的公倍數(shù)，其中最的公倍數(shù)，其中最小的正公倍數(shù)稱為最小公倍數(shù)，記為小的正公倍數(shù)稱為最小公倍數(shù)，記為a, b或或LCM(a, b)。同余和剩余類同余和剩余類同余：若整數(shù)：若整數(shù)a和和b被同一正整數(shù)被同一正整數(shù)m除時(shí)，有相同的余數(shù)，則除時(shí)，有相同的余數(shù)，則稱稱a、b關(guān)于模關(guān)于模m同余，記為同余，記為)(modmba剩余類(Residue)：給定正整數(shù)：給定正整數(shù)m，可將全體整數(shù)按余數(shù)相，可將全體整

3、數(shù)按余數(shù)相同進(jìn)行分類，可獲得同進(jìn)行分類，可獲得m個(gè)剩余類，分別用個(gè)剩余類，分別用1, 1 , 0mbabababa,群群(Group)的定義的定義 設(shè)設(shè)G是一個(gè)非空集合，并在是一個(gè)非空集合，并在G內(nèi)定義了一種代數(shù)運(yùn)算內(nèi)定義了一種代數(shù)運(yùn)算 “ 。”，若滿足：，若滿足：Gba,1) 封閉性。對(duì)任意，恒有GbaGcba,2) 結(jié)合律。對(duì)任意，恒有cbacba3) G中存在一恒等元e,對(duì)任意Ga，使aaeea4) 對(duì)任意Gaeaaaa11，存在a的逆元Ga1，使則稱G構(gòu)成一個(gè)群。若加法，恒等元用0表示，若為乘法，恒等元稱為單位元Examples:1、全體整數(shù)2、全體偶數(shù)3、全體實(shí)數(shù)6、模m的全體剩余類

4、,1, 1 , 0m4、全體復(fù)數(shù)5、全體有理數(shù)對(duì)加法構(gòu)成群對(duì)乘法不構(gòu)成群對(duì)加法構(gòu)成群對(duì)加法構(gòu)成群對(duì)加法構(gòu)成群除0元素外，對(duì)乘法構(gòu)成群對(duì)加法構(gòu)成群除0元素外，對(duì)乘法構(gòu)成群對(duì)加法構(gòu)成群除0元素外，對(duì)乘法構(gòu)成群對(duì)模m加法構(gòu)成群對(duì)模m乘法，除0外，根據(jù)m值不同有關(guān)群的幾個(gè)概念有關(guān)群的幾個(gè)概念群的階群的階(Order of a Group)有限群有限群(Finite Group)、無(wú)限群、無(wú)限群(Infinite Group)加群、乘群加群、乘群阿貝爾群阿貝爾群(Abel Group)半群、若群半群、若群群群群群G的單位元是唯一的的單位元是唯一的群中每個(gè)元素的逆元是唯一的群中每個(gè)元素的逆元是唯一的若若a

5、,bG，則，則(a*b)-1=b-1*a-1給定給定G中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素a和和b，方程，方程a*x=b和和y*a=b在在G中有唯一解中有唯一解令令G為二元運(yùn)算為二元運(yùn)算*下的一個(gè)群，下的一個(gè)群，H為為G的一個(gè)非空的一個(gè)非空子集，若子集，若 i) H在二元運(yùn)算在二元運(yùn)算*下封閉，下封閉，ii）H中任意中任意元素元素a，a的逆元仍在的逆元仍在H中，則中，則H是是G的一個(gè)子群。的一個(gè)子群。四、環(huán)四、環(huán)(Ring)的定義的定義非空集合非空集合R中，若定義了兩種代數(shù)運(yùn)算加和乘，中，若定義了兩種代數(shù)運(yùn)算加和乘，且滿足：且滿足： 1) 集合集合R在加法運(yùn)算下構(gòu)成阿貝爾群在加法運(yùn)算下構(gòu)成阿貝爾群 2

6、) 乘法有封閉性乘法有封閉性 3) 乘法結(jié)合律成立，且加和乘之間有分配律乘法結(jié)合律成立，且加和乘之間有分配律Examples:1、全體整數(shù)2、全體偶數(shù)3、全體實(shí)數(shù)6、模m的全體剩余類,1, 1 , 0m4、全體復(fù)數(shù)5、全體有理數(shù)構(gòu)成環(huán)五、有關(guān)環(huán)的幾個(gè)概念五、有關(guān)環(huán)的幾個(gè)概念有單位元環(huán)（對(duì)于乘法而言）有單位元環(huán)（對(duì)于乘法而言）可換環(huán)可換環(huán)(Commutative Ring)有零因子環(huán)有零因子環(huán)整環(huán)整環(huán)(Domain)，既無(wú)零因子環(huán)既無(wú)零因子環(huán)除環(huán)除環(huán)(有單位元、每個(gè)非零元素有逆元，非可換的有單位元、每個(gè)非零元素有逆元，非可換的環(huán)環(huán))六、域六、域(Field)的定義的定義非空集合非空集合F，若，若

7、F中定義了加和乘兩種運(yùn)算，且滿中定義了加和乘兩種運(yùn)算，且滿足：足： 1) F關(guān)于加法構(gòu)成阿貝爾群，加法恒等元記為關(guān)于加法構(gòu)成阿貝爾群，加法恒等元記為0 2) F中所有非零元素對(duì)乘法構(gòu)成阿貝爾群，乘法中所有非零元素對(duì)乘法構(gòu)成阿貝爾群，乘法恒等元記為恒等元記為1 3) 加法和乘法之間滿足分配律加法和乘法之間滿足分配律Examples:1、全體整數(shù)2、全體偶數(shù)3、全體實(shí)數(shù)6、模m的全體剩余類,1, 1 , 0m4、全體復(fù)數(shù)5、全體有理數(shù)設(shè)q為素?cái)?shù)，則整數(shù)全體關(guān)于模q的剩余類1, 1 , 0q在模q的運(yùn)算下(模q加和乘)構(gòu)成q階有限域GF(q)構(gòu)成環(huán)，不構(gòu)成域構(gòu)成環(huán)，不構(gòu)成域構(gòu)成域構(gòu)成域構(gòu)成域子群的定

8、義子群的定義子群：若群子群：若群G的非空子集的非空子集H對(duì)于對(duì)于G中定義的代數(shù)運(yùn)中定義的代數(shù)運(yùn)算也構(gòu)成群，稱算也構(gòu)成群，稱H為為G的子群的子群群群G的非空子集的非空子集H為為G的子群的充要條件：的子群的充要條件：1）若）若aH, bH,則則abH；2）若）若aH，則，則a-1HH是是G的子群的充要條件：對(duì)任何的子群的充要條件：對(duì)任何a，bH，恒有，恒有ab-1H陪集的概念陪集的概念定義：定義：H是群是群G的一個(gè)子群，的一個(gè)子群，g是是G中的任意一個(gè)中的任意一個(gè)元素，將元素，將g左（右）乘左（右）乘H中的每一個(gè)元素，得到一中的每一個(gè)元素，得到一個(gè)集合，記為個(gè)集合，記為gH（Hg），該集合為子群）

9、，該集合為子群H的一個(gè)的一個(gè)左（右）陪集，左（右）陪集，g為該陪集的陪集首。為該陪集的陪集首。Examples: 對(duì)整數(shù)全體，以3為倍數(shù)的整數(shù)全體是一個(gè)子群，可按此子群對(duì)全體整數(shù)劃分陪集陪集的概念陪集的概念若H是G的子群，則可利用H把G劃分等價(jià)類用g1, g2,表示群G中的元素，用h1, h2表示子群H中的元素321hheh 3121111hghgghg3222212hghgghg3323313hghgghg子群H左陪集左陪集左陪集陪集首陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)令令H為群為群G在二元運(yùn)算在二元運(yùn)算*下的一個(gè)子群，則下的一個(gè)子群，則H的陪的陪集中任意兩個(gè)元素互不相同集中任意兩個(gè)元素互不相同對(duì)群對(duì)群G

10、的子群的子群H，其任意兩個(gè)不同的陪集之間沒(méi)有，其任意兩個(gè)不同的陪集之間沒(méi)有相同的元素相同的元素 G中每個(gè)元素出現(xiàn)且僅出現(xiàn)在一個(gè)中每個(gè)元素出現(xiàn)且僅出現(xiàn)在一個(gè)H的陪集中的陪集中 H的所有不同陪集之間互不相交的所有不同陪集之間互不相交 H的所有不同陪集并構(gòu)成群的所有不同陪集并構(gòu)成群G拉格朗日定理：設(shè)拉格朗日定理：設(shè)G為一個(gè)為一個(gè)n階群，階群，H為一個(gè)為一個(gè)m階子群。階子群。則則m可以整除可以整除n且劃分且劃分G/H由由n/m個(gè)個(gè)H的陪集構(gòu)成。的陪集構(gòu)成。（有限群的子群的階數(shù)，一定是整個(gè)群的階數(shù)的因子）（有限群的子群的階數(shù)，一定是整個(gè)群的階數(shù)的因子）線性空間線性空間如果域如果域F上的上的n重元素集合重

11、元素集合V滿足下述條件：滿足下述條件： 1、V關(guān)于加法構(gòu)成阿貝爾群關(guān)于加法構(gòu)成阿貝爾群 2、對(duì)、對(duì)對(duì)對(duì)V中任何元素中任何元素v和和F中任何元素中任何元素c， cvV。 我們稱我們稱V中元素中元素v為矢量為矢量(向量向量)， F中元素中元素c為純量或標(biāo)量，為純量或標(biāo)量， 稱乘稱乘c運(yùn)算為數(shù)乘。運(yùn)算為數(shù)乘。 3、分配律成立，、分配律成立， 對(duì)任何對(duì)任何u， vV， c， dF恒有：恒有： c(u+v)=cu+cv ， (c+d)v=cv+dv 4、若若c, dF , vV, 有有: (cd)v=c(dv), 1v=v, 1F 則稱則稱V是域是域F上的一個(gè)上的一個(gè)n維線性空間或矢量空間，維線性空間或

12、矢量空間， 一般用一般用VnF表示。表示。幾個(gè)概念：線性子空間，線性組合，線性相關(guān)，線性獨(dú)幾個(gè)概念：線性子空間，線性組合，線性相關(guān)，線性獨(dú)立，張成，基底，維數(shù)立，張成，基底，維數(shù) 線性結(jié)合代數(shù)線性結(jié)合代數(shù)域域F上的有限維線性空間上的有限維線性空間A，若元素之間定義了乘，若元素之間定義了乘法，法， 且有如下性質(zhì)：且有如下性質(zhì)： (1) 乘法封閉。乘法封閉。 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)a, bA， 恒有恒有abA。 (2) 乘法結(jié)合律成立乘法結(jié)合律成立: 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)a, b, cA恒有恒有 (ab)c=a(bc)。 (3) 分配律成立分配律成立 a(a ab+b bc)=a a(ab)+b b(ac) (a ab+b bc)a=a a (ba)+b b (ca) a a,b bF， a, b, cA 則稱則稱A是一個(gè)線性結(jié)合代數(shù)。是一個(gè)線性結(jié)合代數(shù)。 它的階數(shù)定義為它它的階數(shù)定義為它作為線性空間時(shí)的維數(shù)。作為線性空